Un espacio de lentes es un ejemplo de un espacio topológico , considerado en matemáticas . El término a menudo se refiere a una clase específica de 3 variedades , pero en general se puede definir para dimensiones más altas.
En el caso de tres variedades, el espacio de una lente se puede visualizar como resultado de pegar dos toros sólidos entre sí mediante un homeomorfismo de sus límites. A menudo, las 3 esferas y, los cuales pueden obtenerse como arriba, no se cuentan ya que se consideran casos especiales triviales.
Los espacios de lentes tridimensionales fueron introducidos por Heinrich Tietze en 1908. Fueron los primeros ejemplos conocidos de variedades 3 que no estaban determinadas solo por su homología y grupo fundamental , y los ejemplos más simples de variedades cerradas cuyo tipo de homeomorfismo no está determinado por su tipo de homotopía. JW Alexander en 1919 demostró que los espacios de la lente y no fueron homeomorfos a pesar de que tienen grupos fundamentales isomorfos y la misma homología, aunque no tienen el mismo tipo de homotopía. Otros espacios de lentes tienen incluso el mismo tipo de homotopía (y, por tanto, grupos fundamentales isomórficos y homología), pero no el mismo tipo de homeomorfismo; por tanto, pueden verse como el nacimiento de la topología geométrica de variedades a diferencia de la topología algebraica .
Existe una clasificación completa de los espacios de lentes tridimensionales, por grupo fundamental y torsión Reidemeister .
Definición
Los espacios de lentes tridimensionales son cocientes de por -comportamiento. Más precisamente, dejemos y ser enteros primos y considerar como la esfera unitaria en . Entonces el-acción en generado por el homeomorfismo
está libre. El espacio del cociente resultante se llama espacio de la lente. .
Esto se puede generalizar a dimensiones superiores de la siguiente manera: ser enteros tales que el son coprimeras de y considerar como la esfera unitaria en . El espacio de la lente es el cociente de por el libre -acción generada por
En tres dimensiones tenemos
Propiedades
El grupo fundamental de todos los espacios de lentes es independiente de la .
Los espacios de lentes son espacios localmente simétricos , pero no (completamente) simétricos, con la excepción deque es simétrico. (Los espacios localmente simétricos son espacios simétricos que están coorientados por una isometría que no tiene puntos fijos; los espacios de lentes cumplen con esta definición).
Definiciones alternativas de espacios de lentes tridimensionales
El espacio de la lente tridimensional a menudo se define como una bola sólida con la siguiente identificación: primera marca p puntos igualmente espaciados en el ecuador de la bola sólida, denotarlos a , luego en el límite de la bola, dibuje líneas geodésicas que conecten los puntos con el polo norte y sur. Ahora identifique triángulos esféricos identificando el polo norte con el polo sur y los puntos con y con . El espacio resultante es homeomorfo al espacio de la lente..
Otra definición relacionada es ver la bola sólida como la siguiente bipirámide sólida : construir un polígono plano regular de lados p . Ponga dos puntos n y s directamente por encima y por debajo del centro del polígono. Construir el bipirámide uniendo cada punto de la normal p caras polígono a n y s . Complete la bipirámide para que sea sólida y asigne a los triángulos del límite la misma identificación que la anterior.
Clasificación de espacios de lentes tridimensionales
Las clasificaciones hasta el homeomorfismo y la equivalencia de homotopía se conocen como sigue. Los espacios tridimensionales y están:
- homotopia equivalente si y solo si para algunos ;
- homeomorfo si y solo si .
En este caso son "obviamente" homeomorfos, ya que se puede producir fácilmente un homeomorfismo. Es más difícil demostrar que estos son los únicos espacios de lentes homeomórficos.
El invariante que da la clasificación de homotopía de los espacios de lentes tridimensionales es la forma de enlace de torsión .
La clasificación del homeomorfismo es más sutil y viene dada por la torsión de Reidemeister . Esto se dio en ( Reidemeister 1935 ) como una clasificación hasta el homeomorfismo PL , pero se mostró en ( Brody 1960 ) como una clasificación de homeomorfismo. En términos modernos, los espacios del cristalino están determinados por el tipo de homotopía simple y no hay invariantes normales (como clases características ) u obstrucción quirúrgica .
Se da una clasificación teórica de nudos en ( Przytycki & Yasuhara 2003 ) : sea C una curva cerrada en el espacio de la lente que se eleva hasta un nudo en la cubierta universal del espacio de la lente. Si el nudo levantado tiene un polinomio de Alexander trivial , calcule la forma de enlace de torsión en el par (C, C), entonces esto le da la clasificación del homeomorfismo.
Otro invariante es el tipo de homotopía de los espacios de configuración - ( Salvatore & Longoni 2004 ) demostraron que los espacios de lentes homotópicos equivalentes pero no homeomórficos pueden tener espacios de configuración con diferentes tipos de homotopía, que pueden ser detectados por diferentes productos de Massey .
Ver también
Referencias
- Glen Bredon , Topología y geometría , Textos de posgrado en matemáticas de Springer 139, 1993.
- Brody, EJ (1960), "La clasificación topológica de los espacios de la lente", Annals of Mathematics , 2, 71 (1): 163–184, doi : 10.2307 / 1969884 , JSTOR 1969884
- Allen Hatcher , Topología algebraica , Cambridge University Press , 2002.
- Allen Hatcher, Notas sobre la topología básica de tres distribuidores . (Explica la clasificación de L (p, q) hasta el homeomorfismo).
- Przytycki, Józef H .; Yasukhara, Akira (2003), "Symmetry of Links and Classification of Lens Spaces", Geometriae Dedicata , 98 (1): 57–61, doi : 10.1023 / A: 10240 , MR 1988423
- Reidemeister, Kurt (1935), "Homotopieringe und Linsenräume", Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo , 11 (1): 102–109, doi : 10.1007 / BF02940717
- Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo (2005), "Los espacios de configuración no son invariantes de homotopía", Topología , 44 (2): 375–380, arXiv : math / 0401075 , doi : 10.1016 / j.top.2004.11.002
- Herbert Seifert y William Threlfall , Un libro de texto de topología , Matemáticas puras y aplicadas 89, Traducido de la edición alemana de 1934, Academic Press Inc. Nueva York (1980)
- Heinrich Tietze , Ueber die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten , Monatsh. fuer Math. und Phys. 19, 1-118 (1908) (20) Traducción al inglés (2008) de John Stillwell .
- Matthew Watkins, "A Short Survey of Lens Spaces" (disertación de licenciatura de 1990)
enlaces externos
- Espacios de lentes en Manifold Atlas
- Espacios de lentes: una historia en el Atlas múltiple
- Espacios de lentes falsos en Manifold Atlas