En matemáticas , la constante conectiva es una cantidad numérica asociada con los paseos de auto-evitación en una celosía . Se estudia en relación con la noción de universalidad en modelos físicos estadísticos bidimensionales . [1] Si bien la constante conectiva depende de la elección de la red, por lo que en sí misma no es universal (de manera similar a otras cantidades dependientes de la red, como el umbral de probabilidad crítica para la percolación), es sin embargo una cantidad importante que aparece en las conjeturas de leyes universales. Además, las técnicas matemáticas utilizadas para comprender la constante conectiva, por ejemplo, en la reciente demostración rigurosa de Duminil-Copin y Smirnov de que la constante conectiva de la red hexagonal tiene el valor preciso, puede proporcionar pistas [2] sobre un posible enfoque para atacar otros problemas abiertos importantes en el estudio de los paseos de auto-evitación, en particular la conjetura de que los recorridos de auto-evitación convergen en el límite de escala de la evolución Schramm-Loewner .
Definición
La constante conectiva se define como sigue. Dejardenota el número de caminatas autodirigidas de n pasos a partir de un punto de origen fijo en la celosía. Dado que cada n + m paso auto-evitando caminar puede descomponerse en n pasos auto-evitando caminar y en m pasos auto-evitando caminar, se deduce que. Luego, aplicando el lema de Fekete al logaritmo de la relación anterior, el límitese puede demostrar que existe. Este número se llama la constante conectiva, y claramente depende de la celosía particular elegida para la caminata, ya que lo hace. El valor dese conoce con precisión solo por dos celosías, ver más abajo. Para otras celosías,solo se ha aproximado numéricamente. Se conjetura que como n va al infinito, donde y , la amplitud crítica, dependen de la red, y el exponente , que se cree que es universal y depende de la dimensión de la celosía, se conjetura que es . [3]
Valores conocidos [4]
Enrejado | Constante conectiva |
---|---|
Hexagonal | |
Triangular | |
Cuadrado | |
Kagomé | |
Manhattan | |
Celosía en L | |
enrejado | |
enrejado |
Estos valores se toman del artículo de Jensen-Guttmann de 1998. La constante conectiva de la celosía, dado que cada paso en la celosía hexagonal corresponde a dos o tres pasos en ella, se puede expresar exactamente como la raíz real más grande del polinomio
dada la expresión exacta de la constante conectiva de celosía hexagonal. Puede encontrar más información sobre estas celosías en el artículo sobre el umbral de percolación .
Prueba Duminil-Copin – Smirnov
En 2010, Hugo Duminil-Copin y Stanislav Smirnov publicaron la primera prueba rigurosa del hecho de quepara la celosía hexagonal. [2] Esto había sido conjeturado por Nienhuis en 1982 como parte de un estudio más amplio de modelos O ( n ) utilizando técnicas de renormalización. [5] La prueba rigurosa de este hecho provino de un programa de aplicación de herramientas de análisis complejo a modelos probabilísticos discretos que también ha producido resultados impresionantes sobre el modelo de Ising, entre otros. [6] El argumento se basa en la existencia de un observable parafermiónico que satisface la mitad de las ecuaciones discretas de Cauchy-Riemann para el retículo hexagonal. Modificamos levemente la definición de una caminata que se evita por sí misma al hacer que comience y termine en los bordes medios entre los vértices. Sea H el conjunto de todos los bordes medios del enrejado hexagonal. Para una caminata de autoevitación entre dos bordes medios y , definimos para ser el número de vértices visitados y su sinuoso como la rotación total de la dirección en radianes cuando se atraviesa desde a . El objetivo de la prueba es mostrar que la función de partición
converge para y diverge para donde el parámetro crítico viene dado por . Esto implica inmediatamente que.
Dado un dominio en la celosía hexagonal, un borde medio inicial y dos parámetros y , definimos el observable parafermiónico
Si y , luego para cualquier vértice en , tenemos
dónde son los bordes medios que emanan de . Este lema establece que el observable parafermiónico está libre de divergencia. No se ha demostrado que esté libre de rizos, pero esto resolvería varios problemas abiertos (ver conjeturas). La prueba de este lema es un cálculo inteligente que se basa en gran medida en la geometría de la red hexagonal.
