En matemáticas , el conjugado complejo de un espacio vectorial complejo es un espacio vectorial complejo , que tiene los mismos elementos y estructura de grupo aditivo que , pero cuya multiplicación escalar implica la conjugación de los escalares. En otras palabras, la multiplicación escalar de satisface
dónde es la multiplicación escalar de y es la multiplicación escalar de . La carta representa un vector en , es un número complejo, y denota el complejo conjugado de. [1]
Más concretamente, el espacio vectorial complejo conjugado es el mismo espacio vectorial real subyacente (mismo conjunto de puntos, misma suma vectorial y multiplicación escalar real) con la estructura compleja lineal conjugada J (multiplicación diferente por i ).
Motivación
Si y son espacios vectoriales complejos, una función es antilineal si
Con el uso del espacio vectorial conjugado , un mapa antilineal puede considerarse como un mapa lineal ordinario de tipo. La linealidad se verifica observando:
Por el contrario, cualquier mapa lineal definido en da lugar a un mapa antilineal en .
Este es el mismo principio subyacente que en la definición de anillo opuesto de modo que un derecho- el módulo se puede considerar como izquierdo-módulo, o el de una categoría opuesta de modo que un functor contravariante puede considerarse como un funtor ordinario de tipo .
Functor de conjugación complejo
Un mapa lineal da lugar a un mapa lineal correspondiente que tiene la misma acción que . Tenga en cuenta que conserva la multiplicación escalar porque
Por lo tanto, conjugación compleja y define un funtor de la categoría de espacios vectoriales complejos a sí mismo.
Si y son de dimensión finita y el mapa es descrito por la matriz compleja con respecto a las bases de y de , luego el mapa es descrito por el complejo conjugado de con respecto a las bases de y de .
Estructura del conjugado
Los espacios vectoriales y tienen la misma dimensión sobre los números complejos y, por lo tanto, son isomorfos como espacios vectoriales complejos. Sin embargo, no hay isomorfismo natural de a .
El doble conjugado es idéntico a .
Conjugado complejo de un espacio de Hilbert
Dado un espacio de Hilbert (ya sea de dimensión finita o infinita), su complejo conjugado es el mismo espacio vectorial que su espacio dual continuo . Existe una correspondencia antilineal uno a uno entre los funcionales lineales continuos y los vectores. En otras palabras, cualquier funcional lineal continuo enes una multiplicación interna de algún vector fijo y viceversa. [ cita requerida ]
Por tanto, el complejo conjugado a un vector , particularmente en el caso de dimensión finita, se puede denotar como (v-star, un vector de fila que es la transposición conjugada a un vector de columna). En mecánica cuántica, el conjugado a un vector ket se denota como - un vector de sujetador (vea la notación de sujetador ).
Ver también
Referencias
- ^ K. Schmüdgen (11 de noviembre de 2013). Álgebras de operadores ilimitados y teoría de la representación . Birkhäuser. pag. 16. ISBN 978-3-0348-7469-4.
Otras lecturas
- Budinich, P. y Trautman, A. The Spinorial Chessboard . Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3 . (los espacios vectoriales conjugados complejos se analizan en la sección 3.3, pág. 26).