En geometría, la notación poliedro de Conway , inventada por John Horton Conway y promovida por George W. Hart , se usa para describir poliedros basados en un poliedro semilla modificado por varias operaciones de prefijo . [1] [2]
Conway y Hart ampliaron la idea de utilizar operadores, como el truncamiento como lo define Kepler , para construir poliedros relacionados de la misma simetría. Por ejemplo, tC representa un cubo truncado y taC , analizado como, es ( topológicamente ) un cuboctaedro truncado . El operador más simples duales permutas de vértices y de la cara Elementos; por ejemplo, un cubo dual es un octaedro: dC = O . Aplicados en serie, estos operadores permiten generar muchos poliedros de orden superior. Conway definió los operadores abdegjkmost , mientras que Hart agregó r y p . [3] Las implementaciones posteriores nombraron operadores adicionales, a veces denominados operadores "extendidos". [4] [5] Las operaciones básicas de Conway son suficientes para generar los sólidos de Arquímedes y Catalanes a partir de los sólidos platónicos. Algunas operaciones básicas se pueden realizar como combinaciones de otras: por ejemplo, ambón aplicado dos veces es la operación de expansión: aa = e , mientras que un truncamiento después de ambón produce bisel : ta = b .
Los poliedros se pueden estudiar topológicamente, en términos de cómo sus vértices, aristas y caras se conectan entre sí, o geométricamente, en términos de la ubicación de esos elementos en el espacio. Diferentes implementaciones de estos operadores pueden crear poliedros que son geométricamente diferentes pero topológicamente equivalentes. Estos poliedros topológicamente equivalentes pueden considerarse como una de las muchas incrustaciones de un gráfico poliédrico en la esfera. A menos que se especifique lo contrario, en este artículo (y en la literatura sobre operadores de Conway en general) la topología es la principal preocupación. Los poliedros con género 0 (es decir, topológicamente equivalentes a una esfera) a menudo se ponen en forma canónica para evitar ambigüedades.
Operadores
En la notación de Conway, las operaciones sobre poliedros se aplican como funciones, de derecha a izquierda. Por ejemplo, un cuboctaedro es un ambón cubo , [6] es decir, y un cuboctaedro truncado es. La aplicación repetida de un operador se puede denotar con un exponente: j 2 = o . En general, los operadores de Conway no son conmutativos .
Los operadores individuales se pueden visualizar en términos de dominios fundamentales (o cámaras), como se muestra a continuación. Cada triángulo rectángulo es un dominio fundamental . Cada cámara blanca es una versión rotada de las demás, al igual que cada cámara de color. Para los operadores aquirales , las cámaras coloreadas son un reflejo de las cámaras blancas y todas son transitivas. En términos de grupo, los operadores aquirales corresponden a grupos diédricos D n donde n es el número de lados de una cara, mientras que los operadores quirales corresponden a grupos cíclicos C n que carecen de la simetría reflectante de los grupos diédricos. Los operadores achirales y quirales también se denominan operaciones de preservación de simetría local (LSP) y operaciones locales que preservan simetrías de preservación de orientación (LOPSP), respectivamente. [7] [8] [9] Los LSP deben entenderse como operaciones locales que preservan la simetría, no operaciones que preservan la simetría local. Una vez más, se trata de simetrías en un sentido topológico, no en un sentido geométrico: los ángulos exactos y las longitudes de los bordes pueden diferir.
3 (triángulo) | 4 (cuadrado) | 5 (Pentágono) | 6 (hexágono) |
---|---|---|---|
Los dominios fundamentales de los grupos poliedros. Los grupos son para poliedros aquirales, y para poliedros quirales. |
Hart introdujo el operador de reflexión r , que da la imagen especular del poliedro. [6] Esto no es estrictamente un LOPSP, ya que no conserva la orientación: la invierte, intercambiando cámaras blancas y rojas. r no tiene ningún efecto sobre los poliedros aquirales aparte de la orientación, y rr = S devuelve el poliedro original. Se puede usar una línea superior para indicar la otra forma quiral de un operador: s = rsr .
Una operación es irreducible si no se puede expresar como una composición de operadores aparte de d y r . La mayoría de los operadores originales de Conway son irreductibles: las excepciones son e , b , o y m .
Representación matricial
X | |
---|---|
xd | |
dx | |
dxd |
La relación entre el número de vértices, aristas y caras de la semilla y el poliedro creado por las operaciones enumeradas en este artículo se puede expresar como una matriz. . Cuando x es el operador, son los vértices, los bordes y las caras de la semilla (respectivamente), y son los vértices, aristas y caras del resultado, entonces
- .
