Circunvolución

Operación matemática binaria en funciones

Para el uso en la teoría del lenguaje formal, consulte Convolución (informática) . Para otros usos, consulte Convolute .

Comparación visual de convolución, correlación cruzada y autocorrelación . Para las operaciones que involucran la función f , y suponiendo que la altura de f es 1.0, el valor del resultado en 5 puntos diferentes se indica mediante el área sombreada debajo de cada punto. Además, la simetría de f es la razón y son idénticas en este ejemplo.${\displaystyle g*f}$${\displaystyle f\star g}$

En matemáticas (en particular, análisis funcional ), la convolución es una operación matemática en dos funciones ( f y g ) que produce una tercera función ( ) que expresa cómo la forma de una es modificada por la otra. El término convolución se refiere tanto a la función de resultado como al proceso de cálculo. Se define como la integral del producto de las dos funciones después de que una se invierte y se desplaza. La integral se evalúa para todos los valores de desplazamiento, produciendo la función de convolución.${\displaystyle f*g}$

Algunas características de la convolución son similares a la correlación cruzada : para funciones de valor real, de una variable continua o discreta, difiere de la correlación cruzada ( ) solo en que f ( x ) o g ( x ) se refleja sobre la y -eje; por lo tanto, es una correlación cruzada de f ( x ) y g (- x ) , o f (- x ) y g ( x ) . ^[A]   Para funciones de valores complejos, el operador de correlación cruzada es el adjunto${\displaystyle f\star g}$ del operador de convolución.

La convolución tiene aplicaciones que incluyen probabilidad , estadística , acústica , espectroscopia , procesamiento de señales y procesamiento de imágenes , ingeniería , física , visión por computadora y ecuaciones diferenciales . ^[1]

La convolución se puede definir para funciones en el espacio euclidiano y otros grupos . ^{[ cita requerida ]} Por ejemplo, las funciones periódicas , como la transformada de Fourier de tiempo discreto , se pueden definir en un círculo y convolucionar mediante convolución periódica . (Consulte la fila 18 en DTFT § Propiedades ). Se puede definir una convolución discreta para funciones en el conjunto de números enteros .

Las generalizaciones de convolución tienen aplicaciones en el campo del análisis numérico y álgebra lineal numérica , y en el diseño e implementación de filtros de respuesta de impulso finitos en el procesamiento de señales. ^{[ cita requerida ]}

Calcular la inversa de la operación de convolución se conoce como deconvolución .

Definición

La convolución de f y g se escribe f * g , que denota el operador con el símbolo * . ^[B] Se define como la integral del producto de las dos funciones después de que una se invierte y se desplaza. Como tal, es un tipo particular de transformación integral :

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau .}$

Una definición equivalente es (ver conmutatividad ):

${\displaystyle (f*g)(t):=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau .}$

Si bien el símbolo t se usa anteriormente, no es necesario que represente el dominio del tiempo. Pero en ese contexto, la fórmula de convolución se puede describir como el área bajo la función f ( τ ) ponderada por la función g (- τ ) desplazada por la cantidad t . A medida que t cambia, la función de ponderación g ( t - τ ) enfatiza diferentes partes de la función de entrada f ( τ ) .

Para las funciones f , g admitidas solo en [0, ∞) (es decir, cero para argumentos negativos), los límites de integración se pueden truncar, lo que da como resultado:

${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \quad \ {\text{for }}f,g:[0,\infty )\to \mathbb {R} .}$

Para la formulación multidimensional de la convolución, consulte el dominio de definición (a continuación).

Notación

Una convención de notación de ingeniería común es: ^[2]

${\displaystyle f(t)*g(t)\mathrel {:=} \underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } _{(f*g)(t)},}$

que debe interpretarse con cuidado para evitar confusiones. Por ejemplo, f ( t ) ∗ g ( t - t ₀ ) es equivalente a ( f ∗ g ) ( t - t ₀ ) , pero f ( t - t ₀ ) ∗ g ( t - t ₀ ) es de hecho equivalente hasta ( f ∗ g ) ( t - 2 t ₀ ) . ^[3]

Derivaciones

La convolución describe la salida (en términos de la entrada) de una clase importante de operaciones conocidas como invariantes en el tiempo lineal (LTI). Consulte la teoría del sistema LTI para obtener una derivación de la convolución como resultado de las restricciones LTI. En términos de las transformadas de Fourier de la entrada y salida de una operación LTI, no se crean nuevos componentes de frecuencia. Los existentes solo se modifican (amplitud y / o fase). En otras palabras, la transformada de salida es el producto puntual de la transformada de entrada con una tercera transformada (conocida como función de transferencia ). Ver teorema de convoluciónpara una derivación de esa propiedad de convolución. Por el contrario, la convolución se puede derivar como la transformada de Fourier inversa del producto puntual de dos transformadas de Fourier.

