Ran espacio

En matemáticas , el espacio de Ran (o el espacio de Ran ) de un espacio topológico X es un espacio topológico${\displaystyle \operatorname {Ran} (X)}$cuyo conjunto subyacente es el conjunto de todos los subconjuntos finitos no vacíos de X : para un espacio métrico X, la topología es inducida por la distancia de Hausdorff . La noción lleva el nombre de Ziv Ran .

Definición

En general, la topología del espacio Ran es generada por conjuntos

${\displaystyle \{S\in \operatorname {Ran} (U_{1}\cup \dots \cup U_{m})\mid S\cap U_{1}\neq \emptyset ,\dots ,S\cap U_{m}\neq \emptyset \}}$

para cualquier subconjunto abierto disjunto ${\displaystyle U_{i}\subset X,i=1,...,m}$.

Existe un análogo de un espacio de Ran para un esquema : ^[1] el preapilamiento de Ran de un esquema cuasi-proyectivo X sobre un campo k , denotado por${\displaystyle \operatorname {Ran} (X)}$, es la categoría cuyos objetos son triples${\displaystyle (R,S,\mu )}$que consta de un k- álgebra R finitamente generado , un conjunto no vacío S y un mapa de conjuntos${\displaystyle \mu :S\to X(R)}$, y cuyos morfismos ${\displaystyle (R,S,\mu )\to (R',S',\mu ')}$consisten en un homomorfismo de k- álgebra ${\displaystyle R\to R'}$y un mapa sobreyectivo${\displaystyle S\to S'}$ que conmuta con ${\displaystyle \mu }$ y ${\displaystyle \mu '}$. Aproximadamente, un punto R de${\displaystyle \operatorname {Ran} (X)}$es un conjunto finito no vacío de R -puntos racionales de X "con etiquetas" dadas por${\displaystyle \mu }$. Un teorema de Beilinson y Drinfeld sigue siendo válido:${\displaystyle \operatorname {Ran} (X)}$es acíclico si X está conectado.

Propiedades

Un teorema de Beilinson y Drinfeld establece que el espacio de Ran de una variedad conectada es débilmente contráctil . ^[2]

Homología quiral topológica

Si F es un pan en el espacio de Ran${\displaystyle \operatorname {Ran} (M)}$, A continuación, su espacio de secciones globales se llama la homología quiral topológica de M con coeficientes en F . Si A es, a grandes rasgos, una familia de álgebra conmutativa parametrizada por puntos en M , entonces hay una gavilla factorizable asociado a una . A través de esta construcción, también se obtiene la homología quiral topológica con coeficientes en A . La construcción es una generalización de la homología de Hochschild . ^[3]

Ver también

• Homología quiral

Notas

1. Lurie 2014
2. Beilinson, Alexander ; Drinfeld, Vladimir (2004). Álgebras quirales . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 173 . ISBN 0-8218-3528-9.
3. Lurie 2017 , Teorema 5.5.3.11

Referencias

• Gaitsgory, Dennis (2012). "Contractibilidad del espacio de mapas racionales". arXiv : 1108.1741 [ math.AG ].
• Lurie, Jacob (19 de febrero de 2014). "Homología y cohomología de pilas (Clase 7)" (PDF) . Números de Tamagawa a través de la dualidad nobeliana de Poincaré (282 años) .
• Lurie, Jacob (18 de septiembre de 2017). "Álgebra superior" (PDF) .
• "Espacio exponencial と Espacio ran" . Topología algebraica: una guía para la literatura . 2018.