En álgebra , el ideal de congruencia de un homomorfismo de anillo suprayectivo f : B → C de anillos conmutativos es la imagen bajo f del aniquilador del núcleo de f .
Se llama ideal de congruencia porque cuando B es un álgebra de Hecke yf es un homomorfismo correspondiente a una forma modular, el ideal de congruencia describe las congruencias entre la forma modular de f y otras formas modulares.
Ejemplo
- Supongamos que C y D son anillos con homomorfismos a un anillo E , y dejar que B = C × E D sea el retroceso, propuesta por el subanillo de C × D de pares ( c , d ) donde c y d tienen la misma imagen en E . Si f es la proyección natural desde B a C , entonces el núcleo es el ideal J de elementos (0, d ), donde d tiene una imagen 0 en E . Si J tiene aniquilador 0 en D , entonces su aniquilador en B es sólo el núcleo I del mapa de C a E . Por lo que el ideal de la congruencia f es el ideal ( I , 0) de B .
- Supongamos que B es el álgebra de Hecke generada por los operadores de Hecke T n que actúa sobre el espacio de 2 dimensiones de las formas modulares de espacio de nivel 1 y el peso 12.Este es 2 dimensional, abarcado por los Eigenforms dadas por la serie Eisenstein E 12 y el modular discriminante Δ. El mapa que toma un operador de Hecke T n a sus valores propios (σ 11 ( n ), τ (n)) da un homomorfismo de B en el anillo Z × Z (donde τ es la función tau de Ramanujan y σ 11 ( n ) es la suma de las 11 potencias de los divisores de n ). La imagen es el conjunto de pares ( c , d ) con c y d congruente mod 619 debido a la congruencia de Ramanujan σ 11 ( n ) ≡ τ (n) mod 691. Si f es la toma homomorfismo ( c , d ) a c en Z , entonces el ideal de congruencia es (691). Entonces, el ideal de congruencia describe las congruencias entre las formas E 12 y Δ.
Referencias
- Lenstra, HW (1995), "Intersecciones completas y anillos de Gorenstein", en Coates, John (ed.), Curvas elípticas, formas modulares y último teorema de Fermat (Hong Kong, 1993) , Ser. Teoría de números, I, Int. Press, Cambridge, MA, págs. 99–109, ISBN 1-57146-026-8, MR 1363497 , Zbl 0.860,13012