Azulejos trihexagonales | |
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Tipo | Azulejos semirregulares |
Configuración de vértice | (3,6) 2 |
Símbolo de Schläfli | r {6,3} o h 2 {6,3} |
Símbolo de Wythoff | 2 | 6 3 3 3 | 3 |
Diagrama de Coxeter | = |
Simetría | p6m , [6,3], (* 632) |
Simetría de rotación | p6 , [6,3] + , (632) p3 , [3 [3] ] + , (333) |
Acrónimo de Bowers | Que |
Doble | Azulejos Rhombille |
Propiedades | Vértice-transitivo Edge-transitivo |
En geometría , el mosaico trihexagonal es uno de los 11 mosaicos uniformes del plano euclidiano por polígonos regulares . [1] Consiste en triángulos equiláteros y hexágonos regulares , dispuestos de manera que cada hexágono esté rodeado por triángulos y viceversa. El nombre deriva del hecho de que combina un mosaico hexagonal regular y un mosaico triangular regular . Dos hexágonos y dos triángulos se alternan alrededor de cada vértice , y sus bordes forman una disposición infinita de líneas . Su doble es el mosaico rhombille . [2]
Este patrón, y su lugar en la clasificación de mosaicos uniformes, ya lo conocía Johannes Kepler en su libro de 1619 Harmonices Mundi . [3] El patrón se ha utilizado durante mucho tiempo en la cestería japonesa , donde se llama kagome . El término japonés para este patrón se ha adoptado en física, donde se llama celosía de Kagome . Ocurre también en las estructuras cristalinas de ciertos minerales. Conway lo llama hexadeltille , que combina elementos alternativos de un mosaico hexagonal (hextille) y un mosaico triangular (deltille). [4]
Kagome
Kagome ( japonés :籠 目) es un patrón de bambú tejido tradicional japonés; su nombre se compone de las palabras kago , que significa "canasta", y yo , que significa "ojo (s)", refiriéndose al patrón de agujeros en una canasta tejida.
Es una disposición tejida de listones compuestos por triángulos entrelazados de tal manera que cada punto donde se cruzan dos listones tiene cuatro puntos vecinos, formando el patrón de un mosaico trihexagonal. El proceso de tejido le da al Kagome una simetría de grupo de papel tapiz quiral , p6 , (632).
Celosía de Kagome
El término celosía de kagome fue acuñado por el físico japonés Kôdi Husimi , y apareció por primera vez en un artículo de 1951 de su asistente Ichirō Shōji. [5] El enrejado de kagome en este sentido consiste en los vértices y los bordes del mosaico trihexagonal. A pesar del nombre, estos puntos de cruce no forman una red matemática .
Una estructura tridimensional relacionada formada por los vértices y los bordes del panal de un cuarto de cúbico , que llena el espacio con tetraedros regulares y tetraedros truncados , se ha denominado enrejado hiper-kagome . [6] Está representado por los vértices y los bordes del panal de un cuarto de cúbico , que llena el espacio con tetraedros regulares y tetraedros truncados . Contiene cuatro conjuntos de planos paralelos de puntos y líneas, cada plano es una red de kagome bidimensional. Una segunda expresión en tres dimensiones tiene capas paralelas de celosías bidimensionales y se denomina celosía ortorrómbica-kagome . [6] El panal prismático trihexagonal representa sus bordes y vértices.
Algunos minerales , a saber, jarositas y herbertsmithita , contienen capas bidimensionales o una disposición tridimensional de átomos en red kagome en su estructura cristalina . Estos minerales muestran nuevas propiedades físicas relacionadas con el magnetismo geométricamente frustrado . Por ejemplo, la disposición de espín de los iones magnéticos en Co 3 V 2 O 8 descansa en una red de kagome que exhibe un comportamiento magnético fascinante a bajas temperaturas. [7] Se ha descubierto que los imanes cuánticos realizados en las redes de Kagome exhiben muchos fenómenos electrónicos y magnéticos inesperados. [8] [9] [10] [11]
El término se usa mucho hoy en día en la literatura científica, especialmente por los teóricos que estudian las propiedades magnéticas de una red de kagome teórica.
Ver también: Crestas de Kagome .
Simetría
El mosaico trihexagonal tiene el símbolo de Schläfli de r {6,3}, o diagrama de Coxeter ,, que simboliza el hecho de que se trata de un mosaico hexagonal rectificado , {6,3}. Sus simetrías se pueden describir mediante el grupo de papel tapiz p6mm, (* 632), [12] y el mosaico se puede derivar como una construcción de Wythoff dentro de los dominios fundamentales de reflexión de este grupo . El mosaico trihexagonal es un mosaico cuasirregular , alternando dos tipos de polígonos, con configuración de vértice (3.6) 2 . También es un mosaico uniforme , uno de los ocho derivados del mosaico hexagonal regular.
