Cubo chato o cuboctaedro chato | Dodecaedro chato o icosidodecaedro chato |
En geometría , un desaire es una operación aplicada a un poliedro. El término se origina en los nombres de Kepler de dos sólidos de Arquímedes , para el cubo chato (cubus simus) y el dodecaedro chato ( dodecaedron simum). [1] En general, los desaires tienen simetría quiral con dos formas: con orientación en sentido horario o antihorario. Por los nombres de Kepler, un desaire puede verse como una expansión de un poliedro regular: separando las caras, girándolas alrededor de sus centros, agregando nuevos polígonos centrados en los vértices originales y agregando pares de triángulos que encajen entre los bordes originales.
Coxeter generalizó la terminología , con una definición ligeramente diferente, para un conjunto más amplio de politopos uniformes .
Conway desaires
John Conway exploró los operadores de poliedros generalizados, definiendo lo que ahora se llama notación de poliedros de Conway , que se puede aplicar a poliedros y teselaciones. Conway llama a la operación de Coxeter un semi-desaire . [2]
En esta notación, snub se define por los operadores duales y giroscópicos , como s = dg , y equivale a una alternancia de un truncamiento de un operador ambón . La notación de Conway evita la operación de alternancia (mitad) de Coxeter, ya que solo se aplica a poliedros con caras pares.
Formas para desairar | Poliedros | Azulejos euclidianos | Azulejos hiperbólicos | |||
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Nombres | Tetraedro | Cubo u octaedro | Icosaedro o dodecaedro | Azulejos cuadrados | Baldosas hexagonales o baldosas triangulares | Baldosas heptagonal o baldosas triangulares Order-7 |
Imagenes | ||||||
Notación de Conway de forma rechazada | S t | sC = sO | sI = sD | sQ | sH = sΔ | sΔ 7 |
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En 4 dimensiones, Conway sugiere que el snub de 24 celdas debería llamarse semi-snub de 24 celdas porque, a diferencia de los poliedros snub tridimensionales que son formas omnitruncadas alternas, no es un 24 celdas omnitruncadas alternas . En cambio, es en realidad un truncado alterno de 24 celdas . [3]
Los desaires de Coxeter, regulares y cuasirregulares
Semilla | R rectificado | T truncado | H alternado | |
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Nombre | Cubo | Cuboctaedro Cubo rectificado | Cuboctaedro truncado Cubo cantitruncado | Snub cuboctaedro Snub rectificado cubo |
Notación de Conway | C | CO rC | t CO trC o TRO | htCO = sCO htrC = srC |
Símbolo de Schläfli | {4,3} | o r {4,3} | o tr {4,3} | htr {4,3} = sr {4,3} |
Diagrama de Coxeter | o | o | o | |
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La terminología de desaire de Coxeter es ligeramente diferente, lo que significa un truncamiento alterno , derivando el cubo de desaire como un cuboctaedro de desaire , y el dodecaedro de desaire como un icosidodecaedro de desaire . Esta definición se utiliza en la denominación de dos sólidos de Johnson : el difenoide chato y el antiprisma cuadrado chapado , y de politopos de dimensiones superiores, como el chato 4-dimensional de 24 celdas , con el símbolo de Schläfli extendido s {3,4,3} y diagrama de Coxeter.
Un poliedro regular (o mosaico), con el símbolo de Schläfliy diagrama de Coxeter , tiene truncamiento definido como, y , y tiene un desaire definido como un truncamiento alternativo, y . Esta construcción alterna requiere que q sea uniforme.
Un poliedro cuasirregular , con el símbolo de Schläflio r { p , q } y diagrama de Coxeter o , tiene un truncamiento cuasirregular definido comoo tr { p , q } y o , y tiene un desaire cuasirregular definido como una rectificación truncada alternao htr { p , q } = sr { p , q } y o .
