En matemáticas , el concepto de variedad abeliana es la generalización dimensional superior de la curva elíptica . Las ecuaciones que definen las variedades abelianas son un tema de estudio porque cada variedad abeliana es una variedad proyectiva . En la dimensión d ≥ 2, sin embargo, ya no es tan sencillo discutir tales ecuaciones.
Existe una gran literatura clásica sobre esta cuestión, que en una reformulación es, para geometría algebraica compleja , una cuestión de describir relaciones entre funciones theta . El tratamiento geométrico moderno se refiere ahora a algunos artículos básicos de David Mumford , de 1966 a 1967, que reformularon esa teoría en términos de la geometría algebraica abstracta válida en campos generales .
Intersecciones completas
Los únicos casos 'fáciles' son los de d = 1, para una curva elíptica con un tramo lineal, el plano proyectivo o el espacio tridimensional proyectivo. En el plano, cada curva elíptica viene dada por una curva cúbica. En P 3 , se puede obtener una curva elíptica como la intersección de dos cuadrículas .
En general, las variedades abelianas no son intersecciones completas . Las técnicas de álgebra por computadora ahora pueden tener algún impacto en el manejo directo de ecuaciones para valores pequeños de d > 1.
Superficies Kummer
El interés por la geometría del siglo XIX en la superficie de Kummer provino en parte de la forma en que una superficie cuártica representaba un cociente de una variedad abeliana con d = 2, por el grupo de orden 2 de automorfismos generados por x → - x en la variedad abeliana.
Caso general
Mumford define un grupo theta asociado a una gavilla invertible L en una variedad abeliana A . Este es un grupo de auto-automorfismos de L , y es un análogo finito del grupo de Heisenberg . Los resultados primarios son en la acción del grupo theta en las secciones globales de L . Cuando L es muy amplio , se puede describir la representación lineal , mediante la estructura del grupo theta. De hecho, el grupo theta es en abstracto un tipo simple de grupo nilpotente , una extensión central de un grupo de puntos de torsión en A , y la extensión es conocida (en efecto, está dada por el emparejamiento de Weil ). Hay un resultado de unicidad para las representaciones lineales irreductibles del grupo theta con un carácter central dado , o en otras palabras, un análogo del teorema de Stone-von Neumann . (Se supone para esto que la característica del campo de coeficientes no divide el orden del grupo theta).
Mumford mostró cómo esta formulación algebraica extracto podría ser responsable de la teoría clásica de funciones theta con theta características , como el caso en el que el grupo theta era una extensión de los dos-torsión de A .
Una innovación en esta área es utilizar la transformada Mukai-Fourier .
El anillo de coordenadas
El objetivo de la teoría es probar resultados en el anillo de coordenadas homogéneo de la variedad abeliana incrustada A , es decir, en un espacio proyectivo de acuerdo con una L muy amplia y sus secciones globales. El anillo conmutativo escalonado que está formado por la suma directa de las secciones globales del
es decir, el n -fold producto tensorial de sí mismo, se representa como el anillo cociente de un álgebra polinomio por un ideales homogénea I . Las partes calificadas de I han sido objeto de un intenso estudio.
Bernhard Riemann proporcionó las relaciones cuadráticas . El teorema de Koizumi establece que normalmente se genera la tercera potencia de un haz de líneas amplio . El teorema de Mumford-Kempf establece que la cuarta potencia de un haz de líneas amplio se presenta en forma cuadrática. Para un campo de base de característica cero , Giuseppe Pareschi resultó ser un resultado, incluyendo éstos (como los casos p = 0, 1) que había sido conjeturado por Lazarsfeld: que L sea un amplio haz de línea en una variedad abeliana A . Si n ≥ p + 3, entonces la n -ésima potencia del tensor de L satisface la condición N p . [1] Pareschi y Popa han demostrado otros resultados, incluido el trabajo previo en el campo. [2]
Ver también
Referencias
- David Mumford , Sobre las ecuaciones que definen las variedades abelianas, invento. Math., 1 (1966) págs. 287–354
- ____, Sobre las ecuaciones que definen las variedades abelianas II-III Inventar. Math., 3 (1967) págs. 71-135; 215–244
- ____, variedades abelianas (1974)
- Jun-ichi Igusa , Funciones Theta (1972)
- ^ Giuseppe Pareschi, Syzygies of Abelian Varieties , Revista de la Sociedad Matemática Estadounidense, Vol. 13, núm. 3 (julio de 2000), págs. 651–664.
- ^ Giuseppe Pareschi, Minhea Popa, Regularidad en variedades abelianas II: resultados básicos en series lineales y ecuaciones definitorias , J. Alg. Geom. 13 (2004), 167–193; http://www.math.uic.edu/~mpopa/papers/abv2.pdf Archivado el 12 de julio de 2010 en Wayback Machine.
Otras lecturas
- David Mumford , artículos seleccionados sobre la clasificación de variedades y espacios de módulos , comentario editorial de G. Kempf y H. Lange, págs. 293–5