En matemáticas , un campo euclidiana es un campo ordenado K para el que cada elemento no negativo es un cuadrado: esto es, x ≥ 0 en K implica que x = y 2 para algunos y en K .
Los números construibles forman un campo euclidiano. Es el campo euclidiano más pequeño, ya que cada campo euclidiano lo contiene como un subcampo ordenado. En otras palabras, los números construibles forman el cierre euclidiano de los números racionales .
Propiedades
- Todo campo euclidiano es un campo pitagórico ordenado , pero lo contrario no es cierto. [1]
- Si E / F es un número finito de extensión , y E es euclidiana, entonces también lo es F . Este "teorema de descenso" es una consecuencia del teorema de Diller-Dress . [2]
Ejemplos de
- Los números reales construibles , esas longitudes (con signo) que pueden construirse a partir de un segmento racional mediante construcciones de regla y compás , forman un campo euclidiano. [3]
Todo campo cerrado real es un campo euclidiano. Los siguientes ejemplos también son campos cerrados reales.
- Los números reales con las operaciones habituales y ordenando forman un campo euclidiano.
- El campo de los números algebraicos reales es un campo euclidiano.
- El campo de los números hiperrealistas es un campo euclidiano.
Contraejemplos
- Los números racionales con las operaciones habituales y el ordenamiento no forman un campo euclidiano. Por ejemplo, 2 no es un cuadrado enya que la raíz cuadrada de 2 es irracional . [4] Por el resultado descendente anterior, ningún campo numérico algebraico puede ser euclidiano. [2]
- Los números complejos no forman un campo euclidiano ya que no se les puede dar la estructura de un campo ordenado.
Cierre euclidiano
El cierre euclidiana de un campo ordenado K es una extensión de K en el cierre cuadrática de K que es máxima con respecto a ser un campo ordenado con un orden que se extiende la de K . [5] También es el subcampo más pequeño de la clausura algebraica de K que es un campo euclidiana y es un ordenado extensión de K .
Referencias
- Efrat, Ido (2006). Valoraciones, ordenaciones y teoría K de Milnor . Encuestas y Monografías Matemáticas. 124 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002 .
- Lam, Tsit-Yuen (2005). Introducción a las formas cuadráticas sobre campos . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 67 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-1095-2. Señor 2104929 . Zbl 1068.11023 .
- Martin, George E. (1998). Construcciones geométricas . Textos de Licenciatura en Matemáticas . Springer-Verlag . ISBN 0-387-98276-0. Zbl 0890.51015 .
enlaces externos
- Campo Euclidiano en PlanetMath .