En matemáticas , la geometría algebraica y la geometría analítica son dos materias estrechamente relacionadas. Mientras que la geometría algebraica estudia las variedades algebraicas , la geometría analítica se ocupa de las variedades complejas y los espacios analíticos más generales definidos localmente por la desaparición de funciones analíticas de varias variables complejas . La profunda relación entre estos temas tiene numerosas aplicaciones en las que se aplican técnicas algebraicas a espacios analíticos y técnicas analíticas a variedades algebraicas.
Declaración principal
Sea X una variedad algebraica compleja proyectiva . Como X es una variedad compleja, a su conjunto de puntos complejos X ( C ) se le puede dar la estructura de un espacio analítico complejo compacto . Este espacio analítico se denota X an . Del mismo modo, sies una gavilla en X , entonces hay una gavilla correspondienteen X an . Esta asociación de un objeto analítico a uno algebraico es un funtor. El teorema prototípico que relaciona X y X an dice que para dos haces coherentes cualesquiera y en X , el homomorfismo natural:
es un isomorfismo. Aquíes el haz de estructuras de la variedad algebraica X yes el haz de estructuras de la variedad analítica X an . En otras palabras, la categoría de gavillas coherentes en la variedad algebraica X es equivalente a la categoría de gavillas coherentes analíticas en la variedad analítica X an , y la equivalencia se da en objetos por mapeo a . (Nótese en particular queen sí es coherente, un resultado conocido como el teorema de coherencia de Oka ).
Otra declaración importante es la siguiente: Para cualquier gavilla coherente en una variedad algebraica X los homomorfismos
son isomorfismos para todas las q . Esto significa que el q -ésimo grupo de cohomología en X es isomorfo al grupo de cohomología en X an .
El teorema se aplica de manera mucho más general que lo indicado anteriormente (consulte la declaración formal a continuación). Este y su demostración tienen muchas consecuencias, como el teorema de Chow , el principio de Lefschetz y el teorema de desaparición de Kodaira .
Fondo
Las variedades algebraicas se definen localmente como los conjuntos de polinomios de cero comunes y dado que los polinomios sobre los números complejos son funciones holomórficas , las variedades algebraicas sobre C pueden interpretarse como espacios analíticos. De manera similar, los morfismos regulares entre variedades se interpretan como mapeos holomórficos entre espacios analíticos. Sorprendentemente, a menudo es posible ir al revés, interpretar los objetos analíticos de una manera algebraica.
Por ejemplo, es fácil probar que las funciones analíticas de la esfera de Riemann a sí misma son funciones racionales o la función idénticamente infinita (una extensión del teorema de Liouville ). Porque si tal función f no es constante, entonces, dado que el conjunto de z donde f (z) es infinito está aislado y la esfera de Riemann es compacta, hay un número finito de z con f (z) igual a infinito. Considere la expansión de Laurent en todos esos zy reste la parte singular: nos queda una función en la esfera de Riemann con valores en C , que según el teorema de Liouville es constante. Por tanto, f es una función racional. Este hecho muestra que no existe una diferencia esencial entre la línea proyectiva compleja como una variedad algebraica o como la esfera de Riemann .
Resultados importantes
Existe una larga historia de resultados de comparación entre la geometría algebraica y la geometría analítica, comenzando en el siglo XIX. Algunos de los avances más importantes se enumeran aquí en orden cronológico.
Teorema de existencia de Riemann
La teoría de la superficie de Riemann muestra que una superficie de Riemann compacta tiene suficientes funciones meromórficas , lo que la convierte en una curva algebraica . Bajo el nombre de teorema de existencia de Riemann se conoció un resultado más profundo sobre revestimientos ramificados de una superficie compacta de Riemann: tales revestimientos finitos como espacios topológicos se clasifican por representaciones de permutación del grupo fundamental del complemento de los puntos de ramificación . Dado que la propiedad de la superficie de Riemann es local, tales revestimientos se ven con bastante facilidad como revestimientos en el sentido analítico complejo. Entonces es posible concluir que provienen de cubrir mapas de curvas algebraicas, es decir, todas estas cubiertas provienen de extensiones finitas del campo de función .
El principio de Lefschetz
En el siglo XX, el principio de Lefschetz , llamado así por Solomon Lefschetz , fue citado en geometría algebraica para justificar el uso de técnicas topológicas para geometría algebraica sobre cualquier campo K algebraicamente cerrado de característica 0, tratando a K como si fuera el campo de números complejos. . Una forma elemental afirma que los enunciados verdaderos de la teoría de campos de primer orden sobre C son verdaderos para cualquier campo K algebraicamente cerrado de característica cero. Un principio preciso y su demostración se deben a Alfred Tarski y se basan en la lógica matemática . [1] [2]
Este principio permite transferir algunos resultados obtenidos mediante métodos analíticos o topológicos para variedades algebraicas sobre C a otros campos de tierra algebraicamente cerrados de característica 0.
