En geometría , un politopo complejo es una generalización de un politopo en el espacio real a una estructura análoga en un espacio de Hilbert complejo , donde cada dimensión real está acompañada por una imaginaria .
Un politopo complejo puede entenderse como una colección de puntos complejos, líneas, planos, etc., donde cada punto es la unión de múltiples líneas, cada línea de múltiples planos, etc.
Existen definiciones precisas solo para los politopos complejos regulares , que son configuraciones . Los politopos complejos regulares se han caracterizado completamente y pueden describirse utilizando una notación simbólica desarrollada por Coxeter .
También se han descrito algunos politopos complejos que no son completamente regulares.
Definiciones e introducción
La linea compleja tiene una dimensión con coordenadas reales y otra con coordenadas imaginarias . Se dice que la aplicación de coordenadas reales a ambas dimensiones le da dos dimensiones sobre los números reales. Un plano real, con el eje imaginario etiquetado como tal, se llama diagrama de Argand . Debido a esto, a veces se le llama plano complejo. El 2-espacio complejo (también llamado a veces el plano complejo) es, por tanto, un espacio de cuatro dimensiones sobre los reales, y así sucesivamente en dimensiones superiores.
Un n- politopo complejo en un n- espacio complejo es el análogo de un n - politopo real en un n- espacio real .
No existe un análogo complejo natural del orden de los puntos en una línea real (o de las propiedades combinatorias asociadas). Debido a esto, un politopo complejo no puede verse como una superficie contigua y no delimita un interior de la forma en que lo hace un politopo real.
En el caso de politopos regulares , se puede hacer una definición precisa utilizando la noción de simetría. Para cualquier politopo regular, el grupo de simetría (aquí un grupo de reflexión complejo , llamado grupo Shephard ) actúa de manera transitiva sobre las banderas , es decir, sobre las secuencias anidadas de un punto contenido en una línea contenida en un plano y así sucesivamente.
Más completamente, digamos que una colección P de subespacios afines (o planos ) de un espacio unitario complejo V de dimensión n es un politopo complejo regular si cumple las siguientes condiciones: [1] [2]
- para cada −1 ≤ i < j < k ≤ n , si F es un piso en P de dimensión i y H es un piso en P de dimensión k tal que F ⊂ H entonces hay al menos dos pisos G en P de dimensión j tal que F ⊂ G ⊂ H ;
- para todo i , j tal que −1 ≤ i < j - 2, j ≤ n , si F ⊂ G son planos de P de dimensiones i , j , entonces el conjunto de planos entre F y G está conectado, en el sentido de que se puede pasar de cualquier miembro de este conjunto a cualquier otro mediante una secuencia de contención; y
- el subconjunto de transformaciones unitarias de V que fijan P son transitivas en las banderas F 0 ⊂ F 1 ⊂… ⊂ F n de planos de P (con F i de dimensión i para todo i ).
(Aquí, un plano de dimensión -1 se considera el conjunto vacío.) Así, por definición, los politopos complejos regulares son configuraciones en un espacio unitario complejo.
Los politopos complejos regulares fueron descubiertos por Shephard (1952), y la teoría fue desarrollado por Coxeter (1974).
Este polígono complejo tiene 8 aristas (líneas complejas), etiquetadas como a .. h , y 16 vértices. Cuatro vértices se encuentran en cada borde y dos bordes se cruzan en cada vértice. En la imagen de la izquierda, los cuadrados delineados no son elementos del politopo, sino que se incluyen simplemente para ayudar a identificar los vértices que se encuentran en la misma línea compleja. El perímetro octagonal de la imagen de la izquierda no es un elemento del politopo, pero es un polígono petrie . [3] En la imagen del medio, cada borde se representa como una línea real y los cuatro vértices de cada línea se pueden ver más claramente. | Un boceto en perspectiva que representa los 16 puntos de vértice como grandes puntos negros y los 8 4 bordes como cuadrados delimitados dentro de cada borde. El camino verde representa el perímetro octagonal de la imagen de la izquierda. |
Existe un politopo complejo en el espacio complejo de dimensión equivalente. Por ejemplo, los vértices de un polígono complejo son puntos en el plano complejo., y los bordes son líneas complejas existiendo como subespacios (afines) del plano y se cruzan en los vértices. Por tanto, a una arista se le puede dar un sistema de coordenadas que consta de un solo número complejo. [ aclaración necesaria ]
En un politopo complejo regular, los vértices incidentes en el borde están dispuestos simétricamente con respecto a su centroide , que a menudo se usa como el origen del sistema de coordenadas del borde (en el caso real, el centroide es solo el punto medio del borde). La simetría surge de una reflexión compleja sobre el centroide; esta reflexión dejará la magnitud de cualquier vértice sin cambios, pero cambiará su argumento en una cantidad fija, moviéndolo a las coordenadas del siguiente vértice en orden. Entonces podemos suponer (después de una elección adecuada de escala) que los vértices en el borde satisfacen la ecuacióndonde p es el número de vértices incidentes. Por lo tanto, en el diagrama de Argand del borde, los puntos de vértice se encuentran en los vértices de un polígono regular centrado en el origen.
Tres proyecciones reales del polígono complejo regular 4 {4} 2 se ilustran arriba, con aristas a, b, c, d, e, f, g, h . Tiene 16 vértices, que para mayor claridad no se han marcado individualmente. Cada borde tiene cuatro vértices y cada vértice se encuentra en dos bordes, por lo tanto, cada borde se encuentra con otros cuatro bordes. En el primer diagrama, cada borde está representado por un cuadrado. Los lados del cuadrado no son partes del polígono, sino que están dibujados únicamente para ayudar a relacionar visualmente los cuatro vértices. Los bordes están dispuestos simétricamente. (Tenga en cuenta que el diagrama se parece a la proyección del plano de Coxeter B 4 del tesseract , pero es estructuralmente diferente).
El diagrama del medio abandona la simetría octogonal en favor de la claridad. Cada borde se muestra como una línea real y cada punto de encuentro de dos líneas es un vértice. La conectividad entre los distintos bordes es evidente.
El último diagrama da una idea de la estructura proyectada en tres dimensiones: los dos cubos de vértices son de hecho del mismo tamaño pero se ven en perspectiva a diferentes distancias en la cuarta dimensión.
Politopos unidimensionales complejos regulares
Un politopo unidimensional real existe como un segmento cerrado en la línea real , definido por sus dos puntos finales o vértices en la línea. Su símbolo Schläfli es {}.
De manera análoga, un 1-politopo complejo existe como un conjunto de p puntos de vértice en la línea compleja. Estos pueden representarse como un conjunto de puntos en un diagrama de Argand ( x , y ) = x + iy . Un politopo unidimensional complejo regular p {} tiene p ( p ≥ 2) puntos de vértice dispuestos para formar un polígono regular convexo { p } en el plano de Argand. [4]
A diferencia de los puntos de la línea real, los puntos de la línea compleja no tienen un orden natural. Así, a diferencia de los politopos reales, no se puede definir ningún interior. [5] A pesar de esto, los 1-politopos complejos a menudo se dibujan, como aquí, como un polígono regular acotado en el plano de Argand.
Un politopo unidimensional real regular está representado por un símbolo de Schläfli vacío {}, o diagrama de Coxeter-Dynkin . El punto o nodo del diagrama de Coxeter-Dynkin en sí mismo representa un generador de reflexión mientras que el círculo alrededor del nodo significa que el punto generador no está en la reflexión, por lo que su imagen reflectante es un punto distinto de sí mismo. Por extensión, un politopo unidimensional complejo regular entiene diagrama de Coxeter-Dynkin , para cualquier entero positivo p , 2 o mayor, que contenga p vértices. p se puede suprimir si es 2. También se puede representar con un símbolo de Schläfli vacío p {},} p {, {} p , o p {2} 1 . El 1 es un marcador de posición de notación, que representa un reflejo inexistente o un generador de identidad del período 1. (Un politopo 0, real o complejo es un punto y se representa como} {o 1 {2} 1 ).
La simetría se denota mediante el diagrama de Coxeter , y alternativamente se puede describir en notación de Coxeter como p [], [] p o] p [, p [2] 1 o p [1] p . La simetría es isomorfa al grupo cíclico , orden p . [6] Los subgrupos de p [] son cualquier divisor completo d , d [], donde d ≥2.
Un generador de operador unitario parase ve como una rotación de 2π / p radianes en sentido antihorario , y unEl borde se crea mediante aplicaciones secuenciales de un solo reflejo unitario. Un generador de reflexión unitaria para un 1-politopo con p vértices es e 2π i / p = cos (2π / p ) + i sin (2π / p ) . Cuando p = 2, el generador es e π i = –1, lo mismo que un punto de reflexión en el plano real.
En politopos de mayor complejidad, los 1-politopos forman p- bordes. Una arista 2 es similar a una arista real ordinaria, ya que contiene dos vértices, pero no es necesario que exista en una línea real.
Polígonos complejos regulares
Mientras que los politopos 1 pueden tener p ilimitado , los polígonos complejos regulares finitos, excluyendo los polígonos de doble prisma p {4} 2 , están limitados a elementos de 5 aristas (aristas pentagonales) y los ápeirogones regulares infinitos también incluyen 6 aristas (aristas hexagonales) elementos.
Notaciones
Notación Schläfli modificada de Shephard
Shephard ideó originalmente una forma modificada de la notación de Schläfli para politopos regulares. Para un polígono delimitado por p 1 -edges, con un p 2 -set como figura de vértice y grupo de simetría general de orden g , denotamos el polígono como p 1 ( g ) p 2 .
El número de vértices V es entonces g / p 2 y el número de aristas E es g / p 1 .
El polígono complejo ilustrado arriba tiene ocho aristas cuadradas ( p 1 = 4) y dieciséis vértices ( p 2 = 2). A partir de esto, podemos calcular que g = 32, dando el símbolo de Schläfli modificado 4 (32) 2.
Notación Schläfli modificada revisada de Coxeter
Una notación más moderna p 1 { q } p 2 se debe a Coxeter , [7] y se basa en la teoría de grupos. Como grupo de simetría, su símbolo es p 1 [ q ] p 2 .
El grupo de simetría p 1 [ q ] p 2 está representado por 2 generadores R 1 , R 2 , donde: R 1 p 1 = R 2 p 2 = I. Si q es par, (R 2 R 1 ) q / 2 = (R 1 R 2 ) q / 2 . Si q es impar, (R 2 R 1 ) (q-1) / 2 R 2 = (R 1 R 2 ) ( q -1) / 2 R 1 . Cuando q es impar, p 1 = p 2 .
Para 4 [4] 2 tiene R 1 4 = R 2 2 = I, (R 2 R 1 ) 2 = (R 1 R 2 ) 2 .
Para 3 [5] 3 tiene R 1 3 = R 2 3 = I, (R 2 R 1 ) 2 R 2 = (R 1 R 2 ) 2 R 1 .
Diagramas de Coxeter-Dynkin
Coxeter también generalizó el uso de diagramas de Coxeter-Dynkin a politopos complejos, por ejemplo, el polígono complejo p { q } r está representado pory el grupo de simetría equivalente, p [ q ] r , es un diagrama sin anillos. Los nodos p y r representan espejos que producen p y r imágenes en el plano. Los nodos sin etiqueta en un diagrama tienen 2 etiquetas implícitas. Por ejemplo, un polígono regular real es 2 { q } 2 o { q } o.
