En lógica y matemáticas , el bicondicional lógico , a veces conocido como el bicondicional material , es el conectivo lógico utilizado para unir dos enunciados P y Q para formar el enunciado " P si y solo si Q ", donde P se conoce como el antecedente , y Q el consecuente . [1] [2] [3] Esto a menudo se abrevia como " P iff Q ". [4] El operador se indica mediante una flecha de dos puntas (↔[5] o ⇔ [6] ), un prefijo E "E pq " (en notación Łukasiewicz o notación de Bocheński ), un signo de igualdad (=), un signo de equivalencia (≡), [4] o EQV . Es lógicamente equivalente a ambos y y el operador booleano XNOR (exclusivo ni) , que significa "ambos o ninguno".
Semánticamente, el único caso en el que un bicondicional lógico es diferente de un condicional material es el caso en el que la hipótesis es falsa pero la conclusión es verdadera. En este caso, el resultado es verdadero para el condicional, pero falso para el bicondicional. [2]
En la interpretación conceptual, P = Q significa "Todos los P son Q y todos los Q son P ". En otras palabras, los conjuntos P y Q coinciden: son idénticos. Sin embargo, esto no significa que P y Q deban tener el mismo significado (p. Ej., P podría ser "trilateral equiangular" y Q podría ser "triángulo equilátero"). Cuando se expresa como una oración, el antecedente es el sujeto y el consecuente es el predicado de una proposición afirmativa universal (por ejemplo, en la frase "todos los hombres son mortales", "hombres" es el sujeto y "mortal" es el predicado).
En la interpretación proposicional, significa que P implica Q y Q implica P ; en otras palabras, las proposiciones son lógicamente equivalentes , en el sentido de que ambas son conjuntamente verdaderas o conjuntamente falsas. Nuevamente, esto no significa que deban tener el mismo significado, ya que P podría ser "el triángulo ABC tiene dos lados iguales" y Q podría ser "el triángulo ABC tiene dos ángulos iguales". En general, el antecedente es la premisa o la causa , y el consecuente es la consecuencia . Cuando una implicación es traducida por un juicio hipotético (o condicional ), el antecedente se llama hipótesis (o condición ) y el consecuente se llama tesis .
Una forma común de demostrar un bicondicional de la forma. es demostrar que y por separado (debido a su equivalencia a la conjunción de los dos condicionales inversos [2] ). Otra forma más de demostrar el mismo bicondicional es demostrando que y . [1]
Cuando ambos miembros del bicondicional son proposiciones, se puede separar en dos condicionales, de los cuales uno se llama teorema y el otro su recíproco . [ cita requerida ] Así, siempre que un teorema y su recíproco son verdaderos, tenemos un bicondicional. Un teorema simple da lugar a una implicación, cuyo antecedente es la hipótesis y cuyo consecuente es la tesis del teorema.
A menudo se dice que la hipótesis es la condición suficiente de la tesis y que la tesis es la condición necesaria de la hipótesis. Es decir, es suficiente que la hipótesis sea verdadera para que la tesis sea verdadera, mientras que es necesario que la tesis sea verdadera si la hipótesis fuera verdadera. Cuando un teorema y su recíproco son verdaderos, se dice que su hipótesis es la condición necesaria y suficiente de la tesis. Es decir, la hipótesis es a la vez causa y consecuencia de la tesis.
Definición
La igualdad lógica (también conocida como bicondicional) es una operación sobre dos valores lógicos , típicamente los valores de dos proposiciones , que produce un valor verdadero si y solo si ambos operandos son falsos o ambos operandos son verdaderos. [2]
Mesa de la verdad
La siguiente es una tabla de verdad para (también escrito como , P = Q , o P EQ Q ):
T | T | T |
T | F | F |
F | T | F |
F | F | T |
Cuando hay más de dos declaraciones involucradas, combinándolas con puede ser ambiguo. Por ejemplo, la declaración
puede interpretarse como
- ,
o puede interpretarse en el sentido de que todas las x i son conjuntamente verdaderas o conjuntamente falsas :
Resulta que estas dos afirmaciones son solo iguales, cuando hay cero o dos argumentos involucrados. De hecho, las siguientes tablas de verdad solo muestran el mismo patrón de bits en la línea sin argumento y en las líneas con dos argumentos:
El diagrama de Venn de la izquierda a continuación y las líneas (AB) en estas matrices representan la misma operación.
