En geometría , HSM Coxeter llamó a un politopo regular un tipo especial de configuración .
Otras configuraciones en geometría son algo diferente. Estas configuraciones de politopos pueden denominarse con mayor precisión matrices de incidencia , donde los elementos similares se agrupan en filas y columnas. Los politopos regulares tendrán una fila y columna por elemento de k- face , mientras que otros politopos tendrán una fila y columna para cada tipo de k-face por sus clases de simetría. Un politopo sin simetría tendrá una fila y una columna para cada elemento, y la matriz se rellenará con 0 si los elementos no están conectados y 1 si están conectados. Los elementos de la misma k no estarán conectados y tendrán una entrada de tabla "*". [1]
Cada politopo y politopo abstracto tiene un diagrama de Hasse que expresa estas conectividades, que pueden describirse sistemáticamente con una matriz de incidencia .
Matriz de configuración para politopos regulares
Una configuración para un politopo regular está representada por una matriz donde el elemento diagonal, N i , es el número de i- caras en el politopo. Los elementos diagonales también se denominan vector f de un politopo . El elemento no diagonal ( i ≠ j ) N ij es el número de j- caras incidentes con cada i -elemento de cara, de modo que N i N ij = N j N ji . [2]
El principio se extiende generalmente a n dimensiones, donde 0 ≤ j < n .
Polígonos
Un polígono regular , símbolo de Schläfli { q }, tendrá una matriz de 2x2, con la primera fila para los vértices y la segunda fila para los bordes. El orden g es 2 q .
Un n-gon general tendrá una matriz de 2n x 2n, con las primeras n filas y vértices de columnas, y las últimas n filas y columnas como aristas.
Ejemplo de triángulo
Hay tres clasificaciones de simetría de un triángulo : equilátero, isósceles y escaleno. Todos tienen la misma matriz de incidencia , pero la simetría permite recopilar y contar vértices y aristas. Estos triángulos tienen vértices etiquetados como A, B, C y aristas a, b, c, mientras que los vértices y aristas que se pueden asignar entre sí mediante una operación de simetría se etiquetan de forma idéntica.
Equilátero {3} | Isósceles {} ∨ () | Escaleno () ∨ () ∨ () |
---|---|---|
(v: 3; e: 3) | (v: 2 + 1; e: 2 + 1) | (v: 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1) |
| A | a- + --- + ---A | 3 | 2- + --- + ---a | 2 | 3 | | AB | ab- + ----- + -----A | 2 * | 1 1B | * 1 | 2 0- + ----- + -----a | 1 1 | 2 *b | 2 0 | * 1 | | ABC | a B C- + ------- + -------A | 1 * * | 0 1 1B | * 1 * | 1 0 1C | * * 1 | 1 1 0- + ------- + -------a | 0 1 1 | 1 * *b | 1 0 1 | * 1 *c | 1 1 0 | * * 1 |
Cuadriláteros
Los cuadriláteros se pueden clasificar por simetría, cada uno con su propia matriz. Existen cuadriláteros con pares duales que tendrán la misma matriz, girada 180 grados, con vértices y aristas invertidos. Los cuadrados y paralelogramos, y los cuadriláteros generales son auto-duales por clase, por lo que sus matrices no cambian cuando se giran 180 grados.
Cuadrado {4} | Rectángulo {} × {} | Rombo {} + {} | Paralelogramo |
---|---|---|---|
(v: 4; e: 4) | (v: 4; e: 2 + 2) | (v: 2 + 2; e: 4) | (v: 2 + 2; e: 2 + 2) |
| A | a- + --- + ---A | 4 | 2- + --- + ---a | 2 | 4 | | A | ab- + --- + -----A | 4 | 1 1- + --- + -----a | 2 | 2 *b | 2 | * 2 | | AB | a- + ----- + ---A | 2 * | 2B | * 2 | 2- + ----- + ---a | 1 1 | 4 | | AB | ab- + ----- + -----A | 2 * | 1 1B | * 2 | 1 1- + ----- + -----a | 1 1 | 2 *b | 1 1 | * 2 |
Trapezoide isósceles {} || {} | cometa | General | |
(v: 2 + 2; e: 1 + 1 + 2) | (v: 1 + 1 + 2; e: 2 + 2) | (v: 1 + 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1 + 1) | |
| AB | a B C- + ----- + -------A | 2 * | 1 0 1B | * 2 | 0 1 1- + ----- + ------a | 2 0 | 1 * *b | 0 2 | * 1 *c | 1 1 | * * 2 | | ABC | ab- + ------- + ----A | 1 * * | 2 0B | * 1 * | 0 2C | * * 2 | 1 1- + ------- + ----a | 1 0 1 | 2 *b | 0 1 1 | * 2 | | ABCD | a B C D- + --------- + --------A | 1 * * * | 1 0 0 1B | * 1 * * | 1 1 0 0C | * * 1 * | 0 1 1 0D | * * * 1 | 0 0 1 1- + --------- + --------a | 1 1 0 0 | 1 * * *b | 0 1 1 0 | * 1 * *c | 0 0 1 1 | * * 1 *d | 1 0 0 1 | * * * 1 |
Polígonos complejos
La idea también es aplicable para polígonos complejos regulares , p { q } r , construidos en:
El grupo de reflexión complejo es p [ q ] r , orden . [3] [4]
Poliedros
La idea se puede aplicar en tres dimensiones considerando incidencias de puntos, líneas y planos, o espacios j (0 ≤ j <3) , donde cada espacio j es incidente con N jk k -espacios ( j ≠ k ) . Escribiendo N j para el número de espacios j presentes, una configuración dada puede ser representada por la matriz
- para el símbolo de Schläfli {p, q}, con orden de grupo g = 4 pq / (4 - ( p - 2) ( q - 2)).
Tetraedro
Los tetraedros tienen matrices que también se pueden agrupar por su simetría, con un tetraedro general que tiene 14 filas y columnas para los 4 vértices, 6 aristas y 4 caras. Los tetraedros son auto-duales y al rotar los matices 180 grados (intercambiando vértices y caras) no cambiará.
Regular (v: 4; e: 6; f: 4) | difenoide tetragonal (v: 4; e: 2 + 4; f: 4) | Disfenoide rómbico (v: 4; e: 2 + 2 + 2; f: 4) | Disfenoide digital (v: 2 + 2; e: 4 + 1 + 1; f: 2 + 2) | Disfenoide fílico (v: 2 + 2; e: 2 + 2 + 1 + 1; f: 2 + 2) |
---|---|---|---|---|
A | 4 | 3 | 3--- + --- + --- + - a | 2 | 6 | 2--- + --- + --- + -aaa | 3 | 3 | 4 | A | 4 | 2 1 | 3--- + --- + ----- + - a | 2 | 4 * | 2 b | 2 | * 2 | 2--- + --- + ----- + -aab | 3 | 2 1 | 4 | A | 4 | 1 1 1 | 3---- + --- + ------- + - a | 2 | 2 * * | 2 b | 2 | * 2 * | 2 c | 2 | * * 2 | 2---- + --- + ------- + - abc | 3 | 1 1 1 | 4 | A | 2 * | 2 1 0 | 2 1 B | * 2 | 2 0 1 | 1 2--- + ----- + ------- + ---- a | 1 1 | 4 * * | 1 1 b | 2 0 | * 1 * | 2 0 c | 0 2 | * * 1 | 0 2--- + ----- + ------- + ----aab | 2 1 | 2 1 0 | 2 *aac | 1 2 | 2 0 1 | * 2 | A | 2 * | 1 0 1 1 | 1 2 B | * 2 | 1 1 1 0 | 2 1--- + ----- + --------- + ---- a | 1 1 | 2 * * * | 1 1 b | 1 1 | * 2 * * | 1 1 c | 0 2 | * * 1 * | 2 0 d | 2 0 | * * * 1 | 0 2--- + ----- + --------- + ----abc | 1 2 | 1 1 1 0 | 2 *bcd | 2 1 | 1 1 0 1 | * 2 |
Pirámide triangular (v: 3 + 1; e: 3 + 3; f: 3 + 1) | Esferoide reflejado (v: 2 + 1 + 1; e: 2 + 2 + 1 + 1; f: 2 + 1 + 1) | Sin simetría (v: 1 + 1 + 1 + 1; e: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1; f: 1 + 1 + 1 + 1) | ||
A | 3 * | 2 1 | 2 1 B | * 1 | 0 3 | 3 0--- + ----- + ----- + ---- a | 2 0 | 3 * | 1 1 b | 1 1 | * 3 | 2 0--- + ----- + ----- + ----abb | 2 1 | 1 2 | 3 *aaa | 3 0 | 3 0 | * 1 | A | 2 * * | 1 1 0 1 | 1 1 1 B | * 1 * | 2 0 1 0 | 0 2 1 C | * * 1 | 0 2 1 0 | 1 2 0--- + ------- + --------- + ------ a | 1 0 1 | 2 * * * | 0 1 1 b | 0 1 1 | * 2 * * | 1 1 0 c | 1 1 0 | * * 1 * | 0 2 0 d | 0 0 2 | * * * 1 | 1 0 1--- + ------- + --------- + ------ABC | 1 1 1 | 1 1 1 0 | 2 * *ACC | 1 0 2 | 2 0 0 1 | * 1 *BCC | 0 1 2 | 0 2 0 1 | * * 1 | A | 1 0 0 0 | 1 1 1 0 0 0 | 1 1 1 0 B | 0 1 0 0 | 1 0 0 1 1 0 | 1 1 0 1 C | 0 0 1 0 | 0 1 0 1 0 1 | 1 0 1 1 D | 0 0 0 1 | 0 0 1 0 1 1 | 0 1 1 1---- + --------- + ------------- + -------- a | 1 1 0 0 | 1 0 0 0 0 0 | 1 1 0 0 b | 1 0 1 0 | 0 1 0 0 0 0 | 1 0 1 0 c | 1 0 0 1 | 0 0 1 0 0 0 | 0 1 1 0 d | 0 1 1 0 | 0 0 0 1 0 0 | 1 0 0 1 e | 0 1 0 1 | 0 0 0 0 1 0 | 0 1 0 1 f | 0 0 1 1 | 0 0 0 0 0 1 | 0 0 1 1---- + --------- + ------------- + --------ABC | 1 1 1 0 | 1 1 0 1 0 0 | 1 0 0 0ABD | 1 1 0 1 | 1 0 1 0 1 0 | 0 1 0 0ACD | 1 0 1 1 | 0 1 1 0 0 1 | 0 0 1 0BCD | 0 1 1 1 | 0 0 0 1 1 1 | 0 0 0 1 |
Notas
- ^ Klitzing, Richard. "Matrices de incidencia" .
- ^ Coxeter, Politopos regulares complejos , p. 117
- ↑ Lehrer y Taylor, 2009, p.87
- ^ Politopos regulares complejos, p. 117
Referencias
- Coxeter, HSM (1948), Politopos regulares , Methuen y Co.
- Coxeter, HSM (1991), Politopos complejos regulares , Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
- Coxeter, HSM (1999), "Configuraciones auto-duales y gráficos regulares", La belleza de la geometría , Dover, ISBN 0-486-40919-8