Cuboctaedro truncado | |
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(Haga clic aquí para ver el modelo giratorio) | |
Tipo | Poliedro uniforme sólido de Arquímedes |
Elementos | F = 26, E = 72, V = 48 (χ = 2) |
Caras por lados | 12 {4} +8 {6} +6 {8} |
Notación de Conway | bC o taC |
Símbolos de Schläfli | tr {4,3} o |
t 0,1,2 {4,3} | |
Símbolo de Wythoff | 2 3 4 | |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | O h , B 3 , [4,3], (* 432), orden 48 |
Grupo de rotacion | O , [4,3] + , (432), orden 24 |
Ángulo diedro | 4-6: arccos (-√ 6/3) = 144 ° 44′08 ″ 4-8: arccos (- √ 2/3) = 135 ° 6-8: arcos (- √ 3/3) = 125 ° 15′51 ″ |
Referencias | U 11 , C 23 , W 15 |
Propiedades | Zonoedro semirregular convexo |
Caras coloreadas | 4.6.8 ( figura de vértice ) |
Disdyakis dodecaedro ( poliedro dual ) | Neto |
En geometría , el cuboctaedro truncado es un sólido de Arquímedes , nombrado por Kepler como un truncamiento de un cuboctaedro . Tiene 12 caras cuadradas , 8 caras hexagonales regulares , 6 caras octogonales regulares , 48 vértices y 72 aristas. Dado que cada una de sus caras tiene simetría puntual (equivalente, simetría rotacional de 180 ° ), el cuboctaedro truncado es un zonoedro . El cuboctaedro truncado se puede teselar con el prisma octogonal .
Nombres
El nombre cuboctaedro truncado , dado originalmente por Johannes Kepler , es engañoso: un truncamiento real de un cuboctaedro tiene rectángulos en lugar de cuadrados ; sin embargo, este poliedro no uniforme es topológicamente equivalente al sólido de Arquímedes denominado sin rigor cuboctaedro truncado. Los nombres alternativos intercambiables son:
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Existe un poliedro uniforme no convexo con un nombre similar: el gran rombicuboctaedro no convexo .
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas para los vértices de un cuboctaedro truncado que tiene una longitud de borde 2 y centrado en el origen son todas las permutaciones de:
- (± 1, ± (1 + √ 2 ), ± (1 + 2 √ 2 )).
Área y volumen
El área A y el volumen V del cuboctaedro truncado de longitud de borde a son:
Disección
El cuboctaedro truncado es el casco convexo de un rombicuboctaedro con cubos por encima de sus 12 cuadrados en dos ejes de simetría. El resto de su espacio se puede diseccionar en 6 cúpulas cuadradas debajo de los octágonos y 8 cúpulas triangulares debajo de los hexágonos.
Un cuboctaedro truncado disecado puede crear un toroide de Stewart de género 5, 7 u 11 eliminando el rombicuboctaedro central y las 6 cúpulas cuadradas, las 8 cúpulas triangulares o los 12 cubos, respectivamente. También se pueden construir muchos otros toroides de simetría inferior eliminando el rombicuboctaedro central y un subconjunto de los otros componentes de disección. Por ejemplo, quitar 4 de las cúpulas triangulares crea un toroide de género 3; si estas cúpulas se eligen apropiadamente, entonces este toroide tiene simetría tetraédrica. [4] [5]
Toroides Stewart | |||
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Género 3 | Género 5 | Género 7 | Género 11 |
Colorantes uniformes
Solo hay una coloración uniforme de las caras de este poliedro, un color para cada tipo de cara.
Existe una coloración uniforme 2, con simetría tetraédrica , con hexágonos de colores alternativos.
Proyecciones ortogonales
El cuboctaedro truncado tiene dos proyecciones ortogonales especiales en los planos de Coxeter A 2 y B 2 con simetría proyectiva [6] y [8], y se pueden construir numerosas simetrías [2] a partir de varios planos proyectados en relación con los elementos del poliedro.
