En geometría algebraica, un haz de álgebras en un espacio anillado X es un haz de anillos conmutativos en X que también es un haz de-módulos . Es casi coherente si lo es como módulo.
Cuando X es un esquema , al igual que un anillo, se puede tomar la especificación global de un haz de álgebras casi coherente: esto da como resultado el funtor contravariante de la categoría de cuasi-coherente (gavillas de) -álgebras sobre X a la categoría de esquemas que son afines sobre X (definidos a continuación). Además, es una equivalencia: el cuasi inverso se da enviando un morfismo afín a [1]
Morfismo afín
Un morfismo de esquemas se llama afín si tiene una cubierta afín abierta es tal que son afines. [2] Por ejemplo, un morfismo finito es afín. Un morfismo afín es cuasi-compacto y separado ; en particular, la imagen directa de una gavilla casi coherente a lo largo de un morfismo afín es casi coherente.
El cambio de base de un morfismo afín es afín. [3]
Dejar ser un morfismo afín entre esquemas y un espacio anillado localmente junto con un mapa. Luego, el mapa natural entre los conjuntos:
es biyectiva. [4]
Ejemplos de
- Dejar ser la normalización de una variedad algebraica X . Entonces, dado que f es finito, es casi coherente y .
- Dejar ser una gavilla localmente libre de rango finito en un esquema X . Luego es un cuasi-coherente -álgebra y es el paquete de vectores asociado sobre X (llamado el espacio total de.)
- De manera más general, si F es una gavilla coherente en X , entonces uno todavía tiene, generalmente llamado casco abeliano de F ; ver Cono (geometría algebraica) #Ejemplos .
La formación de imágenes directas.
Dado un espacio anillado S , existe la categoría de parejas que consiste en un morfismo espacial anillado y un -módulo . Entonces la formación de imágenes directas determina el functor contravariante de a la categoría de pares que constan de un -álgebra A y un A -módulo M que envía cada par a la pareja .
Ahora suponga que S es un esquema y luego dejemos ser la subcategoría que consta de pares tal que es un morfismo afín entre esquemas y una gavilla casi coherente en . Entonces el funtor anterior determina la equivalencia entre y la categoría de parejas que consiste en un -álgebra A y un cuasi coherente-módulo . [5]
La equivalencia anterior se puede utilizar (entre otras cosas) para realizar la siguiente construcción. Como antes, dado un esquema S , sea A un cuasi coherente-algebra y luego tomar su especificación global: . Entonces, para cada módulo A cuasi coherente M , hay un cuasi coherente correspondiente-módulo tal que llamado la gavilla asociada a M . Dicho de otra manera determina una equivalencia entre la categoría de cuasi coherente -módulos y el cuasi-coherente -módulos.
Ver también
Referencias
- Grothendieck, Alexandre ; Dieudonné, Jean (1971). Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (en francés). 166 (2ª ed.). Berlina; Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-05113-8.
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157