Por ejemplo, el cubo chato de Kepler se deriva del cuboctaedro cuasirregular , con un símbolo de Schläfli vertical y diagrama de Coxeter , por lo que se llama más explícitamente un cuboctaedro chato , expresado por un símbolo vertical de Schläfliy diagrama de Coxeter . El cuboctaedro chato es la alternancia del cuboctaedro truncado ,, y .
Los poliedros regulares con vértices de orden par también se pueden rechazar como truncamientos alternos, como el octaedro desaire , como, , es la alternancia del octaedro truncado ,, y . El octaedro chato representa el pseudoicosaedro , un icosaedro regular con simetría piritoédrica .
El tetratetraedro chato , como, y , es la alternancia de la forma de simetría tetraédrica truncada, , y .
Semilla | T truncado | H alternado | |
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Nombre | Octaedro | truncada octaedro | Octaedro chato |
Notación de Conway | O | a | htO o sO |
Símbolo de Schläfli | {3,4} | t {3,4} | ht {3,4} = s {3,4} |
Diagrama de Coxeter | |||
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La operación de desaire de Coxeter también permite definir n- antiprismas como o , basado en n-prismas o , tiempo es un n- hosoedro regular , un poliedro degenerado, pero un mosaico válido en la esfera con caras en forma de digón o luna .
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Diagramas de Coxeter | ... ... | |||||||
Símbolos de Schläfli | s {2,4} | s {2,6} | s {2,8} | s {2,10} | s {2,12} | s {2,14} | s {2,16} ... | s {2, ∞} |
sr {2,2} | sr {2,3} | sr {2,4} | sr {2,5} | sr {2,6} | sr {2,7} | sr {2,8} ... ... | sr {2, ∞} | |
Notación de Conway | A2 = T | A3 = O | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 ... | A∞ |
El mismo proceso se aplica a las baldosas chatas:
Revestimiento triangular Δ | Baldosas triangulares truncadas tΔ | Baldosas triangulares acodadas htΔ = sΔ |
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{3,6} | t {3,6} | altura {3,6} = s {3,6} |
Ejemplos de
Espacio | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico | |||||
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Imagen | ||||||||
Diagrama de Coxeter | ... | |||||||
Símbolo de Schläfli | s {2,4} | s {3,4} | s {4,4} | s {5,4} | s {6,4} | s {7,4} | s {8,4} | ... s {∞, 4} |
Notación de Conway | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico | |||||
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Imagen | ||||||||
Diagrama de Coxeter | ... | |||||||
Símbolo de Schläfli | sr {2,3} | sr {3,3} | sr {4,3} | sr {5,3} | sr {6,3} | sr {7,3} | sr {8,3} | ... sr {∞, 3} |
Notación de Conway | A3 | S t | sC o sO | sD o sI | sΗ o sΔ |
Espacio | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico | |||||
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Imagen | ||||||||
Diagrama de Coxeter | ... | |||||||
Símbolo de Schläfli | sr {2,4} | sr {3,4} | sr {4,4} | sr {5,4} | sr {6,4} | sr {7,4} | sr {8,4} | ... sr {∞, 4} |
Notación de Conway | A4 | sC o sO | sQ |
Poliedros chatos no uniformes
Los poliedros no uniformes con todos los vértices de cenefa uniforme se pueden rechazar, incluidos algunos conjuntos infinitos; por ejemplo:
Bipirámide cuadrada chata |
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Bipirámide hexagonal chata |
Imagen | ... | |||
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Símbolos de Schläfli | ss {2,4} | ss {2,6} | ss {2,8} | ss {2,10} ... |
ssr {2,2} | ssr {2,3} | ssr {2,4} | ssr {2,5} ... |
Poliedros-estrella desaire uniforme de Coxeter
Los poliedros de estrella chata están construidos por su triángulo de Schwarz (pqr), con ángulos de espejo ordenados racionales, y todos los espejos activos y alternos.
