En matemáticas , un contenido es una función establecida que es como una medida , pero un contenido solo debe ser finitamente aditivo, mientras que una medida debe ser contablemente aditiva. Un contenido es una función real definido en una colección de subconjuntos tal que
En muchas aplicaciones importantes el se elige para ser un Anillo de conjuntos o para ser al menos un Semiring de conjuntos, en cuyo caso se pueden deducir algunas propiedades adicionales que se describen a continuación. Por esta razón, algunos autores prefieren definir contenidos solo para el caso de semirings o incluso rings.
Si un contenido es adicionalmente σ -aditivo , se denomina medida previa y si ademáses un σ -álgebra , el contenido se llama medida . Por lo tanto, cada medida (de valor real) es un contenido, pero no al revés. Los contenidos dan una buena idea de la integración de funciones limitadas en un espacio, pero pueden comportarse mal cuando se integran funciones ilimitadas, mientras que las medidas dan una buena idea de la integración de funciones ilimitadas.
Ejemplos de
Un ejemplo clásico es definir un contenido en todos los intervalos semiabiertos. estableciendo su contenido a la longitud de los intervalos, es decir . Además, se puede demostrar que este contenido es en realidad σ -aditivo y, por lo tanto, define una medida previa en el semirrígido de todos los intervalos semiabiertos. Esto se puede usar para construir la medida de Lebesgue para la recta numérica real usando el teorema de extensión de Carathéodory . Para más detalles sobre la construcción general, consulte el artículo sobre la medida de Lebesgue .
Un ejemplo de un contenido que no es una medida en un σ -álgebra es el contenido de todos los subconjuntos de los enteros positivos que tiene valor 1/2 n en cualquier número entero n y es infinito en cualquier subconjunto infinito.
Un ejemplo de un contenido en los números enteros positivos que siempre es finito pero no es una medida se puede dar de la siguiente manera. Tome un funcional lineal positivo en las secuencias acotadas que sea 0 si la secuencia tiene solo un número finito de elementos distintos de cero y toma el valor 1 en la secuencia 1, 1, 1, ...., por lo que el funcional en algún sentido da un " valor medio "de cualquier secuencia acotada. (Tal funcional no se puede construir explícitamente, pero existe mediante el teorema de Hahn-Banach ). Entonces, el contenido de un conjunto de enteros positivos es el valor promedio de la secuencia que es 1 en este conjunto y 0 en el resto. De manera informal, uno puede pensar en el contenido de un subconjunto de números enteros como la "probabilidad" de que un número entero elegido al azar se encuentre en este subconjunto (aunque esto no es compatible con las definiciones usuales de azar en la teoría de probabilidades, que asumen una aditividad contable).
Propiedades
Con frecuencia, los contenidos se definen en colecciones de conjuntos que satisfacen restricciones adicionales. En este caso, se pueden deducir propiedades adicionales que no se cumplen en general para los contenidos definidos en cualquier colección de conjuntos.
En semirrings
Si forma un Semiring de conjuntos, entonces se pueden deducir las siguientes afirmaciones:
- Cada contenido es monótono, es decir
- por .
- Cada contenido es subaditivo, es decir
- por en tal que .
En anillos
Si ademas es un anillo de conjuntos que se obtiene adicionalmente:
- Sustracción : para satisfactorio sigue .
- .
- Subaditividad :.
- -Superaditividad : para cualquier por parejas disjunto satisfactorio tenemos .
- Si es un contenido finito, es decir , entonces se aplica el principio de inclusión-exclusión :
- dónde para todos .
Integración de funciones limitadas
En general, la integración de funciones con respecto a un contenido no se comporta bien. Sin embargo, existe una noción de integración que se comporta bien siempre que la función esté acotada y el contenido total del espacio sea finito, como se indica a continuación.
Supongamos que el contenido total de un espacio es finito. Si f es una función acotada en el espacio tal que la imagen inversa de cualquier subconjunto abierto de los reales tiene un contenido, entonces podemos definir la integral de f con respecto al contenido como
donde A i forman una colección finita de conjuntos semiabiertos disjuntos cuya unión cubre el rango de f , y α i es cualquier elemento de A i , y donde el límite se toma como los diámetros de los conjuntos A i tienden a 0.
Duales de espacios de funciones limitadas
Supongamos que μ es una medida en un cierto espacio X . Las funciones mensurables acotadas en X forman un espacio de Banach con respecto a la norma suprema. Los elementos positivos del dual de este espacio corresponden a contenidos acotados λ Χ , con el valor de λ en f dado por la integral. De manera similar se puede formar el espacio de funciones esencialmente acotadas, con la norma dada por el supremo esencial, y los elementos positivos del dual de este espacio están dados por contenidos acotados que se desvanecen en conjuntos de medida 0.
Construcción de una medida a partir de un contenido
Hay varias formas de construir una medida μ a partir de un contenido λ en un espacio topológico. Esta sección proporciona uno de esos métodos para espacios de Hausdorff localmente compactos, de modo que el contenido se define en todos los subconjuntos compactos. En general, la medida no es una extensión del contenido, ya que el contenido puede no ser contablemente aditivo, y la medida puede incluso ser idénticamente cero incluso si el contenido no lo es.
Primero, restrinja el contenido a conjuntos compactos. Esto da una función λ de conjuntos compactos C con las siguientes propiedades:
- para todos los sets compactos C
- para todos los pares de sets compactos
- para todos los pares de conjuntos compactos disjuntos.
También hay ejemplos de funciones λ como arriba no construidas a partir de contenidos. Un ejemplo lo da la construcción de la medida Haar en un grupo localmente compacto. Un método para construir tal medida de Haar es producir una función invariante a la izquierda λ como arriba en los subconjuntos compactos del grupo, que luego se puede extender a una medida invariante a la izquierda.
Definición en sets abiertos
Dado λ como arriba, definimos una función μ en todos los conjuntos abiertos por
- .
Tiene las siguientes propiedades:
- para cualquier colección de sets abiertos.
- para cualquier colección de conjuntos abiertos disjuntos
Definición en todos los sets
Dado μ como arriba, extendemos la función μ a todos los subconjuntos del espacio topológico por
Esta es una medida externa , es decir, tiene las siguientes propiedades:
- para cualquier colección contable de conjuntos.
Construcción de una medida
La función μ anterior es una medida externa en la familia de todos los subconjuntos. Por lo tanto se convierte en una medida cuando se está restringido a los subconjuntos medibles para la medida exterior, que son los subconjuntos E tal que μ ( X ) = μ ( X ∩ E ) + μ ( X \ E ) para todos los subconjuntos X . Si el espacio es localmente compacto, entonces cada conjunto abierto es medible para esta medida.
La medida μ no coincide necesariamente con el contenido λ en conjuntos compactos, sin embargo sí lo hace si λ es regular en el sentido de que para cualquier C compacto , λ ( C ) es el inf de λ ( D ) para conjuntos compactos D que contienen C en sus interiores.
Ver también
Referencias
- Halmos, Paul (1950), teoría de la medida , Van Nostrand and Co.
- Mayrhofer, Karl (1952), Inhalt und Mass (contenido y medida) , Springer-Verlag, MR 0053185
- Elstrodt, Jürgen (2018), Maß- und Integrationstheorie , Springer-Verlag