En matemáticas , un par fundamental de períodos es un par ordenado de números complejos que definen un retículo en el plano complejo . Este tipo de celosía es el objeto subyacente con el que se definen funciones elípticas y formas modulares .
Aunque el concepto de celosía bidimensional es bastante simple, existe una cantidad considerable de notación y lenguaje especializados con respecto a la celosía que se produce en la literatura matemática. Este artículo intenta revisar esta notación, así como presentar algunos teoremas que son específicos del caso bidimensional.
Definición
Un par fundamental de períodos es un par de números complejosde manera que su relación ω 2 / ω 1 no es real. En otras palabras, considerados como vectores en, los dos no son colineales . La celosía generada por ω 1 y ω 2 es
Este enrejado también se denota a veces como Λ ( ω 1 , ω 2 ) para aclarar que depende de ω 1 y ω 2 . A veces también se denota por Ω o Ω ( ω 1 , ω 2 ), o simplemente por ⟨ omega 1 , ω 2 ⟩. Los dos generadores ω 1 y ω 2 se denominan base reticular .
El paralelogramo definido por los vértices 0, y se llama paralelogramo fundamental .
Es importante señalar que, mientras que un par fundamental genera una red, una red no tiene ningún par fundamental único, es decir, muchos (de hecho, un número infinito) pares fundamentales corresponden a la misma red.
Propiedades algebraicas
Se obtienen varias propiedades, que se enumeran a continuación.
Equivalencia
Dos pares de números complejos ( ω 1 , omega 2 ) y (α 1 , α 2 ) se denominan equivalentes si generan el mismo enrejado: es decir, si ⟨ω 1 , ω 2 ⟩ = ⟨α 1 , α 2 ⟩.
Sin puntos interiores
El paralelogramo fundamental no contiene más puntos de celosía en su interior o límite. Por el contrario, cualquier par de puntos de celosía con esta propiedad constituyen un par fundamental y, además, generan la misma celosía.
Simetría modular
Dos pares y son equivalentes si y solo si existe una matriz de 2 × 2 con las entradas del número entero un , b , c y d y determinante ad - bc = ± 1 tal que
es decir, para que
y
Tenga en cuenta que esta matriz pertenece al grupo de matrices , que, con un ligero abuso de terminología, se conoce como el grupo modular . Se puede pensar que esta equivalencia de celosías subyace a muchas de las propiedades de las funciones elípticas (especialmente la función elíptica de Weierstrass ) y las formas modulares.
Propiedades topologicas
El grupo abeliano mapea el plano complejo en el paralelogramo fundamental. Es decir, cada punto Se puede escribir como para enteros m , n , con un punto p en el paralelogramo fundamental.
Dado que este mapeo identifica los lados opuestos del paralelogramo como iguales, el paralelogramo fundamental tiene la topología de un toro . De manera equivalente, se dice que la variedad cociente es un toro.
Región fundamental
Defina τ = ω 2 / ω 1 como la razón de medio período . Entonces, la base de la red siempre se puede elegir de modo que τ se encuentre en una región especial, llamada dominio fundamental . Alternativamente, siempre existe un elemento de PSL (2, Z ) que mapea una base de celosía a otra base de modo que τ se encuentra en el dominio fundamental.
El dominio fundamental está dado por el conjunto D , que está compuesto por un conjunto U más una parte del límite de U :
donde H es el semiplano superior .
El dominio fundamental D se construye luego agregando el límite a la izquierda más la mitad del arco en la parte inferior:
Se refieren tres casos:
- Si y , entonces hay exactamente dos bases de celosía con el mismo τ en la región fundamental: y
- Si , entonces cuatro bases de celosía tienen el mismo τ: los dos anteriores , y ,
- Si , entonces hay seis bases de celosía con el mismo τ: , , y sus aspectos negativos.
Tenga en cuenta que en el cierre del dominio fundamental: y
Ver también
- Existen varias notaciones alternativas para la celosía y para el par fundamental, que a menudo se utilizan en su lugar. Véanse, por ejemplo, los artículos sobre el nomo , el módulo elíptico , la relación de un trimestre y un período medio .
- Curva elíptica
- Forma modular
- Serie de Eisenstein
Referencias
- Tom M. Apostol , Funciones modulares y series de Dirichlet en teoría de números (1990), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-97127-0 (Consulte los capítulos 1 y 2.)
- Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 3-540-43299-X (consulte el capítulo 2.)