La matriz para la composición de dos operadores es solo el producto de las matrices de los dos operadores. Los operadores distintos pueden tener la misma matriz, por ejemplo, p y l . El recuento de bordes del resultado es un múltiplo entero d del de la semilla: esto se llama tasa de inflación o factor de borde. [7]
Los operadores más simples, el operador de identidad S y el operador dual d , tienen formas matriciales simples:
- ,
Dos operadores duales se cancelan; dd = S , y el cuadrado dees la matriz de identidad . Cuando se aplica a otros operadores, el operador dual corresponde a reflexiones horizontales y verticales de la matriz. Los operadores se pueden agrupar en grupos de cuatro (o menos si algunas formas son iguales) identificando los operadores x , xd (operador de dual), dx (dual de operador) y dxd (conjugado de operador). En este artículo, solo se da la matriz para x , ya que las otras son simples reflexiones.
Numero de operadores
El número de LSP para cada tasa de inflación es comenzando con la tasa de inflación 1. Sin embargo, no todos los LSP producen necesariamente un poliedro cuyas aristas y vértices forman un gráfico de 3 conexiones y, como consecuencia del teorema de Steinitz, no necesariamente producen un poliedro convexo a partir de una semilla convexa. El número de 3 LSP conectados para cada tasa de inflación es. [8]
Operaciones originales
Estrictamente, la semilla ( S ), la aguja ( n ) y la cremallera ( z ) no fueron incluidas por Conway, pero están relacionadas con las operaciones originales de Conway por dualidad, por lo que se incluyen aquí.
A partir de aquí, las operaciones se visualizan en semillas de cubos, dibujadas en la superficie de ese cubo. Las caras azules cruzan los bordes de la semilla y las caras rosadas se encuentran sobre los vértices de la semilla. Existe cierta flexibilidad en la ubicación exacta de los vértices, especialmente con los operadores quirales.
Factor de borde | Matriz | X | xd | dx | dxd | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | Semilla : S | Doble : d | Semilla : dd = S | Dual reemplaza cada cara con un vértice y cada vértice con una cara. | ||
2 | Unirse : j | Ambón : un | Unir crea caras cuadriláteras. Ambo crea vértices de grado 4, y también se le llama rectificación , o grafo medial en teoría de grafos. [10] | |||
3 | Kis : k | Aguja : n | Cremallera : z | Truncar : t | Kis levanta una pirámide en cada cara, y también se llama akisation, Kleetope , acumulación, [11] acreción o aumento de pirámide . Truncar corta el poliedro en sus vértices pero deja una parte de los bordes originales. [12] Zip también se llama bitruncation . | |
4 | Ortho : o = jj | Expandir : e = aa | ||||
5 | Giroscopio : g | gd = rgr | sd = rsr | Desaire : s | Operadores quirales. Consulte Snub (geometría) . Al contrario de Hart, [3] gd no es lo mismo que g : es su par quiral. [13] | |
6 | Meta : m = kj | Bisel : b = ta |
Semillas
Cualquier poliedro puede servir como semilla, siempre que las operaciones se puedan ejecutar sobre él. A las semillas comunes se les ha asignado una letra. Los sólidos platónicos están representados por la primera letra de su nombre ( T etraedro , O ctaedro , C ube , I cosaedro , D odecaedro ); los p rismas ( P n ) para n -formas gonales; a ntiprisms ( A n ); c u polae ( U n ); anticupolae ( V n ); y p Y ramids ( Y n ). Cualquier J ohnson sólido puede hacer referencia como J n , para n = 1..92.
Los cinco poliedros regulares se pueden generar a partir de generadores prismáticos con cero a dos operadores: [14]
- Pirámide triangular : Y 3 (Un tetraedro es una pirámide especial)
- T = Y 3
- O = aT (ambo tetraedro)
- C = jT (unirse al tetraedro)
- I = sT (tetraedro chato )
- D = gT (giroscopio tetraedro)
- Antiprisma triangular : A 3 (Un octaedro es un antiprisma especial)
- O = A 3
- C = dA 3
- Prisma cuadrado : P 4 (Un cubo es un prisma especial)
- C = P 4
- Antiprisma pentagonal : A 5
- I = k 5 A 5 (Una bipirámide giroelongada especial )
- D = t 5 dA 5 (Un trapezoedro truncado especial )
Las tejas euclidianas regulares también se pueden utilizar como semillas:
- Q = Cuadrilla = Azulejos cuadrados
- H = Hextille = Baldosas hexagonales = dΔ
- Δ = Deltille = Mosaico triangular = dH
Operaciones extendidas
Estas son operaciones creadas después del conjunto original de Conway. Tenga en cuenta que existen muchas más operaciones de las que se han nombrado; el hecho de que una operación no esté aquí no significa que no exista (o que no sea un LSP o LOPSP). Para simplificar, en esta lista solo se incluyen operadores irreducibles: se pueden crear otros componiendo operadores juntos.