A continuación, nos centramos en un dominio trapezoidal finito. con células de 2L formando el lado izquierdo, células T a lo largo y lados superior e inferior en un ángulo de . (Se necesita una imagen). Incrustamos la celosía hexagonal en el plano complejo de modo que las longitudes de los bordes sean 1 y el borde medio en el centro del lado izquierdo se coloque en -1/2. Entonces los vértices en son dadas por
Ahora definimos funciones de partición para caminatas auto-evitadas a partir de y termina en diferentes partes del límite. Dejar denotar el límite de la izquierda, el límite de la derecha, el límite superior, y el límite inferior. Dejar
Sumando la identidad
sobre todos los vértices en y notando que el devanado es fijo dependiendo de en qué parte del límite termina el camino, podemos llegar a la relación
después de otro cálculo inteligente. Dejando, obtenemos un dominio de tira y funciones de partición
Más tarde se demostró que , pero no lo necesitamos como prueba. [7] Nos queda la relación
- .
De aquí, podemos derivar la desigualdad
Y llegar por inducción a un límite inferior estrictamente positivo para . Desde, hemos establecido que .
Para la desigualdad inversa, para un auto arbitrario evitando caminar sobre la celosía en forma de panal, realizamos una descomposición canónica debido a Hammersley y Welsh de la caminata hacia puentes de anchos y . Tenga en cuenta que podemos atar
lo que implica . Finalmente, es posible vincular la función de partición mediante las funciones de partición del puente.
Y entonces, tenemos eso como se desee.
Conjeturas
Nienhuis argumentó a favor de la predicción de Flory de que el desplazamiento cuadrático medio de la caminata aleatoria autoevitante satisface la relación de escala , con . [2] El exponente de escala y la constante universal podría calcularse si la caminata de auto-evitación posee un límite de escala invariante conforme, conjeturado que es una evolución de Schramm-Loewner con. [8]
Ver también
Referencias
- ^ Madrás, N .; Slade, G. (1996). La caminata de auto-evitación . Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3891-7.
- ^ a b c Duminil-Copin, Hugo; Smirnov, Stanislav (2010). "La constante conectiva de la celosía alveolar es igual a". arXiv : 1007.0575 [ matemáticas-ph ].
- ^ Vöge, Markus; Guttmann, Anthony J. (2003). "Sobre el número de poliominós hexagonales". Informática Teórica . 307 (2): 433–453. doi : 10.1016 / S0304-3975 (03) 00229-9 .
- ^ Jensen, I .; Guttmann, AJ (1998). "Caminatas que evitan uno mismo, caminatas que evitan a los vecinos y senderos en celosías semi-regulares" (PDF) . Journal of Physics A . 31 (40): 8137–45. Código Bibliográfico : 1998JPhA ... 31.8137J . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 31/40/008 .
- ^ Nienhuis, Bernard (1982). "Punto crítico exacto y exponentes críticos de los modelos O ( n ) en dos dimensiones". Cartas de revisión física . 49 (15): 1062–1065. Código Bibliográfico : 1982PhRvL..49.1062N . doi : 10.1103 / PhysRevLett.49.1062 .
- ^ Smirnov, Stanislav (2010). "Probabilidad y análisis de complejos discretos". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Hyderabad, India) 2010 . págs. 565–621. arXiv : 1009.6077 . Código bibliográfico : 2010arXiv1009.6077S .
- ^ Smirnov, Stanislav (2014). "La fugacidad crítica para la adsorción superficial de SAW en la celosía alveolar es". Comunicaciones en Física Matemática . 326 (3): 727-754. ArXiv : 1109.0358 . Código Bibliográfico : 2014CMaPh.326..727B . Doi : 10.1007 / s00220-014-1896-1 .
- ^ Lawler, Gregory F .; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2004). "En el límite de escalado de la caminata planar con auto-evitación". En Lapidus, Michel L .; van Frankenhuijsen, Machiel (eds.). Geometría fractal y aplicaciones: un jubileo de Benoît Mandelbrot, Parte 2: Multifractales, probabilidad y mecánica estadística, aplicaciones . Actas de simposios en matemáticas puras. 72 . págs. 339–364. arXiv : matemáticas / 0204277 . Bibcode : 2002math ...... 4277L . doi : 10.1090 / pspum / 072.2 / 2112127 . ISBN 9780821836385. Señor 2112127 .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Constante conectiva de la caminata que se evita a sí misma" . MathWorld .