Una limitación, los nodos conectados por órdenes de sucursales impares deben tener órdenes de nodo idénticas. Si no lo hacen, el grupo creará polígonos "estrellados", con elementos superpuestos. Entonces y son ordinarios, mientras que es estrellado.
12 grupos Shephard irreductibles
Coxeter enumeró esta lista de polígonos complejos regulares en . Un polígono regular de complejo, p { q } R o, tiene p- bordes y r - figuras de vértice gonales . p { q } r es un politopo finito si ( p + r ) q > pr ( q -2).
Su simetría se escribe como p [ q ] r , llamado grupo Shephard , análogo al grupo Coxeter , mientras que también permite reflejos unitarios .
Para los grupos no estrellados, el orden del grupo p [ q ] r se puede calcular como. [9]
El número de Coxeter para p [ q ] r es, por lo que el orden del grupo también se puede calcular como . Se puede dibujar un polígono complejo regular en proyección ortogonal con simetría h -gonal.
Las soluciones de rango 2 que generan polígonos complejos son:
Grupo | G 3 = G ( q , 1,1) | G 2 = G ( p , 1,2) | G 4 | G 6 | G 5 | G 8 | G 14 | G 9 | G 10 | G 20 | G 16 | G 21 | G 17 | G 18 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 [ q ] 2 , q = 3,4 ... | p [4] 2 , p = 2,3 ... | 3 [3] 3 | 3 [6] 2 | 3 [4] 3 | 4 [3] 4 | 3 [8] 2 | 4 [6] 2 | 4 [4] 3 | 3 [5] 3 | 5 [3] 5 | 3 [10] 2 | 5 [6] 2 | 5 [4] 3 | |
Pedido | 2 q | 2 p 2 | 24 | 48 | 72 | 96 | 144 | 192 | 288 | 360 | 600 | 720 | 1200 | 1800 |
h | q | 2 p | 6 | 12 | 24 | 30 | 60 |
Las soluciones excluidas con q impar y p y r desiguales son: 6 [3] 2 , 6 [3] 3 , 9 [3] 3 , 12 [3] 3 , ..., 5 [5] 2 , 6 [5] 2 , 8 [5] 2 , 9 [5] 2 , 4 [7] 2 , 9 [5] 2 , 3 [9] 2 y 3 [11] 2 .
Otros q enteros con p y r desiguales , crean grupos estrellados con dominios fundamentales superpuestos:, , , , , y .
El polígono dual de p { q } r es r { q } p . Un polígono de la forma p { q } p es auto-dual. Los grupos de la forma p [2 q ] 2 tienen una media simetría p [ q ] p , por lo que un polígono regular es lo mismo que cuasirregular . Además, polígono regular con el mismo orden de nodo,, tener una construcción alterna, permitiendo que los bordes adyacentes sean de dos colores diferentes. [10]
El orden de grupo, g , se usa para calcular el número total de vértices y aristas. Tendrá vértices g / r y aristas g / p . Cuando p = r , el número de vértices y aristas es igual. Esta condición es necesaria cuando q es impar.
Generadores de matrices
El grupo p [ q ] r ,, se puede representar mediante dos matrices: [11]
Nombre | R 1 | R 2 |
---|---|---|
Pedido | pag | r |
Matriz |
|
|
Con
- k =
- Ejemplos de
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Enumeración de polígonos complejos regulares
Coxeter enumeró los polígonos complejos en la Tabla III de Politopos complejos regulares. [12]
Grupo | Pedido | Número de Coxeter | Polígono | Vértices | Bordes | Notas | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G (q, q, 2) 2 [ q ] 2 = [ q ] q = 2,3,4, ... | 2 q | q | 2 { q } 2 | q | q | {} | Polígonos regulares reales Igual que Igual que si q incluso |
Grupo | Pedido | Número de Coxeter | Polígono | Vértices | Bordes | Notas | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G ( p , 1,2) p [4] 2 p = 2,3,4, ... | 2 p 2 | 2 p | p (2 p 2 ) 2 | p {4} 2 | | p 2 | 2 p | p {} | igual que p {} × p {} o representación como p - p duoprisma |
2 (2 p 2 ) p | 2 {4} p | 2 p | p 2 | {} | representación como p - p duopyramid | ||||
G (2,1,2) 2 [4] 2 = [4] | 8 | 4 | 2 {4} 2 = {4} | 4 | 4 | {} | igual que {} × {} o Plaza real | ||
G (3,1,2) 3 [4] 2 | 18 | 6 | 6 (18) 2 | 3 {4} 2 | 9 | 6 | 3 {} | igual que 3 {} × 3 {} o representación como 3-3 duoprisma | |
2 (18) 3 | 2 {4} 3 | 6 | 9 | {} | representación como 3-3 duopyramid | ||||
G (4,1,2) 4 [4] 2 | 32 | 8 | 8 (32) 2 | 4 {4} 2 | dieciséis | 8 | 4 {} | igual que 4 {} × 4 {} o representación como 4-4 duoprisma o {4,3,3} | |
2 (32) 4 | 2 {4} 4 | 8 | dieciséis | {} | representación como 4-4 duopyramid o {3,3,4} | ||||
G (5,1,2) 5 [4] 2 | 50 | 25 | 5 (50) 2 | 5 {4} 2 | 25 | 10 | 5 {} | igual que 5 {} × 5 {} o representación como 5-5 duoprisma | |
2 (50) 5 | 2 {4} 5 | 10 | 25 | {} | representación como 5-5 duopyramid | ||||
G (6,1,2) 6 [4] 2 | 72 | 36 | 6 (72) 2 | 6 {4} 2 | 36 | 12 | 6 {} | igual que 6 {} × 6 {} o representación como 6-6 duoprisma | |
2 (72) 6 | 2 {4} 6 | 12 | 36 | {} | representación como 6-6 duopyramid | ||||
G 4 = G (1,1,2) 3 [3] 3 <2,3,3> | 24 | 6 | 3 (24) 3 | 3 {3} 3 | 8 | 8 | 3 {} | Configuración de Möbius-Kantor auto-dual, igual que representación como {3,3,4} | |
G 6 3 [6] 2 | 48 | 12 | 3 (48) 2 | 3 {6} 2 | 24 | dieciséis | 3 {} | igual que | |
3 {3} 2 | polígono estrellado | ||||||||
2 (48) 3 | 2 {6} 3 | dieciséis | 24 | {} | |||||
2 {3} 3 | polígono estrellado | ||||||||
G 5 3 [4] 3 | 72 | 12 | 3 (72) 3 | 3 {4} 3 | 24 | 24 | 3 {} | auto-dual, igual que representación como {3,4,3} | |
G 8 4 [3] 4 | 96 | 12 | 4 (96) 4 | 4 {3} 4 | 24 | 24 | 4 {} | auto-dual, igual que representación como {3,4,3} | |
G 14 3 [8] 2 | 144 | 24 | 3 (144) 2 | 3 {8} 2 | 72 | 48 | 3 {} | igual que | |
3 {8/3} 2 | polígono estrellado, igual que | ||||||||
2 (144) 3 | 2 {8} 3 | 48 | 72 | {} | |||||
2 {8/3} 3 | polígono estrellado | ||||||||
G 9 4 [6] 2 | 192 | 24 | 4 (192) 2 | 4 {6} 2 | 96 | 48 | 4 {} | igual que | |
2 (192) 4 | 2 {6} 4 | 48 | 96 | {} | |||||
4 {3} 2 | 96 | 48 | {} | polígono estrellado | |||||
2 {3} 4 | 48 | 96 | {} | polígono estrellado | |||||
G 10 4 [4] 3 | 288 | 24 | 4 (288) 3 | 4 {4} 3 | 96 | 72 | 4 {} | ||
12 | 4 {8/3} 3 | polígono estrellado | |||||||
24 | 3 (288) 4 | 3 {4} 4 | 72 | 96 | 3 {} | ||||
12 | 3 {8/3} 4 | polígono estrellado | |||||||
G 20 3 [5] 3 | 360 | 30 | 3 (360) 3 | 3 {5} 3 | 120 | 120 | 3 {} | auto-dual, igual que representación como {3,3,5} | |
3 {5/2} 3 | polígono estrellado auto-dual | ||||||||
G 16 5 [3] 5 | 600 | 30 | 5 (600) 5 | 5 {3} 5 | 120 | 120 | 5 {} | auto-dual, igual que representación como {3,3,5} | |
10 | 5 {5/2} 5 | polígono estrellado auto-dual | |||||||
G 21 3 [10] 2 | 720 | 60 | 3 (720) 2 | 3 {10} 2 | 360 | 240 | 3 {} | igual que | |
3 {5} 2 | polígono estrellado | ||||||||
3 {10/3} 2 | polígono estrellado, igual que | ||||||||
3 {5/2} 2 | polígono estrellado | ||||||||
2 (720) 3 | 2 {10} 3 | 240 | 360 | {} | |||||
2 {5} 3 | polígono estrellado | ||||||||
2 {10/3} 3 | polígono estrellado | ||||||||
2 {5/2} 3 | polígono estrellado | ||||||||
G 17 5 [6] 2 | 1200 | 60 | 5 (1200) 2 | 5 {6} 2 | 600 | 240 | 5 {} | igual que | |
20 | 5 {5} 2 | polígono estrellado | |||||||
20 | 5 {10/3} 2 | polígono estrellado | |||||||
60 | 5 {3} 2 | polígono estrellado | |||||||
60 | 2 (1200) 5 | 2 {6} 5 | 240 | 600 | {} | ||||
20 | 2 {5} 5 | polígono estrellado | |||||||
20 | 2 {10/3} 5 | polígono estrellado | |||||||
60 | 2 {3} 5 | polígono estrellado | |||||||
G 18 5 [4] 3 | 1800 | 60 | 5 (1800) 3 | 5 {4} 3 | 600 | 360 | 5 {} | ||
15 | 5 {10/3} 3 | polígono estrellado | |||||||
30 | 5 {3} 3 | polígono estrellado | |||||||
30 | 5 {5/2} 3 | polígono estrellado | |||||||
60 | 3 (1800) 5 | 3 {4} 5 | 360 | 600 | 3 {} | ||||
15 | 3 {10/3} 5 | polígono estrellado | |||||||
30 | 3 {3} 5 | polígono estrellado | |||||||
30 | 3 {5/2} 5 | polígono estrellado |
Visualizaciones de polígonos complejos regulares
Los polígonos de la forma p {2 r } q pueden visualizarse mediante q conjuntos de colores de p -edge. Cada p -arista se ve como un polígono regular, mientras que no hay caras.
- Proyecciones ortogonales 2D de polígonos complejos 2 { r } q
Los polígonos de la forma 2 {4} q se denominan ortoplejos generalizados . Comparten vértices con las duopirámides 4D q - q , vértices conectados por 2 aristas.