Factor de borde | Matriz | X | xd | dx | dxd | Notas |
---|---|---|---|---|---|---|
4 | Chaflán : c | cd = du | dc = ud | Subdividir : u | Chaflán es la forma de unión de l . Consulte Chaflán (geometría) . | |
5 | Hélice : p | dp = pd | dpd = p | Operadores quirales. El operador de la hélice fue desarrollado por George Hart. [15] | ||
5 | Desván : l | ld | dl | dld | ||
6 | Quinto : q | qd | dq | dqd | ||
6 | Encaje de unión : L 0 | L 0 d | dL 0 | dL 0 d | Consulte a continuación para obtener una explicación de la notación de combinación. | |
7 | Encaje : L | Ld | dL | dLd | ||
7 | Apuesta : K | Kd | dK | dKd | ||
7 | Remolino : w | wd = dv | vd = dw | Voluta : v | Operadores quirales. | |
8 | Únete-kis-kis : | A veces llamado J . [4] Consulte a continuación la explicación de la notación de unión. La forma no conjunta, kk , no es irreducible. | ||||
10 | Cruz : X | Xd | dX | dXd |
Operaciones extendidas indexadas
Varios operadores pueden agruparse según algunos criterios o modificar su comportamiento mediante un índice. [4] Estos se escriben como un operador con un subíndice: x n .
Aumento
Las operaciones de aumento conservan los bordes originales. Se pueden aplicar a cualquier subconjunto independiente de caras o se pueden convertir en una forma de unión eliminando los bordes originales. La notación de Conway admite un índice opcional para estos operadores: 0 para la forma de unión, o 3 o más para cuántos lados tienen las caras afectadas. Por ejemplo, k 4 Y 4 = O: tomando una pirámide de base cuadrada y pegando otra pirámide a la base cuadrada se obtiene un octaedro.
Operador | k | l | L | K | (kk) |
---|---|---|---|---|---|
X | |||||
x 0 | k 0 = j | l 0 = c | L 0 | K 0 = jk | |
Aumento | Pirámide | Prisma | Antiprisma |
El operador truncar t también tiene una forma de índice t n , lo que indica que solo se truncan los vértices de cierto grado. Es equivalente a dk n d .
Algunos de los operadores extendidos se pueden crear en casos especiales con operadores k n y t n . Por ejemplo, un cubo de achaflanado , cC , se puede construir como t 4 APO digital , como un Rombododecaedro , APO digital o jC , con sus grados-4 vértices truncados. Un cubo elevado , lC es lo mismo que t 4 kC . Un quintododecaedro , qD se puede construir como t 5 daaD o t 5 deD o t 5 oD , un hexecontaedro deltoidal , deD o oD , con sus vértices de grado 5 truncados.