Explicación visual

Exprese cada función en términos de una variable ficticia ${\displaystyle \tau .}$ Refleja una de las funciones: →${\displaystyle g(\tau )}$${\displaystyle g(-\tau ).}$ Agregue un desplazamiento de tiempo, t , que permite deslizarse a lo largo del eje-.${\displaystyle g(t-\tau )}$${\displaystyle \tau }$ Empiece t en −∞ y deslícelo hasta + ∞ . Dondequiera que las dos funciones se crucen, encuentre la integral de su producto. En otras palabras, en el tiempo t , calcule el área bajo la función ponderada por la función de ponderación${\displaystyle f(\tau )}$${\displaystyle g(t-\tau ).}$ La forma de onda resultante (no se muestra aquí) es la convolución de las funciones f y g . Si f ( t ) es un impulso unitario , el resultado de este proceso es simplemente g ( t ) . Formalmente: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\tau )g(t-\tau )\,d\tau =g(t)}$
En este ejemplo, el "pulso" de color rojo es una función par, por lo que la convolución es equivalente a la correlación. Una instantánea de esta "película" muestra funciones y (en azul) para algún valor de parámetro que se define arbitrariamente como la distancia desde el eje al centro del pulso rojo. La cantidad de amarillo es el área del producto calculada por la integral de convolución / correlación. La película se crea cambiando y volviendo a calcular continuamente la integral. El resultado (que se muestra en negro) es una función de, pero se representa en el mismo eje que por conveniencia y comparación.${\displaystyle \ g(\tau ),}$ ${\displaystyle (\ g(-\tau )=g(\tau )\ ),}$${\displaystyle g(t-\tau )}$${\displaystyle f(\tau )}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle \tau =0}$${\displaystyle f(\tau )\cdot g(t-\tau ),}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t,}$${\displaystyle \tau ,}$
En esta representación, podría representar la respuesta de un circuito RC a un pulso estrecho que ocurre en En otras palabras, si el resultado de la convolución es justo Pero cuando es el pulso más ancho (en rojo), la respuesta es una versión "manchada" de Comienza en porque lo definimos como la distancia desde el eje hasta el centro del pulso ancho (en lugar del borde de ataque).${\displaystyle f(\tau )}$${\displaystyle \tau =0.}$${\displaystyle g(\tau )=\delta (\tau ),}$${\displaystyle f(t).}$${\displaystyle g(\tau )}$${\displaystyle f(t).}$${\displaystyle t=-0.5,}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \tau =0}$

Desarrollos historicos

Uno de los primeros usos de la integral de convolución apareció en la derivación de D'Alembert del teorema de Taylor en Recherches sur différents points importants du système du monde, publicado en 1754. ^[4]

Además, una expresión del tipo:

${\displaystyle \int f(u)\cdot g(x-u)\,du}$

Sylvestre François Lacroix lo utiliza en la página 505 de su libro titulado Tratado sobre diferencias y series , que es el último de 3 volúmenes de la serie enciclopédica: Traité du calcul différentiel et du calcul intégral , Chez Courcier, París, 1797-1800. ^[5] Poco después, las operaciones de convolución aparecen en las obras de Pierre Simon Laplace , Jean-Baptiste Joseph Fourier , Siméon Denis Poisson y otros. El término en sí no se utilizó ampliamente hasta las décadas de 1950 o 1960. Antes de eso, a veces se lo conocía como Faltung (que significa plegado en alemán ), producto de composición, Integrante de superposición , y la integrante de Carson . ^[6] Sin embargo, aparece ya en 1903, aunque la definición es bastante desconocida en usos más antiguos. ^{[7] [8]}

La operacion:

${\displaystyle \int _{0}^{t}\varphi (s)\psi (t-s)\,ds,\quad 0\leq t<\infty ,}$

es un caso particular de productos de composición considerado por el matemático italiano Vito Volterra en 1913. ^[9]

Convolución circular

Artículo principal: convolución circular

Cuando una función g _T es periódica, con período T , entonces para funciones, f , tales que f ∗ g _T existe, la convolución también es periódica e idéntica a:

${\displaystyle (f*g_{T})(t)\equiv \int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\left[\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(\tau +kT)\right]g_{T}(t-\tau )\,d\tau ,}$

donde t ₀ es una elección arbitraria. La suma se llama suma periódica de la función f .

Cuando g _T es una suma periódica de otra función, g , entonces f ∗ g _T se conoce como una convolución circular o cíclica de f y g .

Y si la suma periódica anteriormente se sustituye por f _T , la operación se denomina un periódico convolución de f _T y g _T .

Convolución discreta

Para funciones de valores complejos f , g definidas en el conjunto Z de números enteros, la convolución discreta de f y g viene dada por: ^[10]

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[m]g[n-m],}$

o equivalentemente (ver conmutatividad ) por:

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f[n-m]g[m].}$

La convolución de dos secuencias finitas se define extendiendo las secuencias a funciones con soporte finito en el conjunto de números enteros. Cuando las secuencias son los coeficientes de dos polinomios , entonces los coeficientes del producto ordinario de los dos polinomios son la convolución de las dos secuencias originales. Esto se conoce como el producto de Cauchy de los coeficientes de las secuencias.

Así, cuando g tiene soporte finito en el conjunto (que representa, por ejemplo, una respuesta de impulso finita ), se puede usar una suma finita: ^[11]${\displaystyle \{-M,-M+1,\dots ,M-1,M\}}$

${\displaystyle (f*g)[n]=\sum _{m=-M}^{M}f[n-m]g[m].}$

Convolución discreta circular

Cuando una función g _N es periódica, con período N , entonces para funciones, f , tales que f ∗ g _N existe, la convolución también es periódica e idéntica a:

${\displaystyle (f*g_{N})[n]\equiv \sum _{m=0}^{N-1}\left(\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f}[m+kN]\right)g_{N}[n-m].}$

La suma de k se llama suma periódica de la función f .

Si g _N es una suma periódica de otra función, g , entonces f ∗ g _N se conoce como una convolución circular de f y g .

Cuando las duraciones distintas de cero de f y g están limitadas al intervalo [0, N - 1] ,  f ∗ g _{N se} reduce a estas formas comunes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(f*g_{N}\right)[n]&=\sum _{m=0}^{N-1}f[m]g_{N}[n-m]\\&=\sum _{m=0}^{n}f[m]g[n-m]+\sum _{m=n+1}^{N-1}f[m]g[N+n-m]\\[2pt]&=\sum _{m=0}^{N-1}f[m]g[(n-m)_{\bmod {N}}]\\[2pt]&\triangleq \left(f*_{N}g\right)[n]\end{aligned}}}$

( Ecuación 1 )

La notación ( f * _N g ) para cíclico convolución denota convolución sobre el grupo cíclico de enteros módulo N .

La convolución circular surge con mayor frecuencia en el contexto de convolución rápida con un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT).

Algoritmos de convolución rápida

En muchas situaciones, las convoluciones discretas se pueden convertir en convoluciones circulares de modo que se puedan utilizar transformaciones rápidas con una propiedad de convolución para implementar el cálculo. Por ejemplo, la convolución de secuencias de dígitos es la operación del núcleo en la multiplicación de números de varios dígitos, que por lo tanto se puede implementar de manera eficiente con técnicas de transformación ( Knuth 1997 , §4.3.3.C; von zur Gathen & Gerhard 2003 , §8.2).

La ecuación 1 requiere N operaciones aritméticas por valor de salida y N ² operaciones para N salidas. Eso se puede reducir significativamente con cualquiera de varios algoritmos rápidos. El procesamiento de señales digitales y otras aplicaciones suelen utilizar algoritmos de convolución rápida para reducir el costo de la convolución a lacomplejidadO ( N log N ).

Los algoritmos de convolución rápida más comunes utilizan algoritmos de transformada rápida de Fourier (FFT) mediante el teorema de convolución circular . Específicamente, la convolución circular de dos secuencias de longitud finita se encuentra tomando una FFT de cada secuencia, multiplicando puntualmente y luego realizando una FFT inversa. Las convoluciones del tipo definido anteriormente se implementan entonces de manera eficiente usando esa técnica junto con la extensión cero y / o descartando partes de la salida. Otros algoritmos de convolución rápida, como el algoritmo de Schönhage-Strassen o la transformada de Mersenne, ^[12] utilizan transformadas rápidas de Fourier en otros anillos .

Si una secuencia es mucho más larga que la otra, la extensión cero de la secuencia más corta y la convolución circular rápida no es el método más eficiente computacionalmente disponible. ^[13] En cambio, descomponer la secuencia más larga en bloques y convolucionar cada bloque permite algoritmos más rápidos, como el método de superposición-guardar y el método de superposición-adición . ^[14] Un método de convolución híbrido que combina algoritmos de bloque y FIR permite una latencia de entrada-salida cero que es útil para cálculos de convolución en tiempo real. ^[15]

Dominio de definición

La convolución de dos funciones de valor complejo en R ^d es en sí misma una función de valor complejo en R ^d , definida por:

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(y)g(x-y)\,dy=\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x-y)g(y)\,dy,}$

y está bien definido sólo si f y g decaen lo suficientemente rápido en el infinito para que exista la integral. Las condiciones para la existencia de la convolución pueden ser complicadas, ya que una explosión en g en el infinito puede compensarse fácilmente con una desintegración suficientemente rápida en f . La cuestión de la existencia, por tanto, puede implicar diferentes condiciones en f y g :

Funciones compatibles de forma compacta

Si f y g están soportados de forma compacta funciones continuas , entonces existe su convolución, y también se compacta apoyada y continua ( Hörmander 1983 , capítulo 1). De manera más general, si cualquiera de las funciones (digamos f ) está soportada de forma compacta y la otra es localmente integrable , entonces la convolución f ∗ g está bien definida y es continua.

Convolución de f y g también está bien definida cuando ambas funciones son localmente cuadrada integrable en R y soportados sobre un intervalo de la forma [ un , + ∞) (o ambos soportados sobre [-∞, una ] ).

Funciones integrables

La convolución de f y g existe si f y g son funciones integrables de Lebesgue en L 1 ( R d ) , y en este caso f ∗ g también es integrable ( Stein y Weiss 1971 , Teorema 1.3). Ésta es una consecuencia del teorema de Tonelli . Esto también es cierto para funciones en L ¹ , bajo la convolución discreta, o más generalmente para la convolución en cualquier grupo .

Asimismo, si f ∈ L ¹ ( R ^d ) y   g ∈ L ^p ( R ^d ) donde 1 ≤ p ≤ ∞ , entonces   f ∗ g ∈ L ^p ( R ^d ), y

${\displaystyle \|{f}*g\|_{p}\leq \|f\|_{1}\|g\|_{p}.}$

En el caso particular p = 1 , esto muestra que L ¹ es un álgebra de Banach bajo la convolución (y la igualdad de las dos partes se mantiene si f y g son no negativo en casi todas partes).

De manera más general, la desigualdad de Young implica que la convolución es un mapa bilineal continuo entre espacios L ^p adecuados . Específicamente, si 1 ≤ p , q , r ≤ ∞ satisfacen:

${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}+1,}$

luego

${\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq \left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in {\mathcal {L}}^{p},\ g\in {\mathcal {L}}^{q},}$

de modo que la convolución es un mapeo bilineal continuo de L ^p × L ^q a L ^r . La desigualdad de Young para la convolución también es cierta en otros contextos (grupo circular, convolución en Z ). La desigualdad anterior no es aguda en la línea real: cuando 1 < p , q , r <∞ , existe una constante B _{p , q} <1 tal que:

${\displaystyle \left\Vert f*g\right\Vert _{r}\leq B_{p,q}\left\Vert f\right\Vert _{p}\left\Vert g\right\Vert _{q},\quad f\in {\mathcal {L}}^{p},\ g\in {\mathcal {L}}^{q}.}$

El valor óptimo de B _{p , q} se descubrió en 1975 ^[16] e independientemente en 1976, ^[17] ver la desigualdad de Brascamp-Lieb .

Una estimación más fuerte es verdadera siempre que 1 < p , q , r <∞ :

${\displaystyle \|f*g\|_{r}\leq C_{p,q}\|f\|_{p}\|g\|_{q,w}}$

donde está la norma L q débil . La convolución también define un mapa continuo bilineal para , debido a la débil desigualdad de Young: ^[18]${\displaystyle \|g\|_{q,w}}$${\displaystyle L^{p,w}\times L^{q,w}\to L^{r,w}}$${\displaystyle 1<p,q,r<\infty }$

${\displaystyle \|f*g\|_{r,w}\leq C_{p,q}\|f\|_{p,w}\|g\|_{r,w}.}$

Funciones de decaimiento rápido

Además de las funciones de soporte compacto y las funciones integrables, también se pueden convolucionar funciones que tienen un decaimiento suficientemente rápido en el infinito. Una característica importante de la convolución es que si f y g decaen rápidamente, entonces f ∗ g también decae rápidamente. En particular, si f y g son funciones rápidamente decrecientes , entonces también lo es la convolución f ∗ g . Combinado con el hecho de que la convolución conmuta con la diferenciación (ver #Propiedades ), se deduce que la clase de funciones de Schwartz está cerrada bajo convolución ( Stein & Weiss 1971, Teorema 3.3).

Distribuciones

Artículo principal: Distribución (matemáticas)

En algunas circunstancias, es posible definir la convolución de una función con una distribución o de dos distribuciones. Si f es una función con soporte compacto y g es una distribución, entonces f ∗ g es una función suave definida por una fórmula de distribución análoga a

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}{f}(y)g(x-y)\,dy.}$

De manera más general, es posible ampliar la definición de convolución de una manera única de modo que la ley asociativa

${\displaystyle f*(g*\varphi )=(f*g)*\varphi }$

sigue siendo válido en el caso en el que f es una distribución yg una distribución con soporte compacto ( Hörmander 1983 , §4.2).

Medidas

La convolución de dos medidas de Borel cualesquiera μ y ν de variación acotada es la medida definida por ( Rudin 1962 )${\displaystyle \mu *\nu }$

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,d(\mu *\nu )(x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x+y)\,d\mu (x)\,d\nu (y).}$

En particular,

${\displaystyle (\mu *\nu )(A)=\int _{\mathbf {R} ^{d}\times \mathbf {R} ^{d}}1_{A}(x+y)\,d(\mu \times \nu )(x,y),}$

donde es un conjunto medible y es la función indicadora de .${\displaystyle A\subset \mathbf {R} ^{d}}$${\displaystyle 1_{A}}$${\displaystyle A}$

Esto concuerda con la convolución definida anteriormente cuando μ y ν se consideran distribuciones, así como la convolución de las funciones L ¹ cuando μ y ν son absolutamente continuas con respecto a la medida de Lebesgue.

La convolución de medidas también satisface la siguiente versión de la desigualdad de Young

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \|\mu \|\|\nu \|}$

donde la norma es la variación total de una medida. Debido a que el espacio de medidas de variación limitada es un espacio de Banach , la convolución de medidas se puede tratar con métodos estándar de análisis funcional que pueden no aplicarse para la convolución de distribuciones.

Propiedades

Propiedades algebraicas

Ver también: álgebra de convolución

La convolución define un producto en el espacio lineal de funciones integrables. Este producto satisface las siguientes propiedades algebraicas, que formalmente significan que el espacio de funciones integrables con el producto dado por convolución es un álgebra asociativa conmutativa sin identidad ( Strichartz 1994 , §3.3). Otros espacios lineales de funciones, como el espacio de funciones continuas de soporte compacto, se cierran bajo la convolución, y así también forman álgebras asociativas conmutativas.

Conmutatividad

$${\displaystyle f*g=g*f}$$

Prueba: Por definición:

$${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$$

A continuación se cambia la variable de integración al resultado.${\displaystyle u=t-\tau }$

Asociatividad

$${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h}$$

Demostración: Esto se deriva del uso del teorema de Fubini (es decir, las integrales dobles se pueden evaluar como integrales iteradas en cualquier orden).

Distributividad

$${\displaystyle f*(g+h)=(f*g)+(f*h)}$$

Prueba: Esto se sigue de la linealidad de la integral.

Asociatividad con multiplicación escalar

$${\displaystyle a(f*g)=(af)*g}$$

para cualquier número real (o complejo) .${\displaystyle a}$

Identidad multiplicativa

Ningún álgebra de funciones posee una identidad para la convolución. La falta de identidad no suele ser un inconveniente importante, ya que la mayoría de las colecciones de funciones en las que se realiza la convolución se pueden convolucionar con una distribución delta (un impulso unitario, centrado en cero) o, al menos (como es el caso de L ¹ ) admitir aproximaciones a la identidad . Sin embargo, el espacio lineal de distribuciones soportadas de forma compacta admite una identidad bajo la convolución. Específicamente,

$${\displaystyle f*\delta =f}$$

donde δ es la distribución delta.

Elemento inverso

Algunas distribuciones S tienen un elemento inverso S ⁻¹ para la convolución que luego debe satisfacer

$${\displaystyle S^{-1}*S=\delta }$$

a partir de la cual se puede obtener una fórmula explícita para S ⁻¹ .

El conjunto de distribuciones invertibles forma un grupo abeliano bajo la convolución.

Conjugación compleja

${\displaystyle {\overline {f*g}}={\overline {f}}*{\overline {g}}}$

Relación con la diferenciación

$${\displaystyle (f*g)'=f'*g=f*g'}$$

Prueba:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*g)'&={\frac {d}{dt}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau ){\frac {\partial }{\partial t}}g(t-\tau )\,d\tau \\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g'(t-\tau )\,d\tau =f*g'.\end{aligned}}}$$

Relación con la integración

Si y luego${\textstyle F(t)=\int _{-\infty }^{t}f(\tau )d\tau ,}$${\textstyle G(t)=\int _{-\infty }^{t}g(\tau )\,d\tau ,}$

$${\displaystyle (F*g)(t)=(f*G)(t)=\int _{-\infty }^{t}(f*g)(\tau )\,d\tau .}$$

Integración

Si f y g son funciones integrables, entonces la integral de su convolución en todo el espacio se obtiene simplemente como el producto de sus integrales: ^[19]

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{d}}(f*g)(x)\,dx=\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}f(x)\,dx\right)\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}}g(x)\,dx\right).}$

Esto se sigue del teorema de Fubini . El mismo resultado es válido si sólo se supone que f y g son funciones mensurables no negativas, según el teorema de Tonelli .

Diferenciación

En el caso de una variable,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g=f*{\frac {dg}{dx}}}$

donde d / dx es la derivada . De manera más general, en el caso de funciones de varias variables, se cumple una fórmula análoga con la derivada parcial :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}(f*g)={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}*g=f*{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}.}$

Una consecuencia particular de esto es que la convolución se puede ver como un "alisar" operación: la convolución de f y g es diferenciable tantas veces como f y g están en total.

Estas identidades se mantienen bajo la condición precisa de que f y g son absolutamente integrables y al menos una de ellas tiene una derivada débil absolutamente integrable (L ¹ ), como consecuencia de la desigualdad de convolución de Young . Por ejemplo, cuando f es continuamente diferenciable con soporte compacto, yg es una función arbitraria localmente integrable,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f*g)={\frac {df}{dx}}*g.}$

Estas identidades también se mantienen mucho más ampliamente en el sentido de distribuciones templadas si una de f o g es una distribución templada que disminuye rápidamente , una distribución templada con soporte compacto o una función de Schwartz y la otra es una distribución templada. Por otro lado, dos funciones integrables e infinitamente diferenciables positivas pueden tener una convolución continua en ninguna parte.

En el caso discreto, el operador de diferencia D f ( n ) = f ( n + 1) - f ( n ) satisface una relación análoga:

${\displaystyle D(f*g)=(Df)*g=f*(Dg).}$

Teorema de convolución

El teorema de convolución establece que

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*g\}=k\cdot {\mathcal {F}}\{f\}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$

donde denota la transformada de Fourier de , y es una constante que depende de la normalización específica de la transformada de Fourier. Las versiones de este teorema también son válidas para la transformada de Laplace , a doble cara transformada de Laplace , transformada Z y transformada de Mellin .${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$

Ver también: el menos trivial teorema de convolución de Titchmarsh

Por otro lado, si es la matriz de transformada de Fourier , entonces${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle {\mathcal {W}}\left(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y\right)=\left({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {W}}C^{(2)}\right)(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2)}y}$,

donde es producto de división de caras , ^{[20] [21] [22] [23] [24]} denota producto de Kronecker , denota producto de Hadamard (este resultado es una evolución de las propiedades del boceto de recuento ^[25] ).${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \circ }$

Equivariancia traslacional

La convolución conmuta con las traducciones, lo que significa que

${\displaystyle \tau _{x}(f*g)=(\tau _{x}f)*g=f*(\tau _{x}g)}$

donde τ _x f es la traslación de la función f por x definida por

${\displaystyle (\tau _{x}f)(y)=f(y-x).}$

Si f es una función de Schwartz , entonces τ _x f es la convolución con una función delta de Dirac traducida τ _x f = f ∗ τ _x δ . Entonces, la invariancia de traducción de la convolución de las funciones de Schwartz es una consecuencia de la asociatividad de la convolución.

Además, bajo ciertas condiciones, la convolución es la operación invariante de traducción más general. Hablando informalmente, lo siguiente es válido

Suponga que S es un operador lineal acotado que actúa sobre funciones que conmuta con traslaciones: S ( τ _x f ) = τ _x ( Sf ) para todo x . Entonces S se da como convolución con una función (o distribución) g _S ; eso es Sf = g _S ∗ f .

Por tanto, algunas operaciones invariantes de traducción se pueden representar como convolución. Las convoluciones juegan un papel importante en el estudio de sistemas invariantes en el tiempo , y especialmente en la teoría de sistemas LTI . La representación de la función g _S es la respuesta de impulso de la transformación S .

Una versión más precisa del teorema citado anteriormente requiere especificar la clase de funciones en las que se define la convolución, y también requiere suponer además que S debe ser un operador lineal continuo con respecto a la topología apropiada . Se sabe, por ejemplo, que todo operador lineal continuo invariante de traslación continua en L ¹ es la convolución con una medida de Borel finita . De manera más general, cada operador lineal continuo invariante de traducción continua en L ^p para 1 ≤ p <∞ es la convolución con una distribución templada cuya transformada de Fourierestá ligado. Es decir, todos están dados por multiplicadores de Fourier acotados .

Convoluciones en grupos

Si G es un grupo adecuado dotado de una medida λ, y si f y g son funciones integrables reales o de valor complejo en G , entonces podemos definir su convolución por

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(y)g\left(y^{-1}x\right)\,d\lambda (y).}$

No es conmutativo en general. En casos típicos de interés, G es un grupo topológico de Hausdorff localmente compacto y λ es una medida de Haar (izquierda) . En ese caso, a menos que G sea unimodular , la convolución definida de esta manera no es la misma que . La preferencia de uno sobre el otro se hace de modo que la convolución con una función fija g conmuta con la traslación a la izquierda en el grupo: ${\textstyle \int f\left(xy^{-1}\right)g(y)\,d\lambda (y)}$

${\displaystyle L_{h}(f*g)=(L_{h}f)*g.}$

Además, la convención también es necesaria para mantener la coherencia con la definición de convolución de medidas que se da a continuación. Sin embargo, con una medida de Haar derecha en lugar de una izquierda, se prefiere la última integral sobre la primera.

En grupos abelianos localmente compactos , se cumple una versión del teorema de convolución : la transformada de Fourier de una convolución es el producto puntual de las transformadas de Fourier. El grupo circular T con la medida de Lebesgue es un ejemplo inmediato. Para una g fija en L ¹ ( T ), tenemos el siguiente operador familiar que actúa sobre el espacio de Hilbert L ² ( T ):

${\displaystyle T{f}(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {T} }{f}(y)g(x-y)\,dy.}$

El operador T es compacto . Un cálculo directo muestra que su adjunto T * es convolución con

${\displaystyle {\bar {g}}(-y).}$

Por la propiedad de conmutatividad citada anteriormente, T es normal : T * T = TT *. Además, T conmuta con los operadores de traducción. Considere la familia S de operadores que consta de todas estas convoluciones y los operadores de traducción. Entonces S es una familia de operadores normales que se desplazan al trabajo. De acuerdo con la teoría espectral , existe una base ortonormal { h _k } que diagonaliza simultáneamente S . Esto caracteriza las convoluciones en el círculo. Específicamente, tenemos

${\displaystyle h_{k}(x)=e^{ikx},\quad k\in \mathbb {Z} ,\;}$

que son precisamente los personajes de T . Cada convolución es un operador de multiplicación compacto en esta base. Esto puede verse como una versión del teorema de convolución discutido anteriormente.

Un ejemplo discreto es un grupo cíclico finito de orden n . Los operadores de convolución se representan aquí mediante matrices circulantes y se pueden diagonalizar mediante la transformada discreta de Fourier .

Un resultado similar es válido para los grupos compactos (no necesariamente abelianos): los coeficientes de la matriz de las representaciones unitarias de dimensión finita forman una base ortonormal en L ² según el teorema de Peter-Weyl , y un análogo del teorema de convolución sigue siendo válido, junto con muchos otros aspectos del análisis armónico que dependen de la transformada de Fourier.

Convolución de medidas

Sea G un grupo topológico (escrito multiplicativamente). Si μ y ν son medidas de Borel finitas en G , entonces su convolución μ ∗ ν se define como la medida de avance de la acción de grupo y se puede escribir como

${\displaystyle (\mu *\nu )(E)=\iint 1_{E}(xy)\,d\mu (x)\,d\nu (y)}$

para cada subconjunto medible E de G . La convolución es también una medida finita, cuya variación total satisface

${\displaystyle \|\mu *\nu \|\leq \left\|\mu \right\|\left\|\nu \right\|.}$

En el caso de que G sea localmente compacto con la medida de Haar (izquierda) λ, y μ y ν sean absolutamente continuas con respecto a a λ, de modo que cada uno tenga una función de densidad , entonces la convolución μ ∗ ν también es absolutamente continua, y su función de densidad es solo la convolución de las dos funciones de densidad separadas.

Si μ y ν son medidas de probabilidad en el grupo topológico ( R , +), entonces la convolución μ ∗ ν es la distribución de probabilidad de la suma X + Y de dos variables aleatorias independientes X e Y cuyas distribuciones respectivas son μ y ν.

Bialgebras

Sea ( X , Δ, ∇, ε , η ) una bialgebra con comultiplicación Δ, multiplicación ∇, unidad η y cuenta ε . La convolución es un producto definido en el álgebra de endomorfismo End ( X ) de la siguiente manera. Sea φ , ψ ∈ End ( X ), es decir, φ , ψ : X → X son funciones que respetan toda la estructura algebraica de X , entonces la convolución φ ∗ ψ se define como la composición

${\displaystyle X\mathrel {\xrightarrow {\Delta } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\phi \otimes \psi } } X\otimes X\mathrel {\xrightarrow {\nabla } } X.}$

La convolución aparece notablemente en la definición de álgebras de Hopf ( Kassel 1995 , §III.3). Una bialgebra es un álgebra de Hopf si y solo si tiene una antípoda: un endomorfismo S tal que

${\displaystyle S*\operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{X}*S=\eta \circ \varepsilon .}$

Aplicaciones

El desenfoque gaussiano se puede utilizar para obtener una imagen digital suave en escala de grises de una impresión de medios tonos .

La convolución y las operaciones relacionadas se encuentran en muchas aplicaciones en ciencia, ingeniería y matemáticas.

• En procesamiento de imágenes

  En el procesamiento de imágenes digitales, el filtrado convolucional juega un papel importante en muchos algoritmos importantes en la detección de bordes y procesos relacionados.

  En óptica , una fotografía desenfocada es una convolución de la imagen nítida con función de lente. El término fotográfico para esto es bokeh .

  En aplicaciones de procesamiento de imágenes como agregar desenfoque.

• En el procesamiento de datos digitales

  En química analítica , los filtros de suavizado Savitzky-Golay se utilizan para el análisis de datos espectroscópicos. Pueden mejorar la relación señal-ruido con una distorsión mínima de los espectros.

  En estadística , una media móvil ponderada es una convolución.

• En acústica , la reverberación es la convolución del sonido original con ecos de objetos que rodean la fuente de sonido.

  En el procesamiento de señales digitales, la convolución se utiliza para mapear la respuesta al impulso de una habitación real en una señal de audio digital.

  En la música electrónica, la convolución es la imposición de una estructura espectral o rítmica a un sonido. A menudo, esta envolvente o estructura se toma de otro sonido. La convolución de dos señales es el filtrado de una a través de la otra. ^[26]

• En ingeniería eléctrica , la convolución de una función (la señal de entrada ) con una segunda función (la respuesta al impulso) da la salida de un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI). En cualquier momento dado, la salida es un efecto acumulado de todos los valores anteriores de la función de entrada, y los valores más recientes suelen tener la mayor influencia (expresados ​​como un factor multiplicativo). La función de respuesta al impulso proporciona ese factor en función del tiempo transcurrido desde que se produjo cada valor de entrada.
• En física , dondequiera que haya un sistema lineal con un " principio de superposición ", aparece una operación de convolución. Por ejemplo, en espectroscopía , el ensanchamiento de línea debido al efecto Doppler por sí solo da una forma de línea espectral gaussiana y el ensanchamiento de colisión solo da una forma de línea de Lorentz . Cuando ambos efectos están operativos, la forma de la línea es una convolución de Gaussiana y Lorentziana, una función de Voigt .

  En la espectroscopia de fluorescencia resuelta en el tiempo , la señal de excitación se puede tratar como una cadena de pulsos delta y la fluorescencia medida es una suma de las desintegraciones exponenciales de cada pulso delta.

  En dinámica de fluidos computacional , el modelo de turbulencia de simulación de remolinos grandes (LES) utiliza la operación de convolución para reducir el rango de escalas de longitud necesarias en el cálculo, lo que reduce el costo computacional.

• En la teoría de la probabilidad , la distribución de probabilidad de la suma de dos variables aleatorias independientes es la convolución de sus distribuciones individuales.

  En la estimación de la densidad del kernel , se estima una distribución a partir de puntos de muestra mediante convolución con un kernel, como un gaussiano isotrópico. ^[27]

• En los sistemas de planificación del tratamiento de radioterapia, la mayor parte de todos los códigos de cálculo modernos aplica un algoritmo de convolución-superposición . ^{[ aclaración necesaria ]}
• En confiabilidad estructural, el índice de confiabilidad se puede definir basándose en el teorema de convolución.

  La definición de índice de confiabilidad para funciones de estado límite con distribuciones no normales puede establecerse correspondiente a la función de distribución conjunta . De hecho, la función de distribución conjunta se puede obtener utilizando la teoría de convolución. ^[28]

• Las redes neuronales convolucionales aplican múltiples núcleos de convolución en cascada con aplicaciones en visión artificial e inteligencia artificial . ^{[29] [30]} Aunque en la mayoría de los casos se trata de correlaciones cruzadas en lugar de convoluciones. ^[31]
• En hidrodinámica de partículas suavizadas , las simulaciones de dinámica de fluidos se calculan utilizando partículas, cada una con granos circundantes. Para cualquier partícula dada , alguna cantidad física se calcula como una convolución de con una función de ponderación, donde denota los vecinos de la partícula : aquellos que se encuentran dentro de su núcleo. La convolución se aproxima como una suma de cada vecino. ^[32]${\displaystyle i}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$

Ver también

• Procesamiento de señales analógicas
• Matriz circulante
• Convolución para respuestas ópticas de haz ancho en medios de dispersión
• Poder de convolución
• Deconvolución
• Convolución de Dirichlet
• Promedio de señal generalizado
• Jan Mikusinski
• Lista de convoluciones de distribuciones de probabilidad
• Teoría del sistema LTI # Respuesta de impulso y convolución
• Convolución discreta multidimensional
• Correlación escalada
• Teorema de convolución de Titchmarsh
• Matriz de Toeplitz (las convoluciones se pueden considerar una operación de matriz de Toeplitz donde cada fila es una copia desplazada del núcleo de convolución)

Notas

1. Las razones de la reflexión incluyen:
   • Es necesario implementar el equivalente del producto puntual de las transformadas de Fourier de f y g .
   • Cuando la convolución se ve como un promedio ponderado móvil , la función de ponderación, g (- x ) , a menudo se especifica en términos de otra función, g ( x ) , llamada respuesta al impulso de un sistema lineal invariante en el tiempo .
2. El símbolo U + 2217 ∗ ASTERISK OPERATOR es diferente de U + 002A * ASTERISK , que se usa a menudo para denotar conjugación compleja. Ver Asterisk § Tipografía matemática .

Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

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Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la convolución .

• Usos más antiguos: la entrada sobre convolución tiene información histórica.
• Convolución , en The Data Analysis BriefBook
• http://www.jhu.edu/~signals/convolve/index.html Applet Java de convolución visual
• http://www.jhu.edu/~signals/discreteconv2/index.html Applet Java de convolución visual para funciones de tiempo discreto
• https://get-the-solution.net/projects/discret-convolution calculadora en línea discret-convolution
• https://lpsa.swarthmore.edu/Convolution/CI.html Demostración y visualización de convolución en javascript
• https://phiresky.github.io/convolution-demo/ Otra demostración de convolución en javascript
• Conferencias sobre procesamiento de imágenes: una colección de 18 conferencias en formato pdf de la Universidad de Vanderbilt. La lección 7 trata sobre la convolución bidimensional. , por Alan Peters
• * https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing
• Tutorial interactivo de operación de la máscara del kernel de convolución
• Convolución en MathWorld
• Procesador de respuesta de impulso Freeverb3 : procesador de respuesta de impulso de latencia cero de código abierto con complementos VST
• Demostración flash interactiva de la Universidad de Stanford CS 178 que muestra cómo funciona la convolución espacial.
• Una conferencia en video sobre el tema de la convolución impartida por Salman Khan
• Ejemplo de convolución FFT para reconocimiento de patrones (procesamiento de imágenes)
• Guía intuitiva para la convolución Una entrada de blog sobre una interpretación intuitiva de la convolución.