2 {4} 2 ,, con 4 vértices y 4 aristas
2 {4} 3 ,, con 6 vértices y 9 aristas [13]
2 {4} 4 ,, con 8 vértices y 16 aristas
2 {4} 5 ,, con 10 vértices y 25 aristas
2 {4} 6 ,, con 12 vértices y 36 aristas
2 {4} 7 ,, con 14 vértices y 49 aristas
2 {4} 8 ,, con 16 vértices y 64 aristas
2 {4} 9 ,, con 18 vértices y 81 aristas
2 {4} 10 ,, con 20 vértices y 100 aristas
- Polígonos complejos p {4} 2
Los polígonos de la forma p {4} 2 se denominan hipercubos generalizados (cuadrados para polígonos). Comparten vértices con los duoprismas 4D p - p , vértices conectados por p-bordes. Los vértices se dibujan en verde y los bordes p se dibujan en colores alternativos, rojo y azul. La perspectiva se distorsiona ligeramente para que las dimensiones impares muevan los vértices superpuestos desde el centro.
2 {4} 2 , o , con 4 vértices y 4 de 2 aristas
3 {4} 2 , o , con 9 vértices y 6 (triangulares) de 3 aristas [13]
4 {4} 2 , o , con 16 vértices y 8 (cuadrados) de 4 aristas
5 {4} 2 , o , con 25 vértices y 10 (pentagonales) de 5 aristas
6 {4} 2 , o , con 36 vértices y 12 (hexagonales) de 6 aristas
7 {4} 2 , o , con 49 vértices y 14 (heptagonal) de 7 aristas
8 {4} 2 , o , con 64 vértices y 16 (octogonal) de 8 aristas
9 {4} 2 , o , con 81 vértices y 18 (enneagonal) de 9 aristas
10 {4} 2 , o , con 100 vértices y 20 (decagonales) de 10 aristas
- Proyecciones en perspectiva 3D de polígonos complejos p {4} 2 . Los duales 2 {4} p
- se ven agregando vértices dentro de los bordes y agregando bordes en lugar de vértices.
3 {4} 2 , o con 9 vértices, 6 3 bordes en 2 juegos de colores
2 {4} 3 , con 6 vértices, 9 aristas en 3 conjuntos
4 {4} 2 , o con 16 vértices, 8 de 4 aristas en 2 juegos de colores y un cuadrado de 4 aristas relleno
5 {4} 2 , o con 25 vértices, 10 5 aristas en 2 juegos de colores
- Otros polígonos complejos p { r } 2
3 {6} 2 , o , con 24 vértices en negro y 16 de 3 aristas coloreadas en 2 conjuntos de 3 aristas en rojo y azul [14]
3 {8} 2 , o , con 72 vértices en negro y 48 3 bordes coloreados en 2 conjuntos de 3 bordes en rojo y azul [15]
- Proyecciones ortogonales 2D de polígonos complejos, p { r } p
Los polígonos de la forma p { r } p tienen el mismo número de vértices y aristas. También son auto-duales.
3 {3} 3 , o , con 8 vértices en negro y 8 de 3 aristas coloreadas en 2 conjuntos de 3 aristas en rojo y azul [16]
3 {4} 3 , o , con 24 vértices y 24 3 bordes mostrados en 3 conjuntos de colores, un conjunto lleno [17]
4 {3} 4 , o , con 24 vértices y 24 de 4 aristas que se muestran en 4 conjuntos de colores [17]
3 {5} 3 , o , con 120 vértices y 120 de 3 aristas [18]
5 {3} 5 , o , con 120 vértices y 120 de 5 aristas [19]
Politopos complejos regulares
En general, un politopo complejo regular está representado por Coxeter como p { z 1 } q {z 2 } r {z 3 } s … o diagrama de Coxeter…, Teniendo simetría p [ z 1 ] q [ z 2 ] r [ z 3 ] s … o…. [20]
Existen infinitas familias de politopos complejos regulares que se dan en todas las dimensiones, generalizando los hipercubos y politopos cruzados en el espacio real. El "ortótopo generalizado" de Shephard generaliza el hipercubo; tiene el símbolo dado por γp
n= p {4} 2 {3} 2 … 2 {3} 2 y diagrama.... Su grupo de simetría tiene el diagrama p [4] 2 [3] 2 … 2 [3] 2 ; en la clasificación de Shephard-Todd, este es el grupo G ( p , 1, n ) que generaliza las matrices de permutación con signo. Su politopo regular dual, el "politopo cruzado generalizado", está representado por el símbolo βp
n= 2 {3} 2 {3} 2 … 2 {4} py diagrama.... [21]
Un politopo complejo regular unidimensional en se representa como , que tiene p vértices, con su representación real un polígono regular , { p }. Coxeter también le da el símbolo γp
1 o βp
1como hipercubo generalizado unidimensional o politopo cruzado. Su simetría es p [] o, un grupo cíclico de orden p . En un politopo superior, p {} orepresenta un elemento de borde p , con 2 bordes, {} o, que representa una arista real ordinaria entre dos vértices. [21]
Un politopo de complejo dual se construye intercambiando ky ( n -1- k ) -elementos de un n -politopo. Por ejemplo, un polígono complejo dual tiene vértices centrados en cada borde y los nuevos bordes están centrados en los vértices antiguos. Una v vértice -valence crea un nuevo v -Edge, y e -edges convertido e -valence vértices. [22] El dual de un politopo complejo regular tiene un símbolo invertido. Los politopos complejos regulares con símbolos simétricos, es decir, p { q } p , p { q } r { q } p , p { q } r { s } r { q } p , etc. son auto duales .
Enumeración de poliedros complejos regulares
Coxeter enumeró esta lista de poliedros complejos regulares no estrellados en , incluidos los 5 sólidos platónicos en. [23]
Un poliedro complejo regular, p { n 1 } q { n 2 } r o, posee caras, bordes, y figuras de vértice .
Un poliedro regular complejo p { n 1 } q { n 2 } r requiere que tanto g 1 = orden ( p [ n 1 ] q ) como g 2 = orden ( q [ n 2 ] r ) sean finitos.
Dado g = orden ( p [ n 1 ] q [ n 2 ] r ), el número de vértices es g / g 2 y el número de caras es g / g 1 . El número de aristas es g / pr .
Espacio | Grupo | Pedido | Número de Coxeter | Polígono | Vértices | Bordes | Caras | Figura de vértice | Polígono de Van Oss | Notas | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G (1,1,3) 2 [3] 2 [3] 2 = [3,3] | 24 | 4 | α 3 = 2 {3} 2 {3} 2 = {3,3} | 4 | 6 | {} | 4 | {3} | {3} | ninguno | Tetraedro real Igual que | ||
G 23 2 [3] 2 [5] 2 = [3,5] | 120 | 10 | 2 {3} 2 {5} 2 = {3,5} | 12 | 30 | {} | 20 | {3} | {5} | ninguno | Icosaedro real | ||
2 {5} 2 {3} 2 = {5,3} | 20 | 30 | {} | 12 | {5} | {3} | ninguno | Dodecaedro real | |||||
G (2,1,3) 2 [3] 2 [4] 2 = [3,4] | 48 | 6 | β2 3= β 3 = {3,4} | 6 | 12 | {} | 8 | {3} | {4} | {4} | Octaedro real Igual que {} + {} + {}, orden 8 Igual que, orden 24 | ||
γ2 3= γ 3 = {4,3} | 8 | 12 | {} | 6 | {4} | {3} | ninguno | Cubo real Igual que {} × {} × {} o | |||||
G (p, 1,3) 2 [3] 2 [4] p p = 2,3,4, ... | 6 p 3 | 3 p | βp 3= 2 {3} 2 {4} p | | 3 p | 3 p 2 | {} | p 3 | {3} | 2 {4} p | 2 {4} p | Octaedro generalizado Igual que p {} + p {} + p {}, orden p 3 Igual que, orden 6 p 2 | |
γp 3= p {4} 2 {3} 2 | p 3 | 3 p 2 | p {} | 3 p | p {4} 2 | {3} | ninguno | Cubo generalizado Igual que p {} × p {} × p {} o | |||||
G (3,1,3) 2 [3] 2 [4] 3 | 162 | 9 | β3 3= 2 {3} 2 {4} 3 | 9 | 27 | {} | 27 | {3} | 2 {4} 3 | 2 {4} 3 | Igual que 3 {} + 3 {} + 3 {}, orden 27 Igual que, orden 54 | ||
γ3 3= 3 {4} 2 {3} 2 | 27 | 27 | 3 {} | 9 | 3 {4} 2 | {3} | ninguno | Igual que 3 {} × 3 {} × 3 {} o | |||||
G (4,1,3) 2 [3] 2 [4] 4 | 384 | 12 | β4 3= 2 {3} 2 {4} 4 | 12 | 48 | {} | 64 | {3} | 2 {4} 4 | 2 {4} 4 | Igual que 4 {} + 4 {} + 4 {}, orden 64 Igual que, orden 96 | ||
γ4 3= 4 {4} 2 {3} 2 | 64 | 48 | 4 {} | 12 | 4 {4} 2 | {3} | ninguno | Igual que 4 {} × 4 {} × 4 {} o | |||||
G (5,1,3) 2 [3] 2 [4] 5 | 750 | 15 | β5 3= 2 {3} 2 {4} 5 | 15 | 75 | {} | 125 | {3} | 2 {4} 5 | 2 {4} 5 | Igual que 5 {} + 5 {} + 5 {}, orden 125 Igual que, orden 150 | ||
γ5 3= 5 {4} 2 {3} 2 | 125 | 75 | 5 {} | 15 | 5 {4} 2 | {3} | ninguno | Igual que 5 {} × 5 {} × 5 {} o | |||||
G (6,1,3) 2 [3] 2 [4] 6 | 1296 | 18 | β6 3= 2 {3} 2 {4} 6 | 36 | 108 | {} | 216 | {3} | 2 {4} 6 | 2 {4} 6 | Igual que 6 {} + 6 {} + 6 {}, orden 216 Igual que, orden 216 | ||
γ6 3= 6 {4} 2 {3} 2 | 216 | 108 | 6 {} | 18 | 6 {4} 2 | {3} | ninguno | Igual que 6 {} × 6 {} × 6 {} o | |||||
G 25 3 [3] 3 [3] 3 | 648 | 9 | 3 {3} 3 {3} 3 | 27 | 72 | 3 {} | 27 | 3 {3} 3 | 3 {3} 3 | 3 {4} 2 | Igual que . representación como 2 21 poliedro de Hesse | ||
G 26 2 [4] 3 [3] 3 | 1296 | 18 | 2 {4} 3 {3} 3 | 54 | 216 | {} | 72 | 2 {4} 3 | 3 {3} 3 | {6} | |||
3 {3} 3 {4} 2 | 72 | 216 | 3 {} | 54 | 3 {3} 3 | 3 {4} 2 | 3 {4} 3 | Igual que [24] representación como 1 22 |
Visualizaciones de poliedros complejos regulares
- Proyecciones ortogonales 2D de poliedros complejos, p { s } t { r } r
Real {3,3} , o tiene 4 vértices, 6 aristas y 4 caras
3 {3} 3 {3} 3 , o , tiene 27 vértices, 72 de 3 aristas y 27 caras, con una cara resaltada en azul. [25]
2 {4} 3 {3} 3 ,tiene 54 vértices, 216 aristas simples y 72 caras, con una cara resaltada en azul. [26]
3 {3} 3 {4} 2 , o , tiene 72 vértices, 216 de 3 aristas y 54 vértices, con una cara resaltada en azul. [27]
- Octaedros generalizados
Los octaedros generalizados tienen una construcción regular como y forma cuasirregular como . Todos los elementos son símplex .
