En geometría euclidiana , un trapezoide isósceles ( trapecio isósceles en inglés británico ) es un cuadrilátero convexo con una línea de simetría que biseca un par de lados opuestos. Es un caso especial de trapezoide . Alternativamente, se puede definir como un trapezoide en el que ambas piernas y ambos ángulos de la base son de la misma medida. [1] Tenga en cuenta que un paralelogramo no rectangular no es un trapezoide isósceles debido a la segunda condición o porque no tiene eje de simetría. En cualquier trapezoide isósceles, dos lados opuestos (las bases) son paralelos, y los otros dos lados (los catetos) tienen la misma longitud (propiedades compartidas con el paralelogramo ). Las diagonales también tienen la misma longitud. Los ángulos de la base de un trapezoide isósceles son iguales en medida (de hecho, hay dos pares de ángulos de base iguales, donde un ángulo de la base es el ángulo suplementario de un ángulo de la base en la otra base).
Trapecio isósceles | |
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Tipo | cuadrilátero , trapezoide |
Aristas y vértices | 4 |
Grupo de simetría | Dih 2 , [], (*), orden 2 |
Polígono dual | cometa |
Propiedades | convexo , cíclico |
Casos especiales
Los rectángulos y cuadrados generalmente se consideran casos especiales de trapezoides isósceles, aunque algunas fuentes los excluirían. [2]
Otro caso especial es un trapezoide de 3 lados iguales , a veces conocido como trapezoide trilateral [3] o trapezoide trisosceles . [4] También se pueden ver disecados de polígonos regulares de 5 lados o más como un truncamiento de 4 vértices secuenciales.
Auto-intersecciones
Cualquier cuadrilátero que no se cruce a sí mismo con exactamente un eje de simetría debe ser un trapezoide isósceles o una cometa . [5] Sin embargo, si se permiten cruces, el conjunto de cuadriláteros simétricos debe expandirse para incluir también los trapezoides isósceles cruzados, cuadriláteros cruzados en los que los lados cruzados tienen la misma longitud y los otros lados son paralelos, y los antiparalelogramos , cuadriláteros cruzados. en el que los lados opuestos tienen la misma longitud.
Cada antiparalelogramo tiene un trapezoide isósceles como su casco convexo , y puede formarse a partir de las diagonales y los lados no paralelos de un trapezoide isósceles. [6]
Convexa isósceles trapezoidal | Cruzado isósceles trapezoidal | antiparalelogramo |
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Caracterizaciones
Si se sabe que un cuadrilátero es un trapezoide , no basta con comprobar que las patas tienen la misma longitud para saber que es un trapezoide isósceles, ya que un rombo es un caso especial de un trapezoide con patas de igual longitud. , pero no es un trapezoide isósceles ya que carece de una línea de simetría a través de los puntos medios de los lados opuestos.
Cualquiera de las siguientes propiedades distingue un trapezoide isósceles de otros trapezoides:
- Las diagonales tienen la misma longitud.
- Los ángulos de la base tienen la misma medida.
- El segmento que une los puntos medios de los lados paralelos es perpendicular a ellos.
- Los ángulos opuestos son suplementarios, lo que a su vez implica que los trapezoides isósceles son cuadriláteros cíclicos .
- Las diagonales se dividen entre sí en segmentos con longitudes iguales por pares; en términos de la imagen siguiente, AE = DE , BE = CE (y AE ≠ CE si se desea excluir rectángulos).
Anglos
En un trapezoide isósceles, los ángulos de la base tienen la misma medida por pares. En la siguiente imagen, los ángulos ∠ ABC y ∠ DCB son ángulos obtusos de la misma medida, mientras que los ángulos ∠ BAD y ∠ CDA son ángulos agudos , también de la misma medida.
Dado que las líneas AD y BC son paralelas, los ángulos adyacentes a las bases opuestas son suplementarios , es decir, los ángulos ∠ ABC + ∠ BAD = 180 °.
Diagonales y altura
Las diagonales de un trapezoide isósceles tienen la misma longitud; es decir, todo trapecio isósceles es un cuadrilátero equidiagonal . Además, las diagonales se dividen entre sí en las mismas proporciones. Como se muestra en la imagen, las diagonales AC y BD tienen la misma longitud ( AC = BD ) y se dividen entre sí en segmentos de la misma longitud ( AE = DE y BE = CE ).
La razón en la que se divide cada diagonal es igual a la razón de las longitudes de los lados paralelos que se cruzan, es decir,
La longitud de cada diagonal está, según el teorema de Ptolomeo , dada por
donde un y b son las longitudes de los lados paralelos AD y BC , y c es la longitud de cada pata AB y CD .
La altura es, según el teorema de Pitágoras , dada por
La distancia del punto E a la base AD viene dada por
donde un y b son las longitudes de los lados paralelos AD y BC , y h es la altura del trapezoide.
Área
El área de un trapezoide isósceles (o cualquier) es igual al promedio de las longitudes de la base y la parte superior ( los lados paralelos ) multiplicado por la altura. En el diagrama adyacente, si escribimos AD = a y BC = b , y la altura h es la longitud de un segmento de línea entre AD y BC que es perpendicular a ellos, entonces el área K se da de la siguiente manera:
Si en lugar de la altura del trapezoide, se conoce la longitud común de los catetos AB = CD = c , entonces el área se puede calcular usando la fórmula de Brahmagupta para el área de un cuadrilátero cíclico, que con dos lados iguales se simplifica a
-dónde es el semiperímetro del trapezoide. Esta fórmula es análoga a la fórmula de Heron para calcular el área de un triángulo. La fórmula anterior para el área también se puede escribir como
Circumradius
El radio en el círculo circunscrito viene dado por [7]
En un rectángulo donde a = b esto se simplifica a.
Ver también
- Trapezoide tangencial isósceles
Referencias
- ^ http://www.mathopenref.com/trapezoid.html
- ^ Larson, Ron; Boswell, Laurie (2016). Grandes Ideas MATEMÁTICAS, Geometría, Edición Texas . Aprendizaje de grandes ideas, LLC (2016). pag. 398. ISBN 978-1608408153.
- ^ Michael de Villiers, Árbol cuadrilátero jerárquico
- ^ trapezoide isósceles
- ^ Halsted, George Bruce (1896), "Capítulo XIV. Cuadriláteros simétricos", Geometría sintética elemental , J. Wiley & sons, págs. 49–53.
- ^ Whitney, William Dwight; Smith, Benjamin Eli (1911), The Century Dictionary and Cyclopedia , The Century co., P. 1547.
- ^ Trapezoid en Math24.net: fórmulas y tablas [1] Consultado el 1 de julio de 2014.
enlaces externos
- Algunas fórmulas de ingeniería que involucran trapezoides isósceles