Meta / bisel
Meta agrega vértices en el centro y a lo largo de los bordes, mientras que bisel agrega caras en el centro, vértices de semillas y a lo largo de los bordes. El índice es cuántos vértices o caras se agregan a lo largo de los bordes. Meta (en su forma no indexada) también se llama cantitruncation u omnitruncation . Tenga en cuenta que 0 aquí no significa lo mismo que para las operaciones de aumento: significa que se agregan cero vértices (o caras) a lo largo de los bordes. [4]
norte | Factor de borde | Matriz | X | xd | dx | dxd |
---|---|---|---|---|---|---|
0 | 3 | k = m 0 | norte | z = b 0 | t | |
1 | 6 | m = m 1 = kj | b = b 1 = ta | |||
2 | 9 | m 2 | m 2 d | b 2 | b 2 d | |
3 | 12 | m 3 | m 3 d | b 3 | b 3 d | |
norte | 3 n +3 | m n | m n d | b n | b n d |
Medio
Medial es como meta, excepto que no agrega bordes desde el centro a cada vértice semilla. La forma del índice 1 es idéntica a los operadores orto y expandir de Conway: expandir también se llama cantelación y expansión . Tenga en cuenta que O y E tienen sus propias formas indexados, se describen a continuación. También tenga en cuenta que algunas implementaciones comienzan a indexarse en 0 en lugar de 1. [4]
norte | Factor de borde | Matriz | X | xd | dx | dxd |
---|---|---|---|---|---|---|
1 | 4 | M 1 = o = jj | e = aa | |||
2 | 7 | Medial : M = M 2 | Maryland | dM | dMd | |
norte | 3 n +1 | M n | M n d | dM n | dM n d |
Goldberg-Coxeter
Los operadores Goldberg-Coxeter (GC) Conway son dos familias infinitas de operadores que son una extensión de la construcción Goldberg-Coxeter . [16] [17] Se puede pensar que la construcción GC es tomar una sección triangular de una celosía triangular, o una sección cuadrada de una celosía cuadrada, y colocarla sobre cada cara del poliedro. Esta construcción se puede extender a cualquier cara identificando las cámaras del triángulo o cuadrado (el "polígono maestro"). [7] Los operadores de la familia triangular se pueden utilizar para producir los poliedros de Goldberg y los poliedros geodésicos : consulte la Lista de poliedros geodésicos y los poliedros de Goldberg para obtener fórmulas.
Las dos familias son la familia GC triangular, c a, b y T a, b , y la familia GC cuadrilátero, e A, B y O a, b . Ambas familias de GC están indexadas por dos números enteros y . Poseen muchas buenas cualidades:
- Los índices de las familias tienen una relación con ciertos dominios euclidianos sobre los números complejos: los enteros de Eisenstein para la familia GC triangular y los enteros gaussianos para la familia GC cuadrilátera.
- Los operadores de la x y DXD columnas dentro de la misma familia conmutan entre sí.
Los operadores se dividen en tres clases (los ejemplos están escritos en términos de c, pero se aplican a los 4 operadores):
- Clase I: . Achiral, conserva los bordes originales. Puede escribirse con el índice cero suprimido, p. Ej. C a , 0 = c a .
- Clase II: . También aquiral. Se puede descomponer como c a, a = c a c 1,1
- Clase III: Todos los demás operadores. Estos son quirales, y c a, b y c b, a son los pares quirales de uno al otro.
De las operaciones originales de Conway, las únicas que no pertenecen a la familia GC son g y s (giroscopio y desaire). Meta y de bisel ( m , y b ) se pueden expresar en términos de un operador de la familia triangular y uno de la familia de cuadrilátero.
Triangular
a | B | Clase | Factor de borde T = a 2 + ab + b 2 | Matriz | Triángulo maestro | X | xd | dx | dxd |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | I | 1 | u 1 = S | D | c 1 = S | |||
2 | 0 | I | 4 | u 2 = u | corriente continua | du | c 2 = c | ||
3 | 0 | I | 9 | u 3 = nn | nk | zt | c 3 = zz | ||
4 | 0 | I | dieciséis | u 4 = uu | uud = dcc | duu = ccd | c 4 = cc | ||
5 | 0 | I | 25 | tú 5 | u 5 d = dc 5 | du 5 = c 5 d | c 5 | ||
6 | 0 | I | 36 | u 6 = unn | unk | czt | u 6 = zumbido | ||
7 | 0 | I | 49 | u 7 = u 2,1 u 1,2 = vrv | vrvd = dwrw | dvrv = wrwd | c 7 = c 2,1 c 1,2 = wrw | ||
8 | 0 | I | 64 | u 8 = u 3 | u 3 d = dc 3 | du 3 = c 3 d | c 8 = c 3 | ||
9 | 0 | I | 81 | u 9 = n 4 | n 3 k = kz 3 | tn 3 = z 3 t | c 9 = z 4 | ||
1 | 1 | II | 3 | u 1,1 = n | k | t | c 1,1 = z | ||
2 | 1 | III | 7 | v = u 2,1 | vd = dw | dv = wd | w = c 2,1 | ||
3 | 1 | III | 13 | u 3,1 | u 3,1 d = dc 3,1 | du 3,1 = c 3,1 d | c 3,1 | ||
3 | 2 | III | 19 | u 3,2 | u 3,2 d = dc 3,2 | du 3,2 = c 3,2 d | c 3,2 | ||
4 | 3 | III | 37 | u 4,3 | u 4,3 d = 4,3 dc | du 4,3 = c 4,3 d | c 4,3 | ||
5 | 4 | III | 61 | u 5,4 | u 5,4 d = dc 5,4 | du 5,4 = c 5,4 d | c 5,4 | ||
6 | 5 | III | 91 | u 6,5 = u 1,2 u 1,3 | u 6,5 d = dc 6,5 | du 6,5 = c 6,5 d | c 6,5 = c 1,2 c 1,3 | ||
7 | 6 | III | 127 | u 7,6 | u 7,6 d = dc 7,6 | du 7,6 = c 7,6 d | c 7,6 | ||
8 | 7 | III | 169 | u 8,7 = u 3,1 2 | u 8,7 d = dc 8,7 | du 8,7 = c 8,7 d | c 8,7 = c 3,1 2 | ||
9 | 8 | III | 217 | u 9,8 = u 2,1 u 5,1 | u 9,8 d = dc 9,8 | du 9,8 = c 9,8 d | c 9,8 = c 2,1 c 5,1 | ||
I, II o III | ... | u a, b | u a, b d = dc a, b | du a, b = c a, b d | c a, b | ||||
Yo o yo | ... | u a, b | u a, b d = dc a, b | du a, b = c a, b d | c a, b |
Por la teoría de números básica, para cualquier valor de un y b ,.