Colorantes uniformes
Hay dos colores uniformes distintos de un mosaico trihexagonal. Nombrar los colores por índices en las 4 caras alrededor de un vértice (3.6.3.6): 1212, 1232. [1] El segundo se llama mosaico hexagonal cantico , h 2 {6,3}, con dos colores de triángulos, existente en simetría p3m1 (* 333).
Simetría | p6m, (* 632) | p3m, (* 333) |
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Colorante | ||
dominio fundamental | ||
Wythoff | 2 | 6 3 | 3 3 | 3 |
Coxeter | = | |
Schläfli | r {6,3} | r {3 [3] } = h 2 {6,3} |
Embalaje circular
El mosaico trihexagonal se puede utilizar como empaque circular , colocando círculos de igual diámetro en el centro de cada punto. [13] Cada círculo está en contacto con otros 4 círculos en el embalaje ( número de besos ).
Azulejos topológicamente equivalentes
El mosaico trihexagonal se puede distorsionar geométricamente en mosaicos topológicamente equivalentes de simetría inferior. [1] En estas variantes del mosaico, los bordes no necesariamente se alinean para formar líneas rectas.
p3m1, (* 333) | p3, (333) | p31m, (3 * 3) | cmm, (2 * 22) | |||
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Azulejos cuasirregulares relacionados
El mosaico trihexagonal existe en una secuencia de simetrías de mosaicos cuasirregulares con configuraciones de vértice (3. n ) 2 , progresando desde los mosaicos de la esfera al plano euclidiano y al plano hiperbólico. Con la simetría de notación orbifold de * n 32, todos estos mosaicos son construcciones de wythoff dentro de un dominio fundamental de simetría, con puntos generadores en la esquina del ángulo recto del dominio. [14] [15]
* n 32 simetrías orbifold de teselaciones cuasirregulares : (3. n ) 2 | |||||||
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Construcción | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico | ||||
* 332 | * 432 | * 532 | * 632 | * 732 | * 832 ... | * ∞32 | |
Figuras cuasirregulares | |||||||
Vértice | (3.3) 2 | (3.4) 2 | (3,5) 2 | (3,6) 2 | (3,7) 2 | (3,8) 2 | (3.∞) 2 |
Apeirogons complejos regulares relacionados
Hay 2 apeirogons complejos regulares , que comparten los vértices del mosaico trihexagonal. Los apeirogones complejos regulares tienen vértices y aristas, donde las aristas pueden contener 2 o más vértices. Los ápices regulares p { q } r están restringidos por: 1 / p + 2 / q + 1 / r = 1. Los bordes tienen p vértices dispuestos como un polígono regular , y las figuras de los vértices son r -gonales. [dieciséis]
El primero está hecho de bordes triangulares, dos alrededor de cada vértice, el segundo tiene bordes hexagonales, dos alrededor de cada vértice.
3 {12} 2 o | 6 {6} 2 o |
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Ver también
- Umbral de percolación
- Cresta de Kagome
- Estrella de David
- Nido de abeja prismático trihexagonal
- Panal simplectico ciclotruncado
- Lista de mosaicos uniformes
Referencias
- ^ a b c Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y Patrones . WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1193-3.Ver en particular el Teorema 2.1.3, p. 59 (clasificación de mosaicos uniformes); Figura 2.1.5, p.63 (ilustración de este mosaico), Teorema 2.9.1, p. 103 (clasificación de mosaicos de colores), Figura 2.9.2, p. 105 (ilustración de mosaicos de colores), Figura 2.5.3 (d), pág. 83 (mosaico de estrellas topológicamente equivalente) y Ejercicio 4.1.3, p. 171 (equivalencia topológica de teselaciones trihexagonales y de dos triángulos).
- ^ Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. p. 38. ISBN 0-486-23729-X.
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- ^ Conway, John H .; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (2008). "Capítulo 21: Denominación de poliedros y teselaciones de Arquímedes y Cataluña; Teselaciones planas euclidianas". Las simetrías de las cosas . Wellesley, MA: AK Peters, Ltd. p. 288. ISBN 978-1-56881-220-5. Señor 2410150 .
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Otras lecturas
- Seymour, Dale; Britton, Jill (1989). Introducción a los teselados . págs. 50–56. ISBN 978-0866514613.