Real {3,4} , o , con 6 vértices, 12 aristas y 8 caras
2 {3} 2 {4} 3 , o , con 9 vértices, 27 aristas y 27 caras
2 {3} 2 {4} 4 , o , con 12 vértices, 48 aristas y 64 caras
2 {3} 2 {4} 5 , o , con 15 vértices, 75 aristas y 125 caras
2 {3} 2 {4} 6 , o , con 18 vértices, 108 aristas y 216 caras
2 {3} 2 {4} 7 , o , con 21 vértices, 147 aristas y 343 caras
2 {3} 2 {4} 8 , o , con 24 vértices, 192 aristas y 512 caras
2 {3} 2 {4} 9 , o , con 27 vértices, 243 aristas y 729 caras
2 {3} 2 {4} 10 , o , con 30 vértices, 300 aristas y 1000 caras
- Cubos generalizados
Los cubos generalizados tienen una construcción regular como y construcción prismática como , un producto de tres politopos 1 p- gonales. Los elementos son cubos generalizados de dimensiones inferiores.
Real {4,3} , o tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras
3 {4} 2 {3} 2 , o tiene 27 vértices, 27 de 3 aristas y 9 caras [25]
4 {4} 2 {3} 2 , o , con 64 vértices, 48 aristas y 12 caras
5 {4} 2 {3} 2 , o , con 125 vértices, 75 aristas y 15 caras
6 {4} 2 {3} 2 , o , con 216 vértices, 108 aristas y 18 caras
7 {4} 2 {3} 2 , o , con 343 vértices, 147 aristas y 21 caras
8 {4} 2 {3} 2 , o , con 512 vértices, 192 aristas y 24 caras
9 {4} 2 {3} 2 , o , con 729 vértices, 243 aristas y 27 caras
10 {4} 2 {3} 2 , o , con 1000 vértices, 300 aristas y 30 caras
Enumeración de 4 politopos complejos regulares
Coxeter enumeró esta lista de 4-politopos complejos regulares no estrellados en , incluyendo los 6 politopos regulares convexos en. [23]
Espacio | Grupo | Pedido | Número de Coxeter | Politopo | Vértices | Bordes | Caras | Células | Polígono de Van Oss | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G (1,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 = [3,3,3] | 120 | 5 | α 4 = 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 = {3,3,3} | 5 | 10 {} | 10 {3} | 5 {3,3} | ninguno | Real de 5 celdas (símplex) | |
G 28 2 [3] 2 [4] 2 [3] 2 = [3,4,3] | 1152 | 12 | 2 {3} 2 {4} 2 {3} 2 = {3,4,3} | 24 | 96 {} | 96 {3} | 24 {3,4} | {6} | 24 celdas reales | |
G 30 2 [3] 2 [3] 2 [5] 2 = [3,3,5] | 14400 | 30 | 2 {3} 2 {3} 2 {5} 2 = {3,3,5} | 120 | 720 {} | 1200 {3} | 600 {3,3} | {10} | 600 celdas reales | |
2 {5} 2 {3} 2 {3} 2 = {5,3,3} | 600 | 1200 {} | 720 {5} | 120 {5,3} | 120 celdas reales | |||||
G (2,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] p = [3,3,4] | 384 | 8 | β2 4= β 4 = {3,3,4} | 8 | 24 {} | 32 {3} | 16 {3,3} | {4} | Real de 16 celdas Igual que, orden 192 | |
γ2 4= γ 4 = {4,3,3} | dieciséis | 32 {} | 24 {4} | 8 {4,3} | ninguno | Tesseract real Igual que {} 4 o, orden 16 | ||||
G (p, 1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] p p = 2,3,4, ... | 24 p 4 | 4 p | βp. 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} p | 4 p | 6 p 2 {} | 4 p 3 {3} | p 4 {3,3} | 2 {4} p | 4- ortoplex generalizado Igual que, orden 24 p 3 | |
γp. 4= p {4} 2 {3} 2 {3} 2 | p. 4 | 4 p 3 p {} | 6 p 2 p {4} 2 | 4 p p {4} 2 {3} 2 | ninguno | Tesseract generalizado Igual que p {} 4 o, orden p 4 | ||||
G (3,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3 | 1944 | 12 | β3 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 | 12 | 54 {} | 108 {3} | 81 {3,3} | 2 {4} 3 | 4- ortoplex generalizado Igual que, orden 648 | |
γ3 4= 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2 | 81 | 108 3 {} | 54 3 {4} 2 | 12 3 {4} 2 {3} 2 | ninguno | Igual que 3 {} 4 o, orden 81 | ||||
G (4,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4 | 6144 | dieciséis | β4 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 | dieciséis | 96 {} | 256 {3} | 64 {3,3} | 2 {4} 4 | Igual que , orden 1536 | |
γ4 4= 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2 | 256 | 256 4 {} | 96 4 {4} 2 | 16 4 {4} 2 {3} 2 | ninguno | Igual que 4 {} 4 o, orden 256 | ||||
G (5,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5 | 15000 | 20 | β5 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 | 20 | 150 {} | 500 {3} | 625 {3,3} | 2 {4} 5 | Igual que , orden 3000 | |
γ5 4= 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2 | 625 | 500 5 {} | 150 5 {4} 2 | 20 5 {4} 2 {3} 2 | ninguno | Igual que 5 {} 4 o, orden 625 | ||||
G (6,1,4) 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6 | 31104 | 24 | β6 4= 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 | 24 | 216 {} | 864 {3} | 1296 {3,3} | 2 {4} 6 | Igual que , orden 5184 | |
γ6 4= 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2 | 1296 | 864 6 {} | 216 6 {4} 2 | 24 6 {4} 2 {3} 2 | ninguno | Igual que 6 {} 4 o, orden 1296 | ||||
G 32 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3 | 155520 | 30 | 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 | 240 | 2160 3 {} | 2160 3 {3} 3 | 240 3 {3} 3 {3} 3 | 3 {4} 3 | Witting politopo representación como 4 21 |
Visualizaciones de 4 politopos complejos regulares
{3,3,3} real ,, tenía 5 vértices, 10 aristas, 10 {3} caras y 5 {3,3} celdas
Real {3,4,3} ,, tenía 24 vértices, 96 aristas, 96 {3} caras y 24 {3,4} celdas
Real {5,3,3} ,, tenía 600 vértices, 1200 aristas, 720 {5} caras y 120 {5,3} celdas
Real {3,3,5} ,, tenía 120 vértices, 720 aristas, 1200 {3} caras y 600 {3,3} celdas
Witting politopo ,, tiene 240 vértices, 2160 de 3 aristas, 2160 de 3 {3} 3 caras y 240 de 3 {3} 3 {3} 3 celdas
- 4-ortoplejos generalizados
Los 4 ortoplexos generalizados tienen una construcción regular como y forma cuasirregular como . Todos los elementos son símplex .
{3,3,4} reales , o , con 8 vértices, 24 aristas, 32 caras y 16 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 , o , con 12 vértices, 54 aristas, 108 caras y 81 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 , o , con 16 vértices, 96 aristas, 256 caras y 256 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 , o , con 20 vértices, 150 aristas, 500 caras y 625 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 , o , con 24 vértices, 216 aristas, 864 caras y 1296 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 , o , con 28 vértices, 294 aristas, 1372 caras y 2401 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 , o , con 32 vértices, 384 aristas, 2048 caras y 4096 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 9 , o , con 36 vértices, 486 aristas, 2916 caras y 6561 celdas
2 {3} 2 {3} 2 {4} 10 , o , con 40 vértices, 600 aristas, 4000 caras y 10000 celdas
- 4 cubos generalizados
Los teseractos generalizados tienen una construcción regular como y construcción prismática como , un producto de cuatro politopos 1 p- gonales. Los elementos son cubos generalizados de dimensiones inferiores.
Real {4,3,3} , o , con 16 vértices, 32 aristas, 24 caras y 8 celdas
3 {4} 2 {3} 2 {3} 2 , o , con 81 vértices, 108 aristas, 54 caras y 12 celdas
4 {4} 2 {3} 2 {3} 2 , o , con 256 vértices, 96 aristas, 96 caras y 16 celdas
5 {4} 2 {3} 2 {3} 2 , o , con 625 vértices, 500 aristas, 150 caras y 20 celdas
6 {4} 2 {3} 2 {3} 2 , o , con 1296 vértices, 864 aristas, 216 caras y 24 celdas
7 {4} 2 {3} 2 {3} 2 , o , con 2401 vértices, 1372 aristas, 294 caras y 28 celdas
8 {4} 2 {3} 2 {3} 2 , o , con 4096 vértices, 2048 aristas, 384 caras y 32 celdas
9 {4} 2 {3} 2 {3} 2 , o , con 6561 vértices, 2916 aristas, 486 caras y 36 celdas
10 {4} 2 {3} 2 {3} 2 , o , con 10000 vértices, 4000 aristas, 600 caras y 40 celdas
Enumeración de 5 politopos complejos regulares
5 politopos complejos regulares en o superior existen en tres familias, los simplex reales y el hipercubo generalizado y el ortoplejo .
Espacio | Grupo | Pedido | Politopo | Vértices | Bordes | Caras | Células | 4 caras | Polígono de Van Oss | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G (1,1,5) = [3,3,3,3] | 720 | α 5 = {3,3,3,3} | 6 | 15 {} | 20 {3} | 15 {3,3} | 6 {3,3,3} | ninguno | Real 5-simplex | |
G (2,1,5) = [3,3,3,4] | 3840 | β2 5= β 5 = {3,3,3,4} | 10 | 40 {} | 80 {3} | 80 {3,3} | 32 {3,3,3} | {4} | Real 5-ortoplex Igual que, orden 1920 | |
γ2 5= γ 5 = {4,3,3,3} | 32 | 80 {} | 80 {4} | 40 {4,3} | 10 {4,3,3} | ninguno | Real 5-cube Igual que {} 5 o, orden 32 | |||
G (p, 1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] p | 120 p 5 | βp 5= 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} p | 5 p | 10 p 2 {} | 10 p 3 {3} | 5 p 4 {3,3} | p 5 {3,3,3} | 2 {4} p | 5-ortoplex generalizado Igual que, pedir 120 p 4 | |
γp 5= p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 | p 5 | 5 p 4 p {} | 10 p 3 p {4} 2 | 10 p 2 p {4} 2 {3} 2 | 5 p p {4} 2 {3} 2 {3} 2 | ninguno | 5 cubos generalizados Igual que p {} 5 o, orden p 5 | |||
G (3,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 3 | 29160 | β3 5= 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 | 15 | 90 {} | 270 {3} | 405 {3,3} | 243 {3,3,3} | 2 {4} 3 | Igual que , orden 9720 | |
γ3 5= 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 | 243 | 405 3 {} | 270 3 {4} 2 | 90 3 {4} 2 {3} 2 | 15 3 {4} 2 {3} 2 {3} 2 | ninguno | Igual que 3 {} 5 o, orden 243 | |||
G (4,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 4 | 122880 | β4 5= 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 | 20 | 160 {} | 640 {3} | 1280 {3,3} | 1024 {3,3,3} | 2 {4} 4 | Igual que , orden 30720 | |
γ4 5= 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 | 1024 | 1280 4 {} | 640 4 {4} 2 | 160 4 {4} 2 {3} 2 | 20 4 {4} 2 {3} 2 {3} 2 | ninguno | Igual que 4 {} 5 o, orden 1024 | |||
G (5,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 5 | 375000 | β5 5= 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {5} 5 | 25 | 250 {} | 1250 {3} | 3125 {3,3} | 3125 {3,3,3} | 2 {5} 5 | Igual que , orden 75000 | |
γ5 5= 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 | 3125 | 3125 5 {} | 1250 5 {5} 2 | 250 5 {5} 2 {3} 2 | 25 5 {4} 2 {3} 2 {3} 2 | ninguno | Igual que 5 {} 5 o, orden 3125 | |||
G (6,1,5) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 6 | 933210 | β6 5= 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 | 30 | 360 {} | 2160 {3} | 6480 {3,3} | 7776 {3,3,3} | 2 {4} 6 | Igual que , orden 155520 | |
γ6 5= 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 | 7776 | 6480 6 {} | 2160 6 {4} 2 | 360 6 {4} 2 {3} 2 | 30 6 {4} 2 {3} 2 {3} 2 | ninguno | Igual que 6 {} 5 o, orden 7776 |
Visualizaciones de 5 politopos complejos regulares
- 5-ortoplejos generalizados
Los 5-ortoplexos generalizados tienen una construcción regular como y forma cuasirregular como . Todos los elementos son símplex .
Real {3,3,3,4} ,, con 10 vértices, 40 aristas, 80 caras, 80 celdas y 32 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 ,, con 15 vértices, 90 aristas, 270 caras, 405 celdas y 243 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 ,, con 20 vértices, 160 aristas, 640 caras, 1280 celdas y 1024 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 ,, con 25 vértices, 250 aristas, 1250 caras, 3125 celdas y 3125 de 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 ,, con 30 vértices, 360 aristas, 2160 caras, 6480 celdas, 7776 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 ,, con 35 vértices, 490 aristas, 3430 caras, 12005 celdas, 16807 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 ,, con 40 vértices, 640 aristas, 5120 caras, 20480 celdas, 32768 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 9 ,, con 45 vértices, 810 aristas, 7290 caras, 32805 celdas, 59049 4 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 10 ,, con 50 vértices, 1000 aristas, 10000 caras, 50000 celdas, 100000 4 caras
- 5 cubos generalizados
Los 5 cubos generalizados tienen una construcción regular como y construcción prismática como , un producto de cinco politopos 1 p- gonales. Los elementos son cubos generalizados de dimensiones inferiores.
Real {4,3,3,3} ,, con 32 vértices, 80 aristas, 80 caras, 40 celdas y 10 4 caras
3 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,, con 243 vértices, 405 aristas, 270 caras, 90 celdas y 15 de 4 caras
4 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,, con 1024 vértices, 1280 aristas, 640 caras, 160 celdas y 20 de 4 caras
5 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,, con 3125 vértices, 3125 aristas, 1250 caras, 250 celdas y 25 de 4 caras
6 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,, con 7776 vértices, 6480 aristas, 2160 caras, 360 celdas y 30 de 4 caras
Enumeración de 6 politopos complejos regulares
Espacio | Grupo | Pedido | Politopo | Vértices | Bordes | Caras | Células | 4 caras | 5 caras | Polígono de Van Oss | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
G (1,1,6) = [3,3,3,3,3] | 720 | α 6 = {3,3,3,3,3} | 7 | 21 {} | 35 {3} | 35 {3,3} | 21 {3,3,3} | 7 {3,3,3,3} | ninguno | Real 6-simplex | |
G (2,1,6) [3,3,3,4] | 46080 | β2 6= β 6 = {3,3,3,4} | 12 | 60 {} | 160 {3} | 240 {3,3} | 192 {3,3,3} | 64 {3,3,3,3} | {4} | Real 6-ortoplex Igual que, orden 23040 | |
γ2 6= γ 6 = {4,3,3,3} | 64 | 192 {} | 240 {4} | 160 {4,3} | 60 {4,3,3} | 12 {4,3,3,3} | ninguno | Real 6-cube Igual que {} 6 o, orden 64 | |||
G (p, 1,6) 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] p | 720 p. 6 | βp 6= 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} p | 6 p | 15 p 2 {} | 20 p 3 {3} | 15 p. 4 {3,3} | 6 p 5 {3,3,3} | p 6 {3,3,3,3} | 2 {4} p | 6-ortoplex generalizado Igual que, orden 720 p 5 | |
γp 6= p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 | p 6 | 6 p 5 p {} | 15 p 4 p {4} 2 | 20 p 3 p {4} 2 {3} 2 | 15 p 2 p {4} 2 {3} 2 {3} 2 | 6 p p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 | ninguno | 6 cubos generalizados Igual que p {} 6 o, orden p 6 |
Visualizaciones de 6 politopos complejos regulares
- 6-ortoplejos generalizados
Los 6-ortoplejos generalizados tienen una construcción regular como y forma cuasirregular como . Todos los elementos son símplex .
Real {3,3,3,3,4} ,, con 12 vértices, 60 aristas, 160 caras, 240 celdas, 192 de 4 caras y 64 de 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 3 ,, con 18 vértices, 135 aristas, 540 caras, 1215 celdas, 1458 de 4 caras y 729 de 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 4 ,, con 24 vértices, 240 aristas, 1280 caras, 3840 celdas, 6144 de 4 caras y 4096 de 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 5 ,, con 30 vértices, 375 aristas, 2500 caras, 9375 celdas, 18750 de 4 caras y 15625 de 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 6 ,, con 36 vértices, 540 aristas, 4320 caras, 19440 celdas, 46656 de 4 caras y 46656 de 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 7 ,, con 42 vértices, 735 aristas, 6860 caras, 36015 celdas, 100842 4 caras, 117649 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 8 ,, con 48 vértices, 960 aristas, 10240 caras, 61440 celdas, 196608 4 caras, 262144 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 9 ,, con 54 vértices, 1215 aristas, 14580 caras, 98415 celdas, 354294 4 caras, 531441 5 caras
2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} 10 ,, con 60 vértices, 1500 aristas, 20000 caras, 150000 celdas, 600000 4 caras, 1000000 5 caras
- 6 cubos generalizados
Los 6 cubos generalizados tienen una construcción regular como y construcción prismática como , un producto de seis politopos 1 p- gonales. Los elementos son cubos generalizados de dimensiones inferiores.
Real {3,3,3,3,3,4} ,, con 64 vértices, 192 aristas, 240 caras, 160 celdas, 60 de 4 caras y 12 de 5 caras
3 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,, con 729 vértices, 1458 aristas, 1215 caras, 540 celdas, 135 de 4 caras y 18 de 5 caras
4 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,, con 4096 vértices, 6144 aristas, 3840 caras, 1280 celdas, 240 de 4 caras y 24 de 5 caras
5 {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 ,, con 15625 vértices, 18750 aristas, 9375 caras, 2500 celdas, 375 de 4 caras y 30 de 5 caras
Enumeración de apeirótopos complejos regulares
Coxeter enumeró esta lista de panales o apeirótopos complejos regulares no estrellados. [28]
Para cada dimensión hay 12 apeirotopos simbolizados como δp , r
n + 1 existe en cualquier dimensión , o si p = q = 2. Coxeter llama a estos panales cúbicos generalizados para n > 2. [29]
Cada uno tiene recuentos de elementos proporcionales dados como:
- k-caras = , dónde y n ! denota el factorial de n .
1-politopos complejos regulares
El único 1-politopo complejo regular es ∞ {}, o. Su representación real es un apeirogon , {∞}, o.
Apeirogons complejos regulares
Los apeirogones complejos de rango 2 tienen simetría p [ q ] r , donde 1 / p + 2 / q + 1 / r = 1. Coxeter los expresa como δp , r
2donde q está limitado a satisfacer q = 2 / (1 - ( p + r ) / pr ) . [30]
Hay 8 soluciones:
2 [∞] 2 | 3 [12] 2 | 4 [8] 2 | 6 [6] 2 | 3 [6] 3 | 6 [4] 3 | 4 [4] 4 | 6 [3] 6 |
Hay dos soluciones excluidas q impar y p y r desiguales : 10 [5] 2 y 12 [3] 4 , o y .
Un apeirogon complejo regular p { q } r tiene p- bordes y r -figuras de vértice gonales. El doble apeirogon de p { q } r es r { q } p . Un apeirogon de la forma p { q } p es auto-dual. Los grupos de la forma p [2 q ] 2 tienen una media simetría p [ q ] p , por lo que un apeirogon regular es lo mismo que cuasirregular . [31]
Los Apeirogons se pueden representar en el plano de Argand y comparten cuatro arreglos de vértices diferentes. Apeirogons de la forma 2 { q } r tienen una disposición de vértice como { q / 2, p }. La forma p { q } 2 tiene un arreglo de vértices como r { p , q / 2}. Apeirogons de la forma p {4} r tienen arreglos de vértice { p , r }.
Incluyendo nodos afines y , hay 3 soluciones infinitas más: ∞ [2] ∞ , ∞ [4] 2 , ∞ [3] 3 , y, , y . El primero es un subgrupo de índice 2 del segundo. Los vértices de estos apeirogons existen en.
Espacio | Grupo | Apeirogon | Borde | reps. [32] | Imagen | Notas | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
2 [∞] 2 = [∞] | δ2,2 2 = {∞} | | {} | Real apeirogon Igual que | |||
/ | ∞ [4] 2 | ∞ {4} 2 | ∞ {} | {4,4} | Igual que | ||
∞ [3] 3 | ∞ {3} 3 | ∞ {} | {3,6} | Igual que | |||
p [ q ] r | δp, r 2= p { q } r | p {} | |||||
3 [12] 2 | δ3,2 2= 3 {12} 2 | 3 {} | r {3,6} | Igual que | |||
δ2,3 2= 2 {12} 3 | {} | {6,3} | |||||
3 [6] 3 | δ3,3 2= 3 {6} 3 | 3 {} | {3,6} | Igual que | |||
4 [8] 2 | δ4,2 2= 4 {8} 2 | 4 {} | {4,4} | Igual que | |||
δ2,4 2= 2 {8} 4 | {} | {4,4} | |||||
4 [4] 4 | δ4,4 2= 4 {4} 4 | 4 {} | {4,4} | Igual que | |||
6 [6] 2 | δ6,2 2= 6 {6} 2 | 6 {} | r {3,6} | Igual que | |||
δ2,6 2= 2 {6} 6 | {} | {3,6} | |||||
6 [4] 3 | δ6,3 2= 6 {4} 3 | 6 {} | {6,3} | ||||
δ3,6 2= 3 {4} 6 | 3 {} | {3,6} | |||||
6 [3] 6 | δ6,6 2= 6 {3} 6 | 6 {} | {3,6} | Igual que |
Apeiroedros complejos regulares
Hay 22 apeiroedros complejos regulares, de la forma p { a } q { b } r . 8 son auto-dual ( p = r y un = b ), mientras que 14 existen como pares polytope duales. Tres son completamente reales ( p = q = r = 2).
Coxeter simboliza 12 de ellos como δp , r
3o p {4} 2 {4} r es la forma regular del producto apeirotopo δp , r
2 × δp , r
2o p { q } r × p { q } R , en donde q se determina a partir de p y r .
es lo mismo que , así como , para p , r = 2,3,4,6. También = . [33]
Espacio | Grupo | Apeiroedro | Vértice | Borde | Cara | van Oss apeirogon | Notas | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 [3] 2 [4] ∞ | ∞ {4} 2 {3} 2 | ∞ {} | ∞ {4} 2 | Igual que ∞ {} × ∞ {} × ∞ {} o Representación real {4,3,4} | ||||||
p [4] 2 [4] r | p {4} 2 {4} r | | p 2 | 2 pq | p {} | r 2 | p {4} 2 | 2 { q } r | Igual que , p , r = 2,3,4,6 | |
[4,4] | δ2,2 3 = {4,4} | 4 | 8 | {} | 4 | {4} | {∞} | Mosaico cuadrado real Igual que o o | ||
3 [4] 2 [4] 2 3 [4] 2 [4] 3 4 [4] 2 [4] 2 4 [4] 2 [4] 4 6 [4] 2 [4] 2 6 [4] 2 [4] 3 6 [4] 2 [4] 6 | 3 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 3 3 {4} 2 {4} 3 4 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 4 4 {4} 2 {4} 4 6 {4} 2 {4} 2 2 {4} 2 {4} 6 6 {4} 2 {4} 3 3 {4} 2 {4} 6 6 {4} 2 {4} 6 | 9 4 9 16 4 16 36 4 36 9 36 | 12 12 18 16 16 32 24 24 36 36 72 | 3 {} {} 3 {} 4 {} {} 4 {} 6 {} {} 6 {} 3 {} 6 {} | 4 9 9 4 16 16 4 36 9 36 36 | 3 {4} 2 {4} 3 {4} 2 4 {4} 2 {4} 4 {4} 2 6 {4} 2 {4} 6 {4} 2 3 {4} 2 6 {4} 2 | p { q } r | Igual que o o Igual que Igual que Igual que o o Igual que Igual que Igual que o o Igual que Igual que Igual que Igual que |
Espacio | Grupo | Apeiroedro | Vértice | Borde | Cara | van Oss apeirogon | Notas | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 [4] r [4] 2 | 2 {4} r {4} 2 | | 2 | {} | 2 | p {4} 2 ' | 2 {4} r | Igual que y , r = 2,3,4,6 | ||
[4,4] | {4,4} | 2 | 4 | {} | 2 | {4} | {∞} | Igual que y | ||
2 [4] 3 [4] 2 2 [4] 4 [4] 2 2 [4] 6 [4] 2 | 2 {4} 3 {4} 2 2 {4} 4 {4} 2 2 {4} 6 {4} 2 | 2 | 9 16 36 | {} | 2 | 2 {4} 3 2 {4} 4 2 {4} 6 | 2 { q } r | Igual que y Igual que y Igual que y [34] |
Espacio | Grupo | Apeiroedro | Vértice | Borde | Cara | van Oss apeirogon | Notas | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 [6] 2 [3] 2 = [6,3] | {3,6} | | 1 | 3 | {} | 2 | {3} | {∞} | Azulejos triangulares reales | |
{6,3} | 2 | 3 | {} | 1 | {6} | ninguno | Azulejos hexagonales reales | |||
3 [4] 3 [3] 3 | 3 {3} 3 {4} 3 | 1 | 8 | 3 {} | 3 | 3 {3} 3 | 3 {4} 6 | Igual que | ||
3 {4} 3 {3} 3 | 3 | 8 | 3 {} | 2 | 3 {4} 3 | 3 {12} 2 | ||||
4 [3] 4 [3] 4 | 4 {3} 4 {3} 4 | 1 | 6 | 4 {} | 1 | 4 {3} 4 | 4 {4} 4 | Auto-dual, igual que | ||
4 [3] 4 [4] 2 | 4 {3} 4 {4} 2 | 1 | 12 | 4 {} | 3 | 4 {3} 4 | 2 {8} 4 | Igual que | ||
2 {4} 4 {3} 4 | 3 | 12 | {} | 1 | 2 {4} 4 | 4 {4} 4 |
3-apeirotopos complejos regulares
Hay 16 apeirotopos complejos regulares en . Coxeter expresa 12 de ellos por δp , r
3donde q está limitado a satisfacer q = 2 / (1 - ( p + r ) / pr ) . Estos también se pueden descomponer como apeirótopos del producto: = . El primer caso es el panal cúbico .
Espacio | Grupo | 3-apeirotopo | Vértice | Borde | Cara | Célula | van Oss apeirogon | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
p [4] 2 [3] 2 [4] r | δp , r 3= p {4} 2 {3} 2 {4} r | p {} | p {4} 2 | p {4} 2 {3} 2 | p { q } r | Igual que | ||
2 [4] 2 [3] 2 [4] 2 = [4,3,4] | δ2,2 3= 2 {4} 2 {3} 2 {4} 2 | {} | {4} | {4,3} | Nido de abeja cúbico Igual que o o | |||
3 [4] 2 [3] 2 [4] 2 | δ3,2 3= 3 {4} 2 {3} 2 {4} 2 | 3 {} | 3 {4} 2 | 3 {4} 2 {3} 2 | Igual que o o | |||
δ2,3 3= 2 {4} 2 {3} 2 {4} 3 | {} | {4} | {4,3} | Igual que | ||||
3 [4] 2 [3] 2 [4] 3 | δ3,3 3= 3 {4} 2 {3} 2 {4} 3 | 3 {} | 3 {4} 2 | 3 {4} 2 {3} 2 | Igual que | |||
4 [4] 2 [3] 2 [4] 2 | δ4,2 3= 4 {4} 2 {3} 2 {4} 2 | 4 {} | 4 {4} 2 | 4 {4} 2 {3} 2 | Igual que o o | |||
δ2,4 3= 2 {4} 2 {3} 2 {4} 4 | {} | {4} | {4,3} | Igual que | ||||
4 [4] 2 [3] 2 [4] 4 | δ4,4 3= 4 {4} 2 {3} 2 {4} 4 | 4 {} | 4 {4} 2 | 4 {4} 2 {3} 2 | Igual que | |||
6 [4] 2 [3] 2 [4] 2 | δ6,2 3= 6 {4} 2 {3} 2 {4} 2 | 6 {} | 6 {4} 2 | 6 {4} 2 {3} 2 | Igual que o o | |||
δ2,6 3= 2 {4} 2 {3} 2 {4} 6 | {} | {4} | {4,3} | Igual que | ||||
6 [4] 2 [3] 2 [4] 3 | δ6,3 3= 6 {4} 2 {3} 2 {4} 3 | 6 {} | 6 {4} 2 | 6 {4} 2 {3} 2 | Igual que | |||
δ3,6 3= 3 {4} 2 {3} 2 {4} 6 | 3 {} | 3 {4} 2 | 3 {4} 2 {3} 2 | Igual que | ||||
6 [4] 2 [3] 2 [4] 6 | δ6,6 3= 6 {4} 2 {3} 2 {4} 6 | 6 {} | 6 {4} 2 | 6 {4} 2 {3} 2 | Igual que |
Espacio | Grupo | 3-apeirotopo | Vértice | Borde | Cara | Célula | van Oss apeirogon | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 [4] 3 [3] 3 [3] 3 | 3 {3} 3 {3} 3 {4} 2 | 1 | 24 3 {} | 27 3 {3} 3 | 2 3 {3} 3 {3} 3 | 3 {4} 6 | Igual que | |
2 {4} 3 {3} 3 {3} 3 | 2 | 27 {} | 24 2 {4} 3 | 1 2 {4} 3 {3} 3 | 2 {12} 3 | |||
2 [3] 2 [4] 3 [3] 3 | 2 {3} 2 {4} 3 {3} 3 | 1 | 27 {} | 72 2 {3} 2 | 8 2 {3} 2 {4} 3 | 2 {6} 6 | ||
3 {3} 3 {4} 2 {3} 2 | 8 | 72 3 {} | 27 3 {3} 3 | 1 3 {3} 3 {4} 2 | 3 {6} 3 | Igual que o |
4-apeirotopos complejos regulares
Hay 15 apeirotopos complejos regulares en . Coxeter expresa 12 de ellos por δp , r
4donde q está limitado a satisfacer q = 2 / (1 - ( p + r ) / pr ) . Estos también se pueden descomponer como apeirótopos del producto: = . El primer caso es el panal teseractic . El panal de 16 celdas y el panal de 24 celdas son soluciones reales. La última solución que se genera tiene elementos politopos Witting .
Espacio | Grupo | 4-apeirotopo | Vértice | Borde | Cara | Célula | 4 caras | van Oss apeirogon | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
p [4] 2 [3] 2 [3] 2 [4] r | δp , r 4= p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {4} r | p {} | p {4} 2 | p {4} 2 {3} 2 | p {4} 2 {3} 2 {3} 2 | p { q } r | Igual que | ||
2 [4] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 2 | δ2,2 4 = {4,3,3,3} | {} | {4} | {4,3} | {4,3,3} | {∞} | Panal Tesseractic Igual que | ||
2 [3] 2 [4] 2 [3] 2 [3] 2 = [3,4,3,3] | {3,3,4,3} | 1 | 12 {} | 32 {3} | 24 {3,3} | 3 {3,3,4} | Nido de abeja real de 16 celdas Igual que | ||
{3,4,3,3} | 3 | 24 {} | 32 {3} | 12 {3,4} | 1 {3,4,3} | Nido de abeja real de 24 celdas Igual que o | |||
3 [3] 3 [3] 3 [3] 3 [3] 3 | 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 | 1 | 80 3 {} | 270 3 {3} 3 | 80 3 {3} 3 {3} 3 | 1 3 {3} 3 {3} 3 {3} 3 | 3 {4} 6 | representación 5 21 |
5-apeirotopos complejos regulares y superiores
Solo hay 12 apeirotopos complejos regulares en o superior, [35] expresado δp , r
ndonde q está limitado a satisfacer q = 2 / (1 - ( p + r ) / pr ) . Estos también pueden descomponerse como producto de n apeirogons: ... = ... . El primer caso es el real nido de abeja hipercubo .
Espacio | Grupo | 5-apeirotopos | Vértices | Borde | Cara | Célula | 4 caras | 5 caras | van Oss apeirogon | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
p [4] 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] r | δp , r 5= p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 {4} r | p {} | p {4} 2 | p {4} 2 {3} 2 | p {4} 2 {3} 2 {3} 2 | p {4} 2 {3} 2 {3} 2 {3} 2 | p { q } r | Igual que | ||
2 [4] 2 [3] 2 [3] 2 [3] 2 [4] 2 = [4,3,3,3,4] | δ2,2 5 = {4,3,3,3,4} | {} | {4} | {4,3} | {4,3,3} | {4,3,3,3} | {∞} | Nido de abeja de 5 cúbicos Igual que |
polígono de van Oss
Un polígono de van Oss es un polígono regular en el plano (plano real, o plano unitario ) en el que se encuentran tanto un borde como el centroide de un politopo regular, y están formados por elementos del politopo. No todos los politopos regulares tienen polígonos de Van Oss.
Por ejemplo, los polígonos de van Oss de un octaedro real son los tres cuadrados cuyos planos pasan por su centro. En contraste, un cubo no tiene un polígono van Oss porque el plano de borde a centro corta diagonalmente a través de dos caras cuadradas y las dos aristas del cubo que se encuentran en el plano no forman un polígono.
Los panales infinitos también tienen apeirogons de van Oss . Por ejemplo, el mosaico cuadrado real y el mosaico triangular tienen apeirogons {∞} van Oss apeirogons. [36]
Si existe, el polígono de van Oss del politopo complejo regular de la forma p { q } r { s } t ... tiene p- bordes.
Politopos complejos no regulares
Politopos complejos de productos
Polígono de producto complejo o {} × 5 {} tiene 10 vértices conectados por 5 2 aristas y 2 5 aristas, con su representación real como un prisma pentagonal tridimensional . | El polígono dual, {} + 5 {} tiene 7 vértices centrados en los bordes del original, conectados por 10 bordes. Su representación real es una bipirámide pentagonal . |
Algunos politopos complejos se pueden representar como productos cartesianos . Estos politopos de productos no son estrictamente regulares ya que tendrán más de un tipo de faceta, pero algunos pueden representar una simetría más baja de formas regulares si todos los politopos ortogonales son idénticos. Por ejemplo, el producto p {} × p {} ode dos politopos unidimensionales es el mismo que el p {4} 2 regular o. Los productos más generales, como p {} × q {} tienen representaciones reales como los duoprismas p - q de 4 dimensiones . El dual de un politopo producto se puede escribir como una suma p {} + q {} y tener representaciones reales como la duopirámide p - q de 4 dimensiones . El p {} + p {} puede tener su simetría duplicada como un politopo complejo regular 2 {4} p o .
Del mismo modo, un El poliedro complejo se puede construir como un producto triple: p {} × p {} × p {} oes el mismo que el cubo generalizado regular , p {4} 2 {3} 2 o, así como el producto p {4} 2 × p {} o. [37]
Polígonos cuasirregulares
Un polígono cuasirregular es un truncamiento de un polígono regular. Un polígono cuasirregular contiene bordes alternos de los polígonos regulares y . El polígono cuasirregular tiene p vértices en los p-bordes de la forma regular.
p [ q ] r | 2 [4] 2 | 3 [4] 2 | 4 [4] 2 | 5 [4] 2 | 6 [4] 2 | 7 [4] 2 | 8 [4] 2 | 3 [3] 3 | 3 [4] 3 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Regular | 4 2 filos | 9 3 bordes | 16 4 bordes | 25 5 aristas | 36 6 filos | 49 8 aristas | 64 8 aristas | ||
Cuasirregular | = 4 + 4 2 filos | 6 2 bordes 9 3 bordes | 8 2 bordes 16 4 bordes | 10 2 bordes 25 5 bordes | 12 2 bordes 36 6 bordes | 14 2 bordes 49 7 bordes | 16 2 bordes 64 8 bordes | = | = |
Regular | 4 2 filos | 6 2 filos | 8 2 filos | 10 2 filos | 12 2 filos | 14 2 filos | 16 2 filos |
Apeirogons cuasirregulares
Hay 7 apeirogons complejos cuasirregulares que alternan los bordes de un apeirogon regular y su dual regular. Las disposiciones de los vértices de estos apeirogon tienen representaciones reales con los mosaicos regulares y uniformes del plano euclidiano. La última columna para el 6 {3} 6 apeirogon no solo es auto-dual, sino que el dual coincide consigo mismo con bordes hexagonales superpuestos, por lo que su forma cuasirregular también tiene bordes hexagonales superpuestos, por lo que no se puede dibujar con dos colores alternos como los otros. La simetría de las familias auto-duales se puede duplicar, creando así una geometría idéntica a las formas regulares: =
p [ q ] r | 4 [8] 2 | 4 [4] 4 | 6 [6] 2 | 6 [4] 3 | 3 [12] 2 | 3 [6] 3 | 6 [3] 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Regular o p { q } r | |||||||
Cuasirregular | = | = | = | ||||
Regular dual o r { q } p |
Poliedros cuasirregulares
Al igual que los politopos reales, un poliedro cuasirregular complejo se puede construir como una rectificación (un truncamiento completo ) de un poliedro regular. Los vértices se crean en la mitad del borde del poliedro regular y las caras del poliedro regular y su doble se colocan alternando a través de los bordes comunes.
Por ejemplo, un cubo p-generalizado, , Tiene p 3 vértices, 3 p 2 bordes, y 3 p p -generalized caras cuadradas, mientras que el p -generalized octaedro,, tiene 3 p vértices, 3 p 2 aristas y p 3 caras triangulares. La forma cuasirregular media p -cuboctaedro generalizado ,, tiene 3 p 2 vértices, 3 p 3 aristas y 3 p + p 3 caras.
También la rectificación del poliedro de Hesse , es , una forma cuasirregular que comparte la geometría del poliedro complejo regular .
Cubo / octaedro generalizado | Poliedro arpillera | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
p = 2 (real) | p = 3 | p = 4 | p = 5 | p = 6 | ||
Cubos generalizados (regular) | Cubo , 8 vértices, 12 de 2 aristas y 6 caras. | , 27 vértices, 27 de 3 aristas y 9 caras, con una cara azul y roja | , 64 vértices, 48 de 4 aristas y 12 caras. | , 125 vértices, 75 de 5 aristas y 15 caras. | , 216 vértices, 108 de 6 aristas y 18 caras. | , 27 vértices, 72 de 6 aristas y 27 caras. |
Cuboctaedros generalizados (cuasirregular) | Cuboctaedro , 12 vértices, 24 de 2 aristas y 6 + 8 caras. | , 27 vértices, 81 de 2 aristas y 9 + 27 caras, con una cara azul | , 48 vértices, 192 2 aristas y 12 + 64 caras, con una cara azul | , 75 vértices, 375 de 2 aristas y 15 + 125 caras. | , 108 vértices, 648 de 2 aristas y 18 + 216 caras. | = , 72 vértices, 216 de 3 aristas y 54 caras. |
Octaedros generalizados (regular) | Octaedro , 6 vértices, 12 de 2 aristas y 8 {3} caras. | , 9 vértices, 27 de 2 aristas y 27 {3} caras. | , 12 vértices, 48 de 2 aristas y 64 {3} caras. | , 15 vértices, 75 de 2 aristas y 125 {3} caras. | , 18 vértices, 108 de 2 aristas y 216 {3} caras. | , 27 vértices, 72 de 6 aristas y 27 caras. |
Otros politopos complejos con reflejos unitarios del período dos
Se pueden construir otros politopos complejos no regulares dentro de grupos de reflexión unitarios que no hacen gráficos de Coxeter lineales. En los diagramas de Coxeter con bucles, Coxeter marca un interior de período especial, comoo símbolo (1 1 1 1) 3 , y grupo [1 1 1] 3 . [38] [39] Estos politopos complejos no se han explorado sistemáticamente más allá de unos pocos casos.
El grupo se define por 3 reflexiones unitarias, R 1 , R 2 , R 3 , todo orden 2: R 1 2 = R 1 2 = R 3 2 = (R 1 R 2 ) 3 = (R 2 R 3 ) 3 = (R 3 R 1 ) 3 = (R 1 R 2 R 3 R 1 ) p = 1. El período p puede verse como una doble rotación en.
Al igual que con todas las construcciones de Wythoff , politopos generados por reflejos, el número de vértices de un politopo de diagrama de Coxeter de un solo anillo es igual al orden del grupo dividido por el orden del subgrupo donde se elimina el nodo anillado. Por ejemplo, un cubo real tiene un diagrama de Coxeter, con simetría octaédrica orden 48, y simetría diédrica de subgrupo orden 6, por lo que el número de vértices de un cubo es 48/6 = 8. Las facetas se construyen eliminando un nodo más alejado del nodo anillado, por ejemplopara el cubo. Las figuras de vértice se generan eliminando un nodo anillado y haciendo sonar uno o más nodos conectados, y para el cubo.
Coxeter representa a estos grupos mediante los siguientes símbolos. Algunos grupos tienen el mismo orden, pero una estructura diferente, definiendo la misma disposición de vértices en politopos complejos, pero con diferentes aristas y elementos superiores, como y con p ≠ 3. [40]
Diagrama de Coxeter | Pedido | Símbolo o posición en la Tabla VII de Shephard y Todd (1954) |
---|---|---|
, ( y ), , ... | p n - 1 n !, p ≥ 3 | Sol ( p , p , n ), [ p ], [1 1 1] p , [1 1 ( n −2) p ] 3 |
, | 72 · 6 !, 108 · 9! | Nos. 33, 34, [1 2 2] 3 , [1 2 3] 3 |
, ( y ), ( y ) | 14 · 4 !, 3 · 6 !, 64 · 5! | Nos. 24, 27, 29 |
Coxeter llama a algunos de estos poliedros complejos casi regulares porque tienen facetas y figuras de vértice regulares. La primera es una forma de simetría más baja del politopo cruzado generalizado en. El segundo es un cubo fraccional generalizado, que reduce los bordes p en vértices simples dejando 2 bordes ordinarios. Tres de ellos están relacionados con el poliedro de sesgo regular finito en.