Centrado por | Vértice | Borde 4-6 | Borde 4-8 | Borde 6-8 | Cara normal 4-6 |
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Imagen | |||||
Simetría proyectiva | [2] + | [2] | [2] | [2] | [2] |
Centrado por | Cara normal Cuadrado | Cara al octágono normal | Cuadrado de la cara | Hexágono de cara | Octágono de cara |
Imagen | |||||
Simetría proyectiva | [2] | [2] | [2] | [6] | [4] |
Baldosas esféricas
El cuboctaedro truncado también puede representarse como un mosaico esférico y proyectarse sobre el plano mediante una proyección estereográfica . Esta proyección es conforme , conservando ángulos pero no áreas ni longitudes. Las líneas rectas de la esfera se proyectan como arcos circulares en el plano.
Proyección ortogonal | centrado en el cuadrado | centrado en el hexágono | centrado en el octágono |
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Proyecciones estereográficas |
Grupo octaédrico completo
Como muchos otros sólidos, el octaedro truncado tiene simetría octaédrica completa , pero su relación con el grupo octaédrico completo es más cercana que eso: sus 48 vértices corresponden a los elementos del grupo, y cada cara de su dual es un dominio fundamental del grupo.
La imagen de la derecha muestra las 48 permutaciones en el grupo aplicadas a un objeto de ejemplo (es decir, el compuesto JF ligero de la izquierda). Los 24 elementos claros son rotaciones y los oscuros son sus reflejos.
Los bordes del sólido corresponden a las 9 reflexiones del grupo:
- Aquellos entre octágonos y cuadrados corresponden a las 3 reflexiones entre octágonos opuestos.
- Los bordes hexagonales corresponden a las 6 reflexiones entre cuadrados opuestos.
- (No hay reflejos entre hexágonos opuestos).
Los subgrupos corresponden a sólidos que comparten los respectivos vértices del octaedro truncado.
Por ejemplo, los 3 subgrupos con 24 elementos corresponde a una no uniforme chata cubo con quiral octaédrica simetría, una no uniforme truncada octaedro con plena tetraédrica simetría y una no uniforme rhombicuboctahedron con piritoedro simetría (el octaedro chata Cantic ).
El subgrupo único con 12 elementos es el grupo alterno A 4 . Corresponde a un icosaedro no uniforme con simetría tetraédrica quiral .
Subgrupos y sólidos correspondientes | ||||
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los 48 vértices | 24 vértices | 12 vértices |
Poliedros relacionados
El tetraedro y el cubo de pajarita contienen dos caras trapezoidales en lugar de cada cuadrado. [6] |
El cuboctaedro truncado pertenece a una familia de poliedros uniformes relacionados con el cubo y el octaedro regular.
Poliedros octaédricos uniformes | ||||||||||
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Simetría : [4,3], (* 432) | [4,3] + (432) | [1 + , 4,3] = [3,3] (* 332) | [3 + , 4] (3 * 2) | |||||||
{4,3} | t {4,3} | r {4,3} r {3 1,1 } | t {3,4} t {3 1,1 } | {3,4} {3 1,1 } | rr {4,3} s 2 {3,4} | tr {4,3} | sr {4,3} | h {4,3} {3,3} | h 2 {4,3} t {3,3} | s {3,4} s {3 1,1 } |
= | = | = | = o | = o | = | |||||
Poliedros duales a uniformes | ||||||||||
V4 3 | V3.8 2 | V (3,4) 2 | V4.6 2 | V3 4 | V3.4 3 | V4.6.8 | V3 4 .4 | V3 3 | V3.6 2 | V3 5 |
Este poliedro puede considerarse miembro de una secuencia de patrones uniformes con configuración de vértice (4.6.2 p ) y diagrama de Coxeter-Dynkin . Para p <6, los miembros de la secuencia son poliedros omnitruncados ( zonoedros ), que se muestran a continuación como mosaicos esféricos. Para p <6, son mosaicos del plano hiperbólico, comenzando con el mosaico triheptagonal truncado .
