Función theta
En matemáticas , las funciones theta son funciones especiales de varias variables complejas . Son importantes en muchas áreas, incluidas las teorías de las variedades abelianas y los espacios de módulos , y de las formas cuadráticas . También se han aplicado a la teoría del solitón . Cuando se generalizan a un álgebra de Grassmann , también aparecen en la teoría cuántica de campos . [1]
La forma más común de función theta es la que ocurre en la teoría de funciones elípticas . Con respecto a una de las variables complejas (convencionalmente llamada z ), una función theta tiene una propiedad que expresa su comportamiento con respecto a la adición de un período de las funciones elípticas asociadas, lo que la convierte en una función cuasiperiódica . En la teoría abstracta, esta cuasiperiodicidad proviene de la clase de cohomología de un haz de líneas en un toro complejo , una condición de descendencia .
A lo largo de este artículo, debe interpretarse como (para resolver problemas de elección de rama ). [2]
Hay varias funciones estrechamente relacionadas llamadas funciones theta de Jacobi, y muchos sistemas de notación diferentes e incompatibles para ellas. Una función theta de Jacobi (llamada así por Carl Gustav Jacob Jacobi ) es una función definida para dos variables complejas z y τ , donde z puede ser cualquier número complejo y τ es la razón de medio período , confinada al semiplano superior , lo que significa tiene parte imaginaria positiva. Está dado por la fórmula
donde q = exp ( πiτ ) es el nomo y η = exp (2 πiz ) . Es una forma de Jacobi . En τ fijo , esta es una serie de Fourier para una función completa 1-periódica de z . En consecuencia, la función theta es 1-periódica en z :
La función theta de Jacobi definida anteriormente a veces se considera junto con tres funciones theta auxiliares, en cuyo caso se escribe con un subíndice doble 0:
