Notación de poliedro de Conway
En geometría , la notación de poliedros de Conway , inventada por John Horton Conway y promovida por George W. Hart , se usa para describir poliedros basados en un poliedro semilla modificado por varias operaciones de prefijo . [1] [2]
Conway y Hart extendieron la idea de usar operadores, como el truncamiento definido por Kepler , para construir poliedros relacionados de la misma simetría. Por ejemplo, tC representa un cubo truncado , y taC , analizado como t ( aC ) , es ( topológicamente ) un cuboctaedro truncado . El operador más simple intercambia elementos de vértice y cara ; por ejemplo, un cubo dual es un octaedro : dC = O. Aplicados en serie, estos operadores permiten muchaspoliedros de orden superior a generar. Conway definió los operadores a (ambo), b ( bisel ), d ( dual ), e (expandir), g (giro), j (unir), k (kis), m (meta), o (orto), s ( desaire ) y t ( truncar ), mientras que Hart agregó r ( reflejar ) y p (hélice). [3] Las implementaciones posteriores nombraron operadores adicionales, a veces denominados operadores "extendidos".[4] [5] Las operaciones básicas de Conway son suficientes para generar los sólidos de Arquímedes y Catalán a partir de los sólidos platónicos . Algunas operaciones básicas se pueden hacer como compuestos de otras: por ejemplo, ambón aplicado dos veces es la operación de expansión ( aa = e ), mientras que un truncamiento después de ambón produce bisel ( ta = b ).
Los poliedros se pueden estudiar topológicamente, en términos de cómo se conectan entre sí sus vértices, aristas y caras, o geométricamente, en términos de la ubicación de esos elementos en el espacio. Diferentes implementaciones de estos operadores pueden crear poliedros que son geométricamente diferentes pero topológicamente equivalentes. Estos poliedros topológicamente equivalentes se pueden considerar como una de las muchas incrustaciones de un gráfico poliédrico en la esfera. A menos que se especifique lo contrario, en este artículo (y en la literatura sobre los operadores de Conway en general) la topología es la principal preocupación. Los poliedros con género 0 (es decir, topológicamente equivalentes a una esfera) a menudo se ponen en forma canónica para evitar la ambigüedad.
En la notación de Conway, las operaciones sobre poliedros se aplican como funciones, de derecha a izquierda. Por ejemplo, un cuboctaedro es un cubo ambón , [6] es decir , y un cuboctaedro truncado es . La aplicación repetida de un operador se puede denotar con un exponente: j 2 = o . En general, los operadores de Conway no son conmutativos .
Los operadores individuales se pueden visualizar en términos de dominios fundamentales (o cámaras), como se muestra a continuación. Cada triángulo rectángulo es un dominio fundamental . Cada cámara blanca es una versión rotada de las demás, al igual que cada cámara de color. Para los operadores aquirales , las cámaras coloreadas son un reflejo de las cámaras blancas y todas son transitivas. En términos de grupo, los operadores aquirales corresponden a grupos diédricos D n donde n es el número de lados de una cara, mientras que los operadores quirales corresponden a grupos cíclicos C n que carecen de la simetría reflexiva de los grupos diédricos. Aquiral y quirallos operadores también se denominan operaciones locales de preservación de la simetría (LSP) y operaciones locales que preservan las simetrías que preservan la orientación (LOPSP), respectivamente. [7] [8] [9] Los LSP deben entenderse como operaciones locales que preservan la simetría, no operaciones que preservan la simetría local. Nuevamente, estas son simetrías en un sentido topológico, no en un sentido geométrico: los ángulos exactos y las longitudes de los bordes pueden diferir.
Hart introdujo el operador de reflexión r , que da la imagen especular del poliedro. [6] Esto no es estrictamente un LOPSP, ya que no conserva la orientación: la invierte, intercambiando cámaras blancas y rojas. r no tiene ningún efecto sobre los poliedros aquirales aparte de la orientación, y rr = S devuelve el poliedro original. Se puede usar una línea superior para indicar la otra forma quiral de un operador: s = rsr .