diagramas de Venn
Las áreas rojas representan verdadero (como en para y ).
|
|
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Propiedades
Conmutatividad : sí
Asociatividad : sí
Distributividad : Bicondicional no se distribuye sobre ninguna función binaria (ni siquiera ella misma), pero la disyunción lógica se distribuye sobre bicondicional.
idempotencia : No
Monotonicidad : No
Preservación de la verdad: Sí.
Cuando todas las entradas son verdaderas, la salida es verdadera.
Conservación de la falsedad: No
Cuando todas las entradas son falsas, la salida no es falsa.
Espectro de Walsh : (2,0,0,2)
No linealidad : 0 (la función es lineal)
Reglas de inferencia
Como todos los conectivos en la lógica de primer orden, el bicondicional tiene reglas de inferencia que gobiernan su uso en demostraciones formales.
Introducción bicondicional
La introducción bicondicional permite inferir que si B se sigue de A y A se sigue de B, entonces A si y solo si B.
Por ejemplo, de las declaraciones "si estoy respirando, entonces estoy vivo" y "si estoy vivo, entonces estoy respirando", se puede inferir que "estoy respirando si y solo si ' Estoy vivo "o equivalentemente," Estoy vivo si y sólo si estoy respirando ". O más esquemáticamente:
B → A A → B ∴ A ↔ B
B → A A → B ∴ B ↔ A
Eliminación bicondicional
La eliminación bicondicional permite inferir un condicional de un bicondicional: si A ↔ B es verdadero, entonces se puede inferir A → B o B → A.
Por ejemplo, si es cierto que estoy respirando si y solo si estoy vivo, entonces es cierto que si estoy respirando, entonces estoy vivo; Asimismo, es cierto que si estoy vivo, entonces estoy respirando. O más esquemáticamente:
A ↔ B ∴ A → B
A ↔ B ∴ B → A
Uso coloquial
Una forma inequívoca de enunciar un bicondicional en un lenguaje sencillo es adoptar la forma " b si a y a si b ", si no se utiliza la forma estándar " a si y solo si b ". Un poco más formal, también se podría decir que " b implica una y un implica b ", o " una es necesaria y suficiente para B ". [1] El inglés simple "if" a veces puede usarse como un bicondicional (especialmente en el contexto de una definición matemática [7] ). En cuyo caso, se debe tener en cuenta el contexto circundante al interpretar estas palabras.
Por ejemplo, la afirmación "Te compraré una nueva billetera si la necesitas" puede interpretarse como un bicondicional, ya que el hablante no tiene la intención de que un resultado válido sea comprar la billetera, ya sea que la necesites o no (como en un condicional). Sin embargo, "está nublado si está lloviendo" generalmente no se entiende como un bicondicional, ya que todavía puede estar nublado incluso si no está lloviendo.
Ver también
- Si y solo si
- Equivalencia lógica
- Igualdad lógica
- Puerta XNOR
- Eliminación bicondicional
- Introducción bicondicional
Referencias
- ^ a b c "El glosario definitivo de jerga matemática superior: si y solo si" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 25 de noviembre de 2019 .
- ^ a b c d Peil, Timothy. "Condicionales y Bicondicionales" . web.mnstate.edu . Consultado el 25 de noviembre de 2019 .
- ^ Brennan, Joseph G. (1961). Manual de lógica (2ª ed.). Harper y Row. pag. 81.
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Iff" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 25 de noviembre de 2019 .
- ^ "Declaraciones bicondicionales | Beneficios matemáticos" . www.mathgoodies.com . Consultado el 25 de noviembre de 2019 .
- ^ "2.4: Declaraciones Bicondicionales" . LibreTexts de Matemáticas . 2018-04-25 . Consultado el 25 de noviembre de 2019 .
- ↑ De hecho, ese es el estilo adoptado por el manual de estilo matemático de Wikipedia .
enlaces externos
- Medios relacionados con la lógica bicondicional en Wikimedia Commons
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