s {3 / 2,3 / 2} | s {(3,3,5 / 2)} | sr {5,5 / 2} | s {(3,5,5 / 3)} | sr {5 / 2,3} |
sr {5 / 3,5} | s {(5 / 2,5 / 3,3)} | sr {5 / 3,3} | s {(3 / 2,3 / 2,5 / 2)} | s {3 / 2,5 / 3} |
Politopos y panales desatados de dimensiones superiores de Coxeter
En general, un policoron regular con el símbolo de Schläfli y diagrama de Coxeter , tiene un desaire con el símbolo de Schläfli extendido , y .
Un policoron rectificado = r {p, q, r} y tiene símbolo de desaire = sr {p, q, r} y.
Ejemplos de
Solo hay un desaire convexo uniforme en 4 dimensiones, el desaire de 24 celdas . La celda normal de 24 tiene el símbolo Schläfli ,y diagrama de Coxeter , y el desaire de 24 celdas está representado por , Diagrama de Coxeter . También tiene un índice 6 construcciones de menor simetría comoo s {3 1,1,1 } y, y una subsimetría de índice 3 como o sr {3,3,4}, y o .
El nido de abeja de 24 celdas chato relacionado se puede ver como un o s {3,4,3,3}, y y menor simetría o sr {3,3,4,3} y o , y la forma de simetría más baja como o s {3 1,1,1,1 } y.
Un panal euclidiano es un panal de losa hexagonal alternado , s {2,6,3}, y o sr {2,3,6}, y o sr {2,3 [3] }, y.
Otro panal euclidiano (scaliforme) es un panal de losa cuadrada alternada , s {2,4,4}, yo sr {2,4 1,1 } y:
El único nido de abeja uniforme hiperbólico chato uniforme es el alveolar hexagonal chapado en mosaico , como s {3,6,3} y, que también se puede construir como un panal de mosaico hexagonal alternado , h {6,3,3},. También se construye como s {3 [3,3] } y.
Otro panal hiperbólico (scaliforme) es un panal octaédrico de orden 4 chato, s {3,4,4}, y.
Ver también
- Poliedro chato
Semilla | Truncamiento | Rectificación | Bitruncation | Doble | Expansión | Omnitruncación | Alternancias | ||
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t 0 {p, q} {p, q} | t 01 {p, q} t {p, q} | t 1 {p, q} r {p, q} | t 12 {p, q} 2t {p, q} | t 2 {p, q} 2r {p, q} | t 02 {p, q} rr {p, q} | t 012 {p, q} tr {p, q} | ht 0 {p, q} h {q, p} | ht 12 {p, q} s {q, p} | ht 012 {p, q} sr {p, q} |
Referencias
- ↑ Kepler , Harmonices Mundi , 1619
- ^ Conway, (2008) p.287 Operación semi-desaire de Coxeter
- ^ Conway, 2008, p. 401 Polioctaedro semi-desaire de Gosset
- Coxeter, Harold Scott MacDonald ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954). "Poliedros uniformes". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias Físicas y Matemáticas . La Royal Society. 246 (916): 401–450. Código bibliográfico : 1954RSPTA.246..401C . doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 . ISSN 0080-4614 . JSTOR 91532 . Señor 0062446 . S2CID 202575183 .
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 (págs. 154-156 8.6 Truncamiento parcial o alternancia)
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] , Googlebooks [2]
- (Documento 17) Coxeter , La evolución de los diagramas de Coxeter-Dynkin , [Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233–248]
- (Documento 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Documento 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
- (Documento 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
- Coxeter , La belleza de la geometría: Doce ensayos , Publicaciones de Dover, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes)
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5
- Weisstein, Eric W. "desaire" . MathWorld .
- Richard Klitzing, desaires , facetas alternas y diagramas de Stott-Coxeter-Dynkin , simetría: cultura y ciencia, vol. 21, No 4, 329–344, (2010) [3]