Teorema de chow
El teorema de Chow , probado por Wei-Liang Chow , es un ejemplo del tipo de comparación disponible más inmediatamente útil. Afirma que un subespacio analítico de espacio proyectivo complejo que está cerrado (en el sentido topológico ordinario) es una subvariedad algebraica. Esto puede reformularse como "cualquier subespacio analítico de espacio proyectivo complejo que está cerrado en la topología fuerte está cerrado en la topología de Zariski ". Esto permite un uso bastante libre de métodos analíticos complejos dentro de las partes clásicas de la geometría algebraica.
GAGÁ
Las bases para las muchas relaciones entre las dos teorías se establecieron durante la primera parte de la década de 1950, como parte del negocio de sentar las bases de la geometría algebraica para incluir, por ejemplo, técnicas de la teoría de Hodge . El artículo principal que consolidó la teoría fue Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique Serre (1956) de Jean-Pierre Serre , ahora conocido como GAGA . Demuestra resultados generales que relacionan clases de variedades algebraicas, morfismos regulares y gavillas con clases de espacios analíticos, mapeos holomórficos y gavillas. Reduce todo esto a la comparación de categorías de roldanas.
Hoy en día la frase resultado estilo GAGA se utiliza para cualquier teorema de comparación, permitiendo el paso entre una categoría de objetos de la geometría algebraica y sus morfismos, a una subcategoría bien definida de objetos de geometría analítica y mapeos holomórficos.
Declaración formal de GAGA
- Dejar ser un esquema de tipo finita sobre C . Entonces hay un espacio topológico X una que como un conjunto se compone de los puntos cerrados de X con un mapa inclusión continua λ X : X un → X . La topología en X an se denomina "topología compleja" (y es muy diferente de la topología del subespacio).
- Φ Supongamos que: X → Y es un morfismo de esquemas de tipo localmente finita sobre C . Entonces existe una aplicación continua φ una : X un → Y un tal λ Y ° φ un = φ ° λ X .
- Hay una gavilla en X un tal quees un espacio anillado y λ X : X an → X se convierte en un mapa de espacios anillados. El espacio se llama la "analitificación" de y es un espacio analítico. Para cada φ: X → Y el mapa φ an definido anteriormente es un mapeo de espacios analíticos. Además, el mapa φ ↦ φ y mapas abren inmersiones en inmersiones abiertas. Si X = Spec ( C [ x 1 , ..., x n ]) entonces X an = C n ypara cada Polydisc U es un cociente adecuada del espacio de las funciones holomorfas en U .
- Por cada gavilla en X (llamado gavilla algebraica) hay una gavillasobre X an (llamado gavilla analítica) y un mapa de gavillas de-módulos . La gavilla Se define como . La correspondencia define un funtor exacto de la categoría de gavillas sobre a la categoría de gavillas de .
Las siguientes dos declaraciones son el corazón del teorema GAGA de Serre (extendido por Alexander Grothendieck , Amnon Neeman y otros). - Si f : X → Y es un morfismo arbitrario de esquemas de tipo finito sobre C y es coherente entonces el mapa natural es inyectable. Si f es correcto, entonces este mapa es un isomorfismo. También se tienen isomorfismos de todas las gavillas de imagen directa superiores. en este caso.
- Ahora suponga que X an es Hausdorff y compacto. Si son dos haces algebraicos coherentes en y si es un mapa de gavillas de -módulos, entonces existe un mapa único de gavillas de -módulos con f = φ an . Si es un haz analítico coherente de -módulos sobre X y entonces existe una gavilla algebraica coherente de -módulos y un isomorfismo .
En una generalidad ligeramente menor, el teorema de GAGA afirma que la categoría de haces algebraicos coherentes en una variedad proyectiva compleja X y la categoría de haces analíticos coherentes en el espacio analítico correspondiente X an son equivalentes. El espacio analítico X an se obtiene de forma aproximada tirando hacia X de la estructura compleja de C n a través de los gráficos de coordenadas. De hecho, formular el teorema de esta manera está más cerca en espíritu del artículo de Serre, ya que el lenguaje de la teoría de esquemas completo que utiliza en gran medida la declaración formal anterior aún no se había inventado en el momento de la publicación de GAGA.
Notas
- ^ Para discusiones ver Abraham Seidenberg , Comentarios sobre el principio de Lefschetz , American Mathematical Monthly , vol. 65, núm. 9 (noviembre de 1958), págs. 685–690; 'Gerhard Frey y Hans-Georg Rück, El fuerte principio de Lefschetz en geometría algebraica , Manuscripta Mathematica, Volumen 55, Números 3–4, septiembre de 1986, págs. 385–401.
- ^ "Principio de transferencia" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Referencias
- Serre, Jean-Pierre (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique" , Annales de l'Institut Fourier , 6 : 1–42, doi : 10.5802 / aif.59 , ISSN 0373-0956 , MR 0082175