Sección cónica
En matemáticas , una sección cónica (o simplemente cónica ) es una curva obtenida como la intersección de la superficie de un cono con un plano . Los tres tipos de sección cónica son la hipérbola , la parábola y la elipse ; el círculo es un caso especial de elipse, aunque históricamente a veces se le ha llamado un cuarto tipo. Los antiguos matemáticos griegos estudiaron las secciones cónicas, culminando alrededor del 200 aC con el trabajo sistemático de Apolonio de Perge sobre sus propiedades.
Las secciones cónicas en el plano euclidiano tienen varias propiedades distintivas, muchas de las cuales pueden usarse como definiciones alternativas. Una de esas propiedades define una cónica no circular [1] como el conjunto de aquellos puntos cuyas distancias a algún punto particular, llamado foco , y alguna línea particular, llamada directriz , están en una relación fija, llamada excentricidad . El tipo de cónica está determinado por el valor de la excentricidad. En geometría analítica , una cónica puede definirse como una curva algebraica plana de grado 2; es decir, como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación cuadráticaen dos variables, que pueden escribirse en forma de matriz . Esta ecuación permite deducir y expresar algebraicamente las propiedades geométricas de las secciones cónicas.
En el plano euclidiano, los tres tipos de secciones cónicas parecen bastante diferentes, pero comparten muchas propiedades. Al extender el plano euclidiano para incluir una línea en el infinito, obteniendo un plano proyectivo , la diferencia aparente se desvanece: las ramas de una hipérbola se encuentran en dos puntos en el infinito, convirtiéndola en una sola curva cerrada; y los dos extremos de una parábola se encuentran para convertirla en una curva cerrada tangente a la línea en el infinito. Una mayor extensión, al expandir las coordenadas reales para admitir coordenadas complejas , proporciona los medios para ver esta unificación algebraicamente.
Las secciones cónicas se han estudiado durante miles de años y han proporcionado una rica fuente de resultados interesantes y hermosos en la geometría euclidiana .
Una cónica es la curva que se obtiene como la intersección de un plano , llamado plano de corte , con la superficie de un doble cono (un cono con dos napas ). Por lo general, se asume que el cono es un cono circular recto para facilitar la descripción, pero esto no es necesario; cualquier cono doble con alguna sección transversal circular será suficiente. Los planos que pasan por el vértice del cono se cruzarán con el cono en un punto, una línea o un par de líneas que se cruzan. Se denominan cónicas degeneradas y algunos autores no las consideran cónicas en absoluto. A menos que se indique lo contrario, "cónica" en este artículo se referirá a una cónica no degenerada.
Hay tres tipos de cónicas: elipse , parábola e hipérbola . El círculo es un tipo especial de elipse, aunque históricamente Apolonio lo consideró como un cuarto tipo. Las elipses surgen cuando la intersección del cono y el plano es una curva cerrada . El círculo se obtiene cuando el plano de corte es paralelo al plano del círculo generador del cono; para un cono recto, esto significa que el plano de corte es perpendicular al eje. Si el plano de corte es paralelo exactamente a una línea generadora del cono, entonces la cónica no tiene límites y se llama parábola . En el caso restante, la figura es una hipérbola.: el plano interseca ambas mitades del cono, produciendo dos curvas ilimitadas separadas.
