En geometría euclidiana , la rectificación , también conocida como truncamiento crítico o truncamiento completo, es el proceso de truncar un politopo marcando los puntos medios de todos sus bordes y cortando sus vértices en esos puntos. [1] El politopo resultante estará delimitado por las facetas de la figura del vértice y las facetas rectificadas del politopo original.
Un operador de rectificación a veces se indica con la letra r con un símbolo de Schläfli . Por ejemplo, r {4,3} es el cubo rectificado , también llamado cuboctaedro , y también representado como. Y un cuboctaedro rectificado rr {4,3} es un rombicuboctaedro , y también se representa como.
La notación de poliedro de Conway usa un para ambón como este operador. En teoría de grafos, esta operación crea un gráfico medial .
La rectificación de cualquier poliedro o mosaico regular auto-dual dará como resultado otro poliedro o mosaico regular con un orden de mosaico de 4, por ejemplo, el tetraedro {3,3} se convierte en un octaedro {3,4}. Como caso especial, un mosaico cuadrado {4,4} se convertirá en otro mosaico cuadrado {4,4} bajo una operación de rectificación.
Ejemplo de rectificación como truncamiento final a un borde
La rectificación es el punto final de un proceso de truncamiento. Por ejemplo, en un cubo, esta secuencia muestra cuatro pasos de un continuo de truncamientos entre la forma regular y rectificada:
Rectificaciones de mayor grado
Se puