En la combinatoria poliédrica , la transformada de Gale convierte los vértices de cualquier politopo convexo en un conjunto de vectores o puntos en un espacio de una dimensión diferente, el diagrama de Gale del politopo. Puede usarse para describir politopos de alta dimensión con pocos vértices, transformándolos en conjuntos de puntos en un espacio de una dimensión mucho menor. El proceso también se puede invertir para construir politopos con las propiedades deseadas a partir de sus diagramas de Gale. La transformada de Gale y el diagrama de Gale llevan el nombre de David Gale , quien introdujo estos métodos en un artículo de 1956 sobre politopos vecinos . [1]
Definiciones
Transformar
Dado un -politopo dimensional, con vértices, adjuntar 1 a las coordenadas cartesianas de cada vértice, para obtener un-vector de columna dimensional . La matriz de estos los vectores de columna tienen dimensiones y rango . La transformada de Gale reemplaza esta matriz por una matriz de dimensión , cuyos vectores de columna son una base para el núcleo de. Luego posee vectores de fila, de dimensión . Estos vectores de fila forman el diagrama de Gale del politopo. Hay una opción de qué base usar el kernel, pero cambia el resultado solo mediante una transformación lineal. [2]
Un subconjunto adecuado de los vértices de un politopo forma el conjunto de vértices de una cara del politopo, si y solo si el conjunto complementario de vectores de la transformada de Gale tiene un casco convexo que contiene el origen en su interior relativo . [3] De manera equivalente, el subconjunto de vértices forma una cara si y solo si no hay una función lineal que asigne valores no negativos a los vectores complementarios. [4]
Diagrama lineal
Debido a que la transformada de Gale se define solo hasta una transformación lineal, sus vectores distintos de cero se pueden normalizar para que todos sean -vectores unitarios dimensionales . El diagrama lineal de Gale es una versión normalizada de la transformada de Gale, en la que todos los vectores son cero o vectores unitarios. [5]
Diagrama afín
Dado un diagrama de Gale de un politopo, es decir, un conjunto de vectores unitarios en un -espacio dimensional, se puede elegir un -subespacio dimensional a través del origen que evita todos los vectores, y un subespacio paralelo que no pasa por el origen. Luego, una proyección central desde el origen hasta producirá un conjunto de -puntos dimensionales. Esta proyección pierde la información sobre qué vectores se encuentran arribay que se encuentran debajo de él, pero esta información se puede representar asignando un signo (positivo, negativo o cero) o equivalentemente un color (negro, blanco o gris) a cada punto. El conjunto resultante de puntos con signo o color es el diagrama de Gale afín del politopo dado. Esta construcción tiene la ventaja, sobre la transformada de Gale, de usar una dimensión menos para representar la estructura del politopo dado. [6]
Las transformaciones de Gale y los diagramas de Gale lineales y afines también se pueden describir a través de la dualidad de matroides orientados . [7] Al igual que con el diagrama lineal, un subconjunto de vértices forma una cara si y solo si no hay una función afín (una función lineal con un término constante posiblemente distinto de cero) que asigne un valor no negativo a cada vector positivo en el complementario conjunto y un valor no positivo para cada vector negativo en el conjunto complementario. [4]
Ejemplos de
El diagrama de Gale es particularmente eficaz para describir poliedros cuyo número de vértices es solo un poco más grande que sus dimensiones.
Simplices
A -politopo dimensional con vértices, el mínimo posible, es un simplex . En este caso, el diagrama lineal de Gale es de dimensión 0 y consta solo de vectores cero. El diagrama afín tienepuntos grises. [8]
Un vértice adicional
en un -politopo dimensional con vértices, el diagrama lineal de Gale es unidimensional, y el vector que representa cada punto es uno de los tres números , , o . En el diagrama afín, los puntos son de dimensión cero, por lo que solo se pueden representar mediante sus signos o colores sin ningún valor de ubicación. Para representar un politopo, el diagrama debe tener al menos dos puntos con cada signo distinto de cero. Dos diagramas representan la misma clase de equivalencia combinatoria de politopos cuando tienen el mismo número de puntos de cada signo, o cuando pueden obtenerse entre sí negando todos los signos. [8]
Para , la única posibilidad son dos puntos de cada signo distinto de cero, lo que representa un cuadrilátero convexo . Para, hay dos posibles diagramas de Gale: el diagrama con dos puntos de cada signo distinto de cero y un punto cero representa una pirámide cuadrada , mientras que el diagrama con dos puntos de un signo distinto de cero y tres puntos con el otro signo representa la bipirámide triangular . [8]
En general, el número de diagramas de Gale distintos con , y el número de clases de equivalencia combinatoria de -politopos dimensionales con vértices, es . [8]
Dos vértices adicionales
en un -politopo dimensional con vértices, el diagrama lineal de Gale consta de puntos en el círculo unitario (vectores unitarios) y en su centro. El diagrama de Gale afín consta de puntos etiquetados o grupos de puntos en una línea. A diferencia del caso devértices, no es completamente trivial determinar cuándo dos diagramas de Gale representan el mismo politopo. [8]
Los poliedros tridimensionales con seis vértices proporcionan ejemplos naturales en los que el poliedro original es de una dimensión lo suficientemente baja para visualizar, pero donde el diagrama de Gale todavía proporciona un efecto de reducción de dimensión. Estos incluyen tanto el octaedro regular como el prisma triangular . El diagrama de Gale lineal de un octaedro regular consta de tres pares de puntos iguales en el círculo unitario (que representan pares de vértices opuestos del octaedro), dividiendo el círculo en arcos de ángulo menor que. Su diagrama de Gale afín consta de tres pares de puntos con el mismo signo en la línea, y el par del medio tiene el signo opuesto a los dos pares externos. [9] El diagrama lineal de Gale de un prisma triangular consta de seis puntos en el círculo, en tres pares diametralmente opuestos, y cada par representa los vértices del prisma que son adyacentes en dos caras cuadradas del prisma. El diagrama de Gale afín correspondiente tiene tres pares de puntos en una línea, como el octaedro regular, pero con un punto de cada signo en cada par. [10]
Aplicaciones
Los diagramas de vendaval se han utilizado para proporcionar una enumeración combinatoria completa de-politopo dimensional con vértices, [11] y para construir politopos que tienen propiedades inusuales.
Los politopos construidos de esta manera incluyen:
- El politopo de Perles , un politopo de 8 dimensiones con 12 vértices que no se puede realizar con coordenadas cartesianas racionales . Este politopo fue construido por Micha Perles a partir de la configuración de Perles (nueve puntos y nueve líneas en el plano que no se pueden realizar con coordenadas racionales) duplicando tres de los puntos de la configuración de Perles, asignando signos a los 12 puntos resultantes y tratando la configuración firmada resultante como el diagrama de Gale de un politopo. Aunque los politopos irracionales se conocen con una dimensión tan baja como cuatro, ninguno se conoce con menos vértices. [12]
- El politopo de Kleinschmidt , un politopo de 4 dimensiones con 8 vértices, 10 facetas tetraédricas y una faceta octaédrica, construido por Peter Kleinschmidt. Aunque la faceta octaédrica tiene la misma estructura combinatoria que un octaedro regular, no es posible que sea regular. [13] Se pueden pegar dos copias de este politopo en sus facetas octaédricas para producir un politopo de 10 vértices en el que algunos pares de realizaciones no se pueden deformar continuamente entre sí. [14]
- La bipirámide sobre una pirámide cuadrada es un politopo de 4 dimensiones con 7 vértices que tiene la propiedad dual de que no se puede prescribir la forma de una de sus figuras de vértice (el vértice de su pirámide central). Encontrado originalmente por David W. Barnette, este ejemplo fue redescubierto por Bernd Sturmfels usando diagramas de Gale. [15]
- La construcción de pequeños "politopos sin vecino", es decir, politopos sin vértice universal , y "politopos iluminados", en los que cada vértice incide en una diagonal que pasa por el interior del politopo. Los politopos cruzados tienen estas propiedades, pero en 16 o más dimensiones existen politopos iluminados con menos vértices, y en 6 o más dimensiones los politopos iluminados con el menor número de vértices no necesitan ser simpliciales. La construcción involucra diagramas de Gale. [dieciséis]
Notas
- ↑ Gale (1956) .
- ^ Thomas (2006) , Definición 5.2, p. 38
- ^ Thomas (2006) , Teorema 5.6, p. 41
- ↑ a b Ziegler (1995) , p. 170
- ^ Sturmfels (1988) .
- ^ Thomas (2006) , p. 43–44.
- ^ Ziegler (1995) , Definición 6.17, p. 168
- ↑ a b c d e Ziegler (1995) , pág. 171.
- ^ Ziegler (1995) , ejemplo 6.18, p. 169
- ^ Thomas (2006) , págs.39 y 44
- ^ Sturmfels (1988) , p. 121; Ziegler (1995) , pág. 172
- ^ Ziegler (1995) , Sección 6.5 (a) "Un 8-politopo no racional", págs. 172-173; Thomas (2006) , Teorema 6.11, págs. 51–52
- ↑ Ziegler (1995) , Sección 6.5 (b) "No se pueden prescribir facetas de 4-politopos", págs. 173-175 y Ejercicio 6.18, pág. 188; Sturmfels (1988) , págs. 129-130
- ^ Ziegler (1995) , Sección 6.5 (d) "Politopos que violan la conjetura de isotopía", págs. 177-179
- ^ Ziegler (1995) , Sección 6.5 (b) "No se pueden prescribir facetas de 4-politopos", págs. 173-175; Sturmfels (1988) , Proposición 5.1, pág. 130; Thomas (2006) , Teorema 6.12, págs. 53–55
- ^ Wotzlaw y Ziegler (2011) .
Referencias
- Gale, David (1956), "Vértices vecinos en un poliedro convexo", Desigualdades lineales y sistema relacionado , Annals of Mathematics Studies, no. 38, Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, págs. 255–263, MR 0085552
- Sturmfels, Bernd (1988), "Algunas aplicaciones de los diagramas de Gale afines a politopos con pocos vértices", SIAM Journal on Discrete Mathematics , 1 (1): 121-133, doi : 10.1137 / 0401014 , MR 0936614
- Thomas, Rekha R. (2006), "Chapter 5: Gale Diagrams", Lectures in Geometric Combinatorics , Student Mathematical Library, 33 , Institute for Advanced Study (IAS), Princeton, NJ, págs. 37–45, doi : 10.1090 / stml / 033 , ISBN 0-8218-4140-8, MR 2237292
- Wotzlaw, Ronald F .; Ziegler, Günter M. (2011), "Un contraejemplo perdido y un problema en politopos iluminados", American Mathematical Monthly , 118 (6): 534–543, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.118.06.534 , MR 2812284
- Ziegler, Günter M. (1995), "Capítulo 6: Dualidad, diagramas de vendaval y aplicaciones", Conferencias sobre politopos , Textos de posgrado en matemáticas, 152 , Nueva York: Springer-Verlag, págs. 149-190, doi : 10.1007 / 978-1-4613-8431-1_6 , ISBN 0-387-94365-X, MR 1311028