En matemáticas , un sólido catalán , o dual de Arquímedes , es un poliedro dual de un sólido de Arquímedes . Hay 13 sólidos catalanes. Llevan el nombre del matemático belga Eugène Catalan , quien los describió por primera vez en 1865.
Los sólidos catalanes son todos convexos. Son transitivos de cara pero no de vértice . Esto se debe a que los sólidos duales de Arquímedes son transitivos de vértice y no transitivos de caras. Tenga en cuenta que, a diferencia de los sólidos platónicos y los sólidos de Arquímedes , las caras de los sólidos catalanes no son polígonos regulares . Sin embargo, las figuras de vértice de los sólidos catalanes son regulares y tienen ángulos diedros constantes . Al ser transitivos de cara, los sólidos catalanes son isoedros .
Además, dos de los sólidos catalanes son de borde transitivo : el dodecaedro rómbico y el triacontaedro rómbico . Estos son los duales de los dos sólidos de Arquímedes casi regulares .
Así como los prismas y antiprismas generalmente no se consideran sólidos de Arquímedes, las bipirámides y los trapezoedros generalmente no se consideran sólidos catalanes, a pesar de ser transitivos por caras.
Dos de los sólidos catalanes son quirales : el icositetraedro pentagonal y el hexecontaedro pentagonal , dual al cubo chato quiral y al dodecaedro chato . Cada uno de estos viene en dos enantiomorfos . Sin contar los enantiomorfos, bipirámides y trapezoedros, hay un total de 13 sólidos catalanes.
norte | Sólido de Arquímedes | Sólido catalán |
---|---|---|
1 | tetraedro truncado | triakis tetraedro |
2 | cubo truncado | triakis octaedro |
3 | cuboctaedro truncado | disdyakis dodecaedro |
4 | octaedro truncado | tetrakis hexaedro |
5 | dodecaedro truncado | triakis icosaedro |
6 | icosidodecaedro truncado | Triacontaedro disdyakis |
7 | icosaedro truncado | pentakis dodecaedro |
8 | cuboctaedro | dodecaedro rómbico |
9 | icosidodecaedro | triacontaedro rómbico |
10 | rombicuboctaedro | icositetraedro deltoideo |
11 | rombicosidodecaedro | hexcontaedro deltoidal |
12 | cubo de desaire | icositetraedro pentagonal |
13 | dodecaedro chato | hexcontaedro pentagonal |
Simetría
Los sólidos catalanes, junto con sus sólidos duales de Arquímedes , se pueden agrupar en aquellos con simetría tetraédrica, octaédrica e icosaédrica. Tanto para la simetría octaédrica como para la icosaédrica hay seis formas. El único sólido catalán con genuina simetría tetraédrica es el triakis tetraedro (dual del tetraedro truncado ). El dodecaedro rómbico y el hexaedro tetrakis tienen simetría octaédrica, pero se pueden colorear para tener solo simetría tetraédrica. La rectificación y el desaire también existen con simetría tetraédrica, pero son platónicos en lugar de arquímedes, por lo que sus duales son platónicos en lugar de catalán. (Se muestran con fondo marrón en la siguiente tabla).
Arquímedes (platónico) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Catalán (platónico) |
Arquímedes | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
catalán |
Arquímedes | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
catalán |
Lista
Nombre (nombre doble) Nombre de Conway | Fotos | Wireframes ortogonales | Polígono de caras | Ángulos faciales (°) | Ángulo diedro (°) | Caras | Bordes | Vert | Sym. |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
triakis tetraedro ( tetraedro truncado ) "kT" | Isósceles V3.6.6 | 112.885 33.557 33.557 | 129.521 | 12 | 18 | 8 | T d | ||
dodecaedro rómbico ( cuboctaedro ) "jC" | Rombo V3.4.3.4 | 70.529 109.471 70.529 109.471 | 120 | 12 | 24 | 14 | O h | ||
triakis octaedro ( cubo truncado ) "kO" | Isósceles V3.8.8 | 117.201 31.400 31.400 | 147.350 | 24 | 36 | 14 | O h | ||
tetrakis hexaedro ( octaedro truncado ) "kC" | Isósceles V4.6.6 | 83.621 48.190 48.190 | 143.130 | 24 | 36 | 14 | O h | ||
icositetraedro deltoideo ( rombicuboctaedro ) "oC" | cometa V3.4.4.4 | 81.579 81.579 81.579 115.263 | 138.118 | 24 | 48 | 26 | O h | ||
disdyakis dodecaedro ( cuboctaedro truncado ) "mC" | Escaleno V4.6.8 | 87.202 55.025 37.773 | 155.082 | 48 | 72 | 26 | O h | ||
icositetraedro pentagonal ( cubo chato ) "gC" | Pentágono V3.3.3.3.4 | 114,812 114,812 114,812 114,812 80,752 | 136.309 | 24 | 60 | 38 | O | ||
triacontaedro rómbico ( icosidodecaedro ) "jD" | Rombo V3.5.3.5 | 63.435 116.565 63.435 116.565 | 144 | 30 | 60 | 32 | Yo h | ||
triakis icosaedro ( dodecaedro truncado ) "kI" | Isósceles V3.10.10 | 119.039 30.480 30.480 | 160.613 | 60 | 90 | 32 | Yo h | ||
pentakis dodecaedro ( icosaedro truncado ) "kD" | Isósceles V5.6.6 | 68.619 55.691 55.691 | 156.719 | 60 | 90 | 32 | Yo h | ||
hexecontaedro deltoidal ( rombicosidodecaedro ) "OD" | cometa V3.4.5.4 | 86,974 67,783 86,974 118,269 | 154.121 | 60 | 120 | 62 | Yo h | ||
disdyakis triacontaedro ( icosidodecaedro truncado ) "mD" | Escaleno V4.6.10 | 88,992 58,238 32,770 | 164.888 | 120 | 180 | 62 | Yo h | ||
hexcontaedro pentagonal ( dodecaedro chato ) "gD" | Pentágono V3.3.3.3.5 | 118.137 118.137 118.137 118.137 67.454 | 153.179 | 60 | 150 | 92 | I |
Geometría
Todos los ángulos diedros de un sólido catalán son iguales. Denotando su valor por , y denota el ángulo de la cara en los vértices donde caras se encuentran por , tenemos
- .
Esto se puede utilizar para calcular y , , ... , de , ... solo.
Caras triangulares
De los 13 sólidos catalanes, 7 tienen caras triangulares. Estos son de la forma Vp.qr, donde p, qyr toman sus valores entre 3, 4, 5, 6, 8 y 10. Los ángulos, y se puede calcular de la siguiente manera. Poner, , y pon
- .
Luego
- ,
- .
Para y las expresiones son similares, por supuesto. El ángulo diedro se puede calcular a partir de
- .
Aplicando esto, por ejemplo, al triacontaedro disdyakis (, y , por eso , y , dónde es la proporción áurea ) da y .
Caras cuadriláteras
De los 13 sólidos catalanes, 4 tienen caras cuadriláteras. Estos son de la forma Vp.qpr, donde p, qyr toman sus valores entre 3, 4 y 5. El ángulose puede calcular mediante la siguiente fórmula:
- .
De esto, , y el ángulo diedro se puede calcular fácilmente. Alternativamente, ponga, , . Luego y se puede encontrar aplicando las fórmulas para el caso triangular. El ángulose puede calcular de manera similar, por supuesto. Las caras son cometas , o, si, rombos . Aplicando esto, por ejemplo, al icositetraedro deltoidal (, y ), obtenemos .
Caras pentagonales
De los 13 sólidos catalanes, 2 tienen caras pentagonales. Estos son de la forma Vp.pppq, donde p = 3 y q = 4 o 5. El ángulose puede calcular resolviendo una ecuación de grado tres:
- .
Propiedades métricas
Por un sólido catalán dejar ser el dual con respecto a la esfera media de. Luegoes un sólido de Arquímedes con la misma esfera media. Denote la longitud de los bordes de por . Dejarser el radio de las caras de, el radio medio de y , el radio de , y el circunradio de . Entonces estas cantidades se pueden expresar en y el ángulo diedro como sigue:
- ,
- ,
- ,
- .
Estas cantidades están relacionadas por , y .
Como ejemplo, dejemos ser un cuboctaedro con longitud de borde . Luegoes un dodecaedro rómbico. Aplicar la fórmula para caras cuadriláteras con y da , por eso , , , .
Todos los vértices de de tipo acostarse sobre una esfera con radio dada por
- ,
y de manera similar para .
Dualmente, hay una esfera que toca todas las caras de que son regulares -gons (y de manera similar para ) en su centro. El radio de esta esfera está dada por
- .
Estos dos radios están relacionados por . Continuando con el ejemplo anterior: y , lo que da , , y .
Si es un vértice de de tipo , un borde de a partir de , y el punto donde el borde toca la esfera media de , denota la distancia por . Entonces los bordes de uniendo vértices de tipo y escriba tener longitud . Estas cantidades se pueden calcular mediante
- ,
y de manera similar para . Continuando con el ejemplo anterior:, , , , por lo que los bordes del dodecaedro rómbico tienen una longitud .
Los ángulos diedros Entre -gonal y -Caras gonales de satisfacer
- .
Terminando el ejemplo del dodecaedro rómbico, el ángulo diedro del cuboctaedro está dado por .
Aplicación a otros sólidos
Todas las fórmulas de esta sección se aplican a los sólidos platónicos , y también a las bipirámides y trapezoedros con ángulos diedros iguales, porque pueden derivarse únicamente de la propiedad del ángulo diedro constante. Para el trapezoedro pentagonal , por ejemplo, con caras V3.3.5.3, obtenemos, o . Esto no es sorprendente: es posible cortar ambos ápices de tal manera que se obtenga un dodecaedro regular .
Ver también
- Lista de mosaicos uniformes Muestra mosaicos poligonales uniformes duales similares a los sólidos catalanes
- Notación de poliedro de Conway Un proceso de construcción de notación
- Sólido de Arquímedes
- Johnson sólido
Referencias
- Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (París) 41, 1-71, 1865.
- Alan Holden Formas, espacio y simetría . Nueva York: Dover, 1991.
- Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales)
- Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9)
- Anthony Pugh (1976). Poliedros: un enfoque visual . California: Universidad de California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Capítulo 4: Duales de los poliedros, prismas y antiprismas de Arquímedes
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Solidos catalanes" . MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Isohedron" . MathWorld .
- Sólidos catalanes - en Visual Polyhedra
- Duales de Arquímedes - en poliedros de realidad virtual
- Catalán interactivo sólido en Java
- Enlace de descarga de la publicación original catalana de 1865 - con hermosas figuras, formato PDF