* n 32 mutaciones de simetría de teselaciones omnitruncadas: 4.6.2n | ||||||||||||
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Sym. * n 32 [ n , 3] | Esférico | Euclides. | Hyperb compacto. | Paraco. | Hiperbólico no compacto | |||||||
* 232 [2,3] | * 332 [3,3] | * 432 [4,3] | * 532 [5,3] | * 632 [6,3] | * 732 [7,3] | * 832 [8,3] | * ∞32 [∞, 3] | [12i, 3] | [9i, 3] | [6i, 3] | [3i, 3] | |
Cifras | ||||||||||||
Config. | 4.6.4 | 4.6.6 | 4.6.8 | 4.6.10 | 4.6.12 | 4.6.14 | 4.6.16 | 4.6.∞ | 4.6.24i | 4.6.18i | 4.6.12i | 4.6.6i |
Duales | ||||||||||||
Config. | V4.6.4 | V4.6.6 | V4.6.8 | V4.6.10 | V4.6.12 | V4.6.14 | V4.6.16 | V4.6.∞ | V4.6.24i | V4.6.18i | V4.6.12i | V4.6.6i |
* n 42 mutación de simetría de teselaciones omnitruncadas: 4.8.2n | ||||||||
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Simetría * n 42 [n, 4] | Esférico | Euclidiana | Hiperbólico compacto | Paracomp. | ||||
* 242 [2,4] | * 342 [3,4] | * 442 [4,4] | * 542 [5,4] | * 642 [6,4] | * 742 [7,4] | * 842 [8,4] ... | * ∞42 [∞, 4] | |
Figura omnitruncada | 4.8.4 | 4.8.6 | 4.8.8 | 4.8.10 | 4.8.12 | 4.8.14 | 4.8.16 | 4.8.∞ |
Omnitruncated duales | V4.8.4 | V4.8.6 | V4.8.8 | V4.8.10 | V4.8.12 | V4.8.14 | V4.8.16 | V4.8.∞ |
Es el primero de una serie de hipercubos cantitruncados:
Cuboctaedro truncado | Tesseract cantitruncado | Cantitruncado de 5 cubos | Cantitruncado de 6 cubos | Cantitruncado de 7 cubos | Cantitruncado de 8 cubos |
Gráfico cuboctaédrico truncado
Gráfico cuboctaédrico truncado | |
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Vértices | 48 |
Bordes | 72 |
Automorfismos | 48 |
Número cromático | 2 |
Propiedades | Cúbica , hamiltoniana , regular , simétrica cero |
Tabla de gráficos y parámetros |
En el campo matemático de la teoría de grafos , un grafo cuboctaédrico truncado (o gran grafo rombcuboctaédrico ) es el gráfico de vértices y aristas del cuboctaedro truncado, uno de los sólidos de Arquímedes . Tiene 48 vértices y 72 aristas, y es un grafo de Arquímedes cúbico y simétrico cero . [7]
Ver también
- Cubo
- Cuboctaedro
- Octaedro
- Icosidodecaedro truncado
- Octaedro truncado - tetraedro truncado
Referencias
- ^ Wenninger, Magnus (1974), Modelos de poliedro , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-09859-5, MR 0467493 (Modelo 15, pág.29)
- ^ Williams, Robert (1979). La base geométrica de la estructura natural: un libro fuente de diseño . Publicaciones de Dover, Inc. ISBN 0-486-23729-X. (Sección 3-9, p. 82)
- ^ Cromwell, P .; Polyhedra , CUP hbk (1997), pbk. (1999). (pág.82)
- ^ BM Stewart, Aventuras entre los toroides (1970) ISBN 978-0-686-11936-4
- ^ Doskey, Alex. "Aventuras entre los toroides - Capítulo 5 - Toroides más simples (R) (A) (Q) (T) del género p = 1" . www.doskey.com .
- ^ Symmetrohedra: poliedros de la colocación simétrica de polígonos regulares Craig S. Kaplan
- ^ Leer, RC; Wilson, RJ (1998), An Atlas of Graphs , Oxford University Press , pág. 269
- Cromwell, P. (1997). Poliedros . Reino Unido: Cambridge. pp. 79-86 Sólidos de Arquímedes . ISBN 0-521-55432-2.
enlaces externos
- Eric W. Weisstein , Gran rombicuboctaedro ( sólido de Arquímedes ) en MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Gran gráfico rombicuboctaédrico" . MathWorld .
- Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D x3x4x - girco" .
- Red imprimible editable de un cuboctaedro truncado con vista 3D interactiva
- Los poliedros uniformes
- Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de poliedros
- Gran rombicuboctaedro: tiras de papel para trenzar