En matemáticas, el radio conforme es una forma de medir el tamaño de un dominio plano D simplemente conectado visto desde un punto z en él. A diferencia de las nociones que utilizan la distancia euclidiana (por ejemplo, el radio del disco inscrito más grande con centro z ), esta noción es adecuada para su uso en análisis complejos , en particular en mapas y geometría conforme .
Una noción estrechamente relacionada es el diámetro transfinito o capacidad (logarítmica) de un conjunto compacto D simplemente conectado , que puede considerarse como el inverso del radio conforme del complemento E = D c visto desde el infinito .
Definición
Dado un dominio simplemente conectado D ⊂ C , y un punto z ∈ D , según el teorema de mapeo de Riemann existe un mapa conforme único f : D → D en el disco unitario (generalmente denominado mapa de uniformización ) con f ( z ) = 0 ∈ D y f ′ ( z ) ∈ R + . El radio conforme de D a partir de z se define entonces como
El ejemplo más simple es que el radio conforme del disco de radio r visto desde su centro también es r , mostrado por el mapa de uniformización x ↦ x / r . Consulte a continuación para ver más ejemplos.
Una razón de la utilidad de esta noción es que se comporta bien en mapas conformes: si φ: D → D ′ es una biyección conforme yz en D , entonces.
El radio conforme también se puede expresar como dónde es la extensión armónica de de a .
Un caso especial: el semiplano superior
Sea K ⊂ H un subconjunto del semiplano superior tal que D : = H \ K está conectado y simplemente conectado, y sea z ∈ D un punto. (Este es un escenario habitual, digamos, en la evolución de Schramm-Loewner ). Por el teorema de la aplicación Riemann, hay un conformal biyección g : D → H . Entonces, para cualquier mapa g , un simple cálculo da que
Por ejemplo, cuando K = ∅ y z = i , entonces g puede ser el mapa de identidad, y obtenemos rad ( i , H ) = 2. Verificando que esto concuerde con la definición original: el mapa de uniformización f : H → D es
y luego la derivada se puede calcular fácilmente.
Relación con inradius
Que es una buena medida del radio se muestra por la siguiente consecuencia inmediata del lema de Schwarz y el teorema de Koebe 1/4 : para z ∈ D ⊂ C ,
donde dist ( z , ∂ D ) denota la distancia euclidiana entre z y el límite de D , o en otras palabras, el radio del disco inscrito más grande con centro z .
Ambas desigualdades son las mejores posibles:
- El límite superior está claramente alcanzarse mediante la adopción de D = D y z = 0.
- El límite inferior se alcanza por el siguiente “dominio hendidura”: D = C \ R + y z = - r ∈ R - . El mapa de raíz cuadrada φ lleva a D al semiplano superior H , con y derivado . La fórmula anterior para el semiplano superior da , y luego la fórmula para la transformación bajo mapas conformes da rad (- r , D ) = 4 r , mientras que, por supuesto, dist (- r , ∂ D ) = r .
Versión desde el infinito: diámetro transfinito y capacidad logarítmica
Cuando D ⊂ C es un conjunto compacto simplemente conectado, entonces su complemento E = D c es un dominio simplemente conectado en la esfera de Riemann que contiene ∞ [ cita requerida ] , y se puede definir
donde f : C \ D → E es el mapa conformal biyectivo único con f (∞) = ∞ y ese límite es real positivo, es decir, el mapa conformal de la forma
El coeficiente c 1 = rad (∞, D ) es igual al diámetro transfinito y la capacidad (logarítmica) de D ; ver el Capítulo 11 de Pommerenke (1975) y Kuz′mina (2002) . Consulte también el artículo sobre la capacidad de un conjunto .
El coeficiente c 0 se llama el centro de conformación de D . Se puede demostrar que se encuentra en el casco convexo de D ; es más,
donde el radio 2 c 1 es agudo para el segmento de línea recta de longitud 4 c 1 . Consulte las páginas 12-13 y el capítulo 11 de Pommerenke (1975) .
Las constantes Fekete, Chebyshev y Chebyshev modificada
Definimos otras tres cantidades que son iguales al diámetro transfinito aunque están definidas desde un punto de vista muy diferente. Dejar
denotar el producto de distancias por pares de los puntos y definamos la siguiente cantidad para un conjunto compacto D ⊂ C :
En otras palabras, es el supremo de la media geométrica de las distancias por pares de n puntos en D . Dado que D es compacto, este supremo se alcanza en realidad mediante un conjunto de puntos. Cualquier conjunto de n puntos de este tipo se denomina conjunto Fekete .
El límite existe y se llama constante de Fekete .
Ahora deja denotar el conjunto de todos los polinomios monicos de grado n en C [ x ], sea denotar el conjunto de polinomios en con todos ceros en D y definamos
- y
Entonces los limites
- y
existen y se denominan constante de Chebyshev y constante de Chebyshev modificada , respectivamente. Michael Fekete y Gábor Szegő demostraron que estas constantes son iguales.
Aplicaciones
El radio conforme es una herramienta muy útil, por ejemplo, cuando se trabaja con la evolución de Schramm-Loewner . Un ejemplo hermoso se puede encontrar en Lawler, Schramm y Werner (2002) .
Referencias
- Ahlfors, Lars V. (1973). Invariantes conformales: temas de la teoría de funciones geométricas . Serie en Matemática Superior. McGraw-Hill. Señor 0357743 . Zbl 0272.30012 .
- Horváth, János, ed. (2005). Un Panorama de Matemáticas de Hungría en el siglo XX, I . Estudios Matemáticos de la Sociedad Bolyai. Saltador. ISBN 3-540-28945-3.
- Kuz′mina, GV (2002) [1994], "Radio conformal de un dominio" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Lawler, Gregory F .; Schramm, Oded ; Werner, Wendelin (2002), "Exponente de un brazo para la percolación 2D crítica" , Electronic Journal of Probability , 7 (2): 13 págs., ArXiv : math / 0108211 , doi : 10.1214 / ejp.v7-101 , ISSN 1083 -6489 , MR 1.887.622 , Zbl 1015.60091
- Pommerenke, Christian (1975). Funciones univalentes . Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher. Banda XXV. Con un capítulo sobre diferenciales cuadráticos de Gerd Jensen. Gotinga: Vandenhoeck & Ruprecht. Zbl 0298.30014 .
Otras lecturas
- Rumely, Robert S. (1989), Teoría de la capacidad en curvas algebraicas , Lecture Notes in Mathematics, 1378 , Berlín, etc .: Springer-Verlag , ISBN 3-540-51410-4, Zbl 0679.14012
enlaces externos
- Pooh, Charles, radio conformal. De MathWorld - Un recurso web de Wolfram, creado por Eric W. Weisstein.