Espacio extremadamente desconectado
En matemáticas, un espacio extremadamente desconectado es un espacio topológico en el que el cierre de todo conjunto abierto está abierto. (El término "extremadamente desconectado" es correcto, aunque la palabra " extremadamente desconectado " no aparece en la mayoría de los diccionarios. [1] El término extremadamente desconectado se usa a veces, pero es incorrecto).
Un espacio extremadamente desconectado que también es compacto y Hausdorff a veces se denomina espacio Stonean . Esto es diferente de un espacio de piedra , que suele ser un espacio compacto de Hausdorff totalmente desconectado . En la dualidad entre los espacios de Stone y las álgebras de Boole , los espacios de Stonean corresponden a las álgebras de Boole completas .
Un primer espacio de Hausdorff contable en términos de colección extremadamente desconectado debe ser discreto . En particular, para los espacios métricos , la propiedad de estar extremadamente desconectado (el cierre de todo conjunto abierto es abierto) es equivalente a la propiedad de ser discreto (todo conjunto está abierto).
Ejemplos de
- Cada espacio discreto está extremadamente desconectado. Cada espacio indiscreto está extremadamente desconectado y conectado.
- La compactificación Stone-Čech de un espacio discreto está extremadamente desconectada.
- El espectro de un álgebra abeliana de von Neumann está extremadamente desconectado.
- Cualquier álgebra conmutativa AW * es isomórfica a donde está extremadamente desconectada, compacta y de Hausdorff.
- Cualquier espacio infinito con la topología cofinita está extremadamente desconectado y conectado . De manera más general, cada espacio hiperconectado está extremadamente desconectado.
- El espacio en tres puntos con base proporciona un ejemplo finito de un espacio que está extremadamente desconectado y conectado.
Caracterizaciones equivalentes
Un teorema de Gleason (1958) dice que los objetos proyectivos de la categoría de espacios compactos de Hausdorff son exactamente los espacios compactos de Hausdorff extremadamente desconectados. Rainwater (1959) ofrece una prueba simplificada de este hecho .
Un espacio compacto de Hausdorff está extremadamente desconectado si y solo si es una retracción de la compactación Stone-Čech de un espacio discreto. [2]
Aplicaciones
Hartig (1983) demuestra el teorema de representación de Riesz-Markov-Kakutani reduciéndolo al caso de espacios extremadamente desconectados, en cuyo caso el teorema de representación puede demostrarse por medios elementales.
Ver también
Referencias
- ^ "extremadamente" en el OED
- ↑ Semadeni (1971 , Teo. 24.7.1)
- AV Arkhangelskii (2001) [1994], "Espacio extremadamente desconectado" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Gleason, Andrew M. (1958), "Espacios topológicos proyectivos", Illinois Journal of Mathematics , 2 (4A): 482–489, doi : 10.1215 / ijm / 1255454110 , MR 0121775
- Hartig, Donald G. (1983), "Revisión del teorema de representación de Riesz", American Mathematical Monthly , 90 (4): 277-280, doi : 10.2307 / 2975760
- Johnstone, Peter T. (1982). Espacios de piedra . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-23893-5.
- Rainwater, John (1959), "A Note on Projective Resolutions", Proceedings of the American Mathematical Society , 10 (5): 734–735, doi : 10.2307 / 2033466 , JSTOR 2033466
- Semadeni, Zbigniew (1971), espacios de Banach de funciones continuas. Vol. I , PWN --- Editores científicos polacos, Varsovia, MR 0296671
- Propiedades de los espacios topológicos