Espacio | Grupo | Pedido | Símbolos de Coxeter | Vértices | Bordes | Caras | Figura de vértice | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[1 1 1 p ] 3 p = 2,3,4 ... | 6 p 2 | (1 1 1 1 p ) 3 | 3 p | 3 p 2 | {3} | {2 p } | Símbolo de Shephard (1 1; 1 1 ) p igual que βp 3 = | |
(1 1 1 1 p ) 3 | p 2 | {3} | {6} | Símbolo de Shephard (1 1 1; 1) p 1 / p γp 3 | ||||
[1 1 1 2 ] 3 | 24 | (1 1 1 1 2 ) 3 | 6 | 12 | 8 {3} | {4} | Igual que β2 3 = = octaedro real | |
(1 1 1 1 2 ) 3 | 4 | 6 | 4 {3} | {3} | 1/2 γ2 3 = = α 3 = tetraedro real | |||
[1 1 1] 3 | 54 | (1 1 1 1 ) 3 | 9 | 27 | {3} | {6} | Símbolo de Shephard (1 1; 1 1 ) 3 igual que β3 3 = | |
(1 1 1 1) 3 | 9 | 27 | {3} | {6} | Símbolo de Shephard (1 1 1; 1) 3 1/3 γ3 3 = β3 3 | |||
[1 1 1 4 ] 3 | 96 | (1 1 1 1 4 ) 3 | 12 | 48 | {3} | {8} | Símbolo de Shephard (1 1; 1 1 ) 4 igual que β4 3 = | |
(1 1 1 1 4 ) 3 | dieciséis | {3} | {6} | Símbolo de Shephard (1 1 1; 1) 4 1/4 γ4 3 | ||||
[1 1 1 5 ] 3 | 150 | (1 1 1 1 5 ) 3 | 15 | 75 | {3} | {10} | Símbolo de Shephard (1 1; 1 1 ) 5 igual que β5 3 = | |
(1 1 1 1 5 ) 3 | 25 | {3} | {6} | Símbolo de Shephard (1 1 1; 1) 5 1/5 γ5 3 | ||||
[1 1 1 6 ] 3 | 216 | (1 1 1 1 6 ) 3 | 18 | 216 | {3} | {12} | Símbolo de Shephard (1 1; 1 1 ) 6 igual que β6 3 = | |
(1 1 1 1 6 ) 3 | 36 | {3} | {6} | Símbolo de Shephard (1 1 1; 1) 6 1/6 γ6 3 | ||||
[1 1 1 4 ] 4 | 336 | (1 1 1 1 4 ) 4 | 42 | 168 | 112 {3} | {8} | representación {3,8 |, 4} = {3,8} 8 | |
(1 1 1 1 4 ) 4 | 56 | {3} | {6} | |||||
[1 1 1 5 ] 4 | 2160 | (1 1 1 1 5 ) 4 | 216 | 1080 | 720 {3} | {10} | representación {3,10 |, 4} = {3,10} 8 | |
(1 1 1 1 5 ) 4 | 360 | {3} | {6} | |||||
[1 1 1 4 ] 5 | (1 1 1 1 4 ) 5 | 270 | 1080 | 720 {3} | {8} | representación {3,8 |, 5} = {3,8} 10 | ||
(1 1 1 1 4 ) 5 | 360 | {3} | {6} |
Coxeter define otros grupos con construcciones anti-unitarias, por ejemplo estos tres. El primero fue descubierto y dibujado por Peter McMullen en 1966. [42]
Espacio | Grupo | Pedido | Símbolos de Coxeter | Vértices | Bordes | Caras | Figura de vértice | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[1 1 4 1 4 ] (3) | 336 | (1 1 1 4 1 4 ) (3) | 56 | 168 | 84 {4} | {6} | representación {4,6 |, 3} = {4,6} 6 | |
[1 5 1 4 1 4 ] (3) | 2160 | (1 1 5 1 4 1 4 ) (3) | 216 | 1080 | 540 {4} | {10} | representación {4,10 |, 3} = {4,10} 6 | |
[1 4 1 5 1 5 ] (3) | (1 1 4 1 5 1 5 ) (3) | 270 | 1080 | 432 {5} | {8} | representación {5,8 |, 3} = {5,8} 6 |
Espacio | Grupo | Pedido | Símbolos de Coxeter | Vértices | Otros elementos | Células | Figura de vértice | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[1 1 2 p ] 3 p = 2,3,4 ... | 24 p 3 | (1 1 2 2 p ) 3 | 4 p | Shephard (2 2 1; 1) p igual que βp. 4 = | ||||
(1 1 1 2 p ) 3 | p 3 | Shephard (2 1; 1 1 ) p 1 / p γp. 4 | ||||||
[1 1 2 2 ] 3 = [3 1,1,1 ] | 192 | (1 1 2 2 2 ) 3 | 8 | 24 aristas 32 caras | dieciséis | β2 4 = , 16 celdas reales | ||
(1 1 1 2 2 ) 3 | 1/2 γ2 4 = = β2 4, 16 celdas reales | |||||||
[1 1 2] 3 | 648 | (1 1 2 2 ) 3 | 12 | Shephard (2 2 1; 1) 3 igual que β3 4 = | ||||
(1 1 1 2 3 ) 3 | 27 | Shephard (2 1; 1 1 ) 3 1/3 γ3 4 | ||||||
[1 1 2 4 ] 3 | 1536 | (1 1 2 2 4 ) 3 | dieciséis | Shephard (2 2 1; 1) 4 igual que β4 4 = | ||||
(1 1 1 2 4 ) 3 | 64 | Shephard (2 1; 1 1 ) 4 1/4 γ4 4 | ||||||
[1 4 1 2] 3 | 7680 | (2 2 1 4 1) 3 | 80 | Shephard (2 2 1; 1) 4 | ||||
(1 1 4 1 2) 3 | 160 | Shephard (2 1; 1 1 ) 4 | ||||||
(1 1 1 4 2) 3 | 320 | Shephard (2 1 1 ; 1) 4 | ||||||
[1 1 2] 4 | (1 1 2 2 ) 4 | 80 | 640 aristas 1280 triángulos | 640 | ||||
(1 1 1 2) 4 | 320 |
Espacio | Grupo | Pedido | Símbolos de Coxeter | Vértices | Bordes | Facetas | Figura de vértice | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[1 1 3 p ] 3 p = 2,3,4 ... | 120 p. 4 | (1 1 3 3 p ) 3 | 5 p | Shephard (3 3 1; 1) p igual que βp 5 = | ||||
(1 1 1 3 p ) 3 | p. 4 | Shephard (3 1; 1 1 ) p 1 / p γp 5 | ||||||
[2 2 1] 3 | 51840 | (2 1 2 2 ) 3 | 80 | Shephard (2 1; 2 2 ) 3 | ||||
(2 1 1 2) 3 | 432 | Shephard (2 1 1 ; 2) 3 |
Espacio | Grupo | Pedido | Símbolos de Coxeter | Vértices | Bordes | Facetas | Figura de vértice | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
[1 1 4 p ] 3 p = 2,3,4 ... | 720 p. 5 | (1 1 4 4 p ) 3 | 6 p | Shephard (4 4 1; 1) p igual que βp 6 = | ||||
(1 1 1 4 p ) 3 | p 5 | Shephard (4 1; 1 1 ) p 1 / p γp 6 | ||||||
[1 2 3] 3 | 39191040 | (2 1 3 3 ) 3 | 756 | Shephard (2 1; 3 3 ) 3 | ||||
(2 2 1 3) 3 | 4032 | Shephard (2 2 1; 3) 3 | ||||||
(2 1 1 3) 3 | 54432 | Shephard (2 1 1 ; 3) 3 |
Visualizaciones
(1 1 1 1 4 ) 4 , tiene 42 vértices, 168 aristas y 112 caras triangulares, vistas en esta proyección de 14 gonales.
(1 4 1 4 1 1 ) (3) , tiene 56 vértices, 168 aristas y 84 caras cuadradas, visto en esta proyección de 14 gonales.
(1 1 2 2 ) 4 ,tiene 80 vértices, 640 aristas, 1280 caras triangulares y 640 celdas tetraédricas, como se ve en esta proyección de 20 gonales. [43]
Ver también
- Politopo cuaterniónico
Notas
- ^ Peter Orlik , Victor Reiner, Anne V. Shepler. La representación de signos para los grupos Shephard . Mathematische Annalen . Marzo de 2002, Volumen 322, Número 3, págs. 477–492. DOI: 10.1007 / s002080200001 [1]
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 115
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares , 11.3 Polígono Petrie , un h -gonsimpleformado por la órbita de la bandera (O 0 , O 0 O 1 ) para el producto de las dos reflexiones generadoras de cualquier polígono complejo regular no estrellado, p 1 { q } p 2 .
- ^ Politopos regulares complejos , 11.1 Polígonos complejos regulares p.103
- ^ Shephard, 1952; "Es de consideraciones como estas que derivamos la noción de interior de un politopo, y se verá que en un espacio unitario donde los números no pueden ordenarse de esta manera, tal concepto de interior es imposible. [Para break] Por lo tanto. .. tenemos que considerar los politopos unitarios como configuraciones ".
- ^ Coxeter, politopos complejos regulares, p. 96
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. xiv
- ^ Coxeter, Politopos regulares complejos, p. 177, cuadro III
- ^ Lehrer y Taylor, 2009, p. 87
- ^ Coxeter, politopos complejos regulares, tabla IV. Los polígonos regulares. págs. 178-179
- ^ Politopos complejos, 8.9 El caso bidimensional , p. 88
- ^ Politopos complejos regulares, Coxeter, págs. 177-179
- ↑ a b Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 108
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 109
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 111
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 30 diagrama y p. 47 índices para 8 de 3 aristas
- ↑ a b Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 110
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 48
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 49
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, págs. 116-140.
- ↑ a b Coxeter, Politopos complejos regulares, págs. 118-119.
- ^ Politopos regulares complejos, p.29
- ^ a b Coxeter, Politopos complejos regulares, Tabla V. Los poliedros regulares no estrellados y 4-politopos. pag. 180.
- ^ Coxeter, Caleidoscopios - Escritos seleccionados de HSM Coxeter , Documento 25 Relaciones sorprendentes entre grupos de reflexión unitarios , p. 431.
- ↑ a b Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 131
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 126
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, p. 125
- ^ Coxeter, politopos complejos regulares, tabla VI. Los panales regulares. pag. 180.
- ^ Politopo regular complejo, p.174
- ^ Coxeter, politopos complejos regulares, tabla VI. Los panales regulares. pag. 111, 136.
- ^ Coxeter, politopos complejos regulares, tabla IV. Los polígonos regulares. págs. 178-179
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, 11.6 Apeirogons, págs. 111-112
- ^ Coxeter, Politopos regulares complejos, p.140
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, págs. 139-140
- ^ Politopos regulares complejos, p.146
- ^ Politopos regulares complejos, p.141
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, págs. 118-119, 138.
- ^ Coxeter, Politopos complejos regulares, Capítulo 14, Politopos casi regulares , págs. 156-174.
- ^ Coxeter, Grupos generados por reflexiones unitarias del período dos , 1956
- ^ Coxeter , Grupos finitos generados por reflexiones unitarias , 1966, 4. La notación gráfica , Tabla degrupos n- dimensionales generados por n Reflexiones unitarias. págs. 422-423
- ^ a b c d e Coxeter, Grupos generados por Reflexiones unitarias del período dos (1956), Tabla III: Algunos politopos complejos, p.413
- ^ Coxeter, Politopos regulares complejos, (1991), 14.6 Dos poliédricos de McMullen con 84 caras cuadradas, pp.166-171
- ^ Coxeter, Politopos regulares complejos, pp.172-173
Referencias
- Coxeter, HSM y Moser, WOJ; Generadores y relaciones para grupos discretos (1965), especialmente págs. 67–80.
- Coxeter, HSM (1991), Politopos complejos regulares , Cambridge University Press, ISBN 0-521-39490-2
- Coxeter, HSM y Shephard, GC; Retratos de una familia de politopos complejos, Leonardo Vol 25, No 3/4, (1992), pp 239-244,
- Shephard, GC; Politopos complejos regulares , Proc. Matemáticas de Londres. Soc. Serie 3, Vol. 2, (1952), págs. 82–97.
- GC Shephard , JA Todd, Grupos de reflexión unitarios finitos , Canadian Journal of Mathematics. 6 (1954), 274-304 [2] [ enlace muerto permanente ]
- Gustav I. Lehrer y Donald E. Taylor, Grupos de reflexión unitaria , Cambridge University Press 2009
Otras lecturas
- F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson y Asia Ivić Weiss, editores: Kaleidoscopes - Selected Writings of HSM Coxeter. , Documento 25, Grupos finitos generados por reflexiones unitarias , p 415-425, John Wiley, 1995, ISBN 0-471-01003-0
- McMullen, Peter ; Schulte, Egon (diciembre de 2002), Abstract Regular Polytopes (1a ed.), Cambridge University Press , ISBN 0-521-81496-0Capítulo 9 Grupos unitarios y formas hermitianas , págs. 289-298