Cuadrilátero
a | B | Clase | Factor de borde T = a 2 + b 2 | Matriz | Plaza principal | X | xd | dx | dxd |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 0 | I | 1 | o 1 = S | e 1 = d | o 1 = dd = S | |||
2 | 0 | I | 4 | o 2 = o = j 2 | e 2 = e = a 2 | ||||
3 | 0 | I | 9 | o 3 | e 3 | o 3 | |||
4 | 0 | I | dieciséis | o 4 = oo = j 4 | e 4 = ee = a 4 | ||||
5 | 0 | I | 25 | o 5 = o 2,1 o 1,2 = prp | e 5 = e 2,1 e 1,2 | o 5 = dprpd | |||
6 | 0 | I | 36 | o 6 = o 2 o 3 | e 6 = e 2 e 3 | ||||
7 | 0 | I | 49 | o 7 | e 7 | o 7 | |||
8 | 0 | I | 64 | o 8 = o 3 = j 6 | e 8 = e 3 = a 6 | ||||
9 | 0 | I | 81 | o 9 = o 3 2 | e 9 = e 3 2 | o 9 | |||
10 | 0 | I | 100 | o 10 = oo 2,1 o 1,2 | e 10 = ee 2,1 e 1,2 | ||||
1 | 1 | II | 2 | o 1,1 = j | e 1,1 = a | ||||
2 | 2 | II | 8 | o 2,2 = j 3 | e 2,2 = a 3 | ||||
1 | 2 | III | 5 | o 1,2 = p | e 1,2 = dp = pd | pag | |||
I, II o III | T incluso | ... | o a, b | e a, b | |||||
Yo o yo | T extraño | ... | o a, b | e a, b | o a, b |
Ejemplos de
Véase también Lista de poliedros geodésicos y poliedros de Goldberg .
Sólidos de Arquímedes y Catalanes
El conjunto original de operadores de Conway puede crear todos los sólidos de Arquímedes y los sólidos catalanes , utilizando los sólidos platónicos como semillas. (Tenga en cuenta que el operador r no es necesario para crear ambas formas quirales).
Tetraedro truncado tTCuboctaedro
aC = aaTCubo truncado
tCOctaedro truncado
tO = bTRombicuboctaedro
eC = a 3 Tcuboctaedro truncado
bCcubo de desaire
SCicosidodecaedro
aDdodecaedro truncado
tDicosaedro truncado
tIrhombicosidodeca-hedron
eDicosidodecaedro truncado
bDdodecaedro
chato sD & sI
Triakis tetraedro
kTDodecaedro rómbico
jCTriakis octaedro
kOTetrakis hexaedro
kCIicositetraedro deltoideo
oCDisdyakis dodecaedro
mCIcositetraedro pentagonal
gCTriacontaedro rómbico
jDTriakis icosaedro
kIPentakis dodecaedro
kDHexecontaedro deltoidal
oDDisdyakis triacontaedro
mD
Hexecontaedro pentagonal gD & gI
Operadores compuestos
El icosaedro truncado , tI = zD , puede usarse como semilla para crear algunos poliedros más agradables visualmente, aunque estos no son ni de vértice ni de cara transitiva .
tI = zD
atI
ttI
ztI
etI
btI
stI
nI = kD
jtI
ntI
ktI
otI
mtI
gtI
En el avión
Cada una de las teselaciones uniformes convexas se puede crear aplicando operadores de Conway a las teselaciones regulares Q, H y Δ.
Azulejos cuadrados
Q = dQRevestimiento cuadrado truncado
tQBaldosas cuadradas Tetrakis
kQ
Azulejo cuadrado chapado sQ
Azulejo pentagonal Cairo gQ
Revestimiento hexagonal H = dΔRevestimiento trihexagonal
aH = aΔ
Revestimiento hexagonal truncado tHRevestimiento
rombitrihexagonal eH = eΔRevestimiento truncado trihexagonal
bH = bΔRevestimiento de baldosas
trihexagonales chatas sH = sΔ
Mosaico triangular
Δ = dHMosaico Rhombille
jΔ = jH
Baldosas triangulares Triakis kΔRevestimiento deltoidal trihexagonal
oΔ = oHMosaico Kisrhombille
mΔ = mH
Revestimiento pentagonal de florete gΔ = gH
En un toro
Los operadores de Conway también se pueden aplicar a poliedros toroidales y poliedros con múltiples agujeros.
Un toro cuadrado regular de 1x1, {4,4} 1,0
Un toro cuadrado 4x4 regular, {4,4} 4,0
tQ24 × 12 proyectado a toro
taQ24 × 12 proyectado a toro
actQ24 × 8 proyectado a toro
tH24 × 12 proyectado a toro
taH24 × 8 proyectado a toro
kH24 × 12 proyectado a toro
Ver también
- Simetroedro
- Zonoedro
- Símbolo de Schläfli
Referencias
- ^ John Horton Conway; Heidi Burgiel; Chaim Goodman-Strass (2008). "Capítulo 21: Denominación de los poliedros y mosaicos de Arquímedes y Cataluña". Las simetrías de las cosas . ISBN 978-1-56881-220-5.
- ^ Weisstein, Eric W. "Notación de poliedro de Conway" . MathWorld .
- ^ a b George W. Hart (1998). "Notación de Conway para poliedros" . Poliedros virtuales .
- ^ a b c d e Adrian Rossiter. "conway - transformaciones de notación de Conway" . Software de modelado de poliedros Antiprism .
- ^ Anselm Levskaya. "polyHédronisme" .
- ^ a b Hart, George (1998). "Notación de Conway para poliedros" . Poliedros virtuales . (Ver cuarta fila en la tabla, "a = ambo".)
- ^ a b c Brinkmann, G .; Goetschalckx, P .; Schein, S. (2017). "Goldberg, Fuller, Caspar, Klug y Coxeter y un enfoque general de las operaciones locales de preservación de la simetría". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas e Ingeniería . 473 (2206): 20170267. arXiv : 1705.02848 . Código Bib : 2017RSPSA.47370267B . doi : 10.1098 / rspa.2017.0267 . S2CID 119171258 .
- ^ a b Goetschalckx, Pieter; Coolsaet, Kris; Van Cleemput, Nico (12 de abril de 2020). "Generación de operaciones locales de preservación de simetría". arXiv : 1908.11622 [ math.CO ].
- ^ Goetschalckx, Pieter; Coolsaet, Kris; Van Cleemput, Nico (11 de abril de 2020). "Operaciones de preservación de simetría de preservación de orientación local en poliedros". arXiv : 2004.05501 [ math.CO ].
- ^ Weisstein, Eric W. "Rectificación" . MathWorld .
- ^ Weisstein, Eric W. "Acumulación" . MathWorld .
- ^ Weisstein, Eric W. "Truncamiento" . MathWorld .
- ^ "Antiprisma - cuestión de quiralidad en Conway" .
- ^ Livio Zefiro (2008). "Generación de un icosaedro por la intersección de cinco tetraedros: características geométricas y cristalográficas de los poliedros intermedios" . Vismath .
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- ^ Deza, M .; Dutour, M (2004). "Construcciones de Goldberg-Coxeter para gráficos planos de 3 y 4 valentes" . La Revista Electrónica de Combinatoria . 11 : # R20. doi : 10.37236 / 1773 .
- ^ Deza, M.-M .; Sikirić, MD; Shtogrin, MI (2015). "Construcción y parametrización de Goldberg-Coxeter" . Estructura geométrica de gráficos relevantes para la química: zigzags y circuitos centrales . Saltador. págs. 131-148. ISBN 9788132224495.
enlaces externos
- polyHédronisme: generates polyhedra in HTML5 canvas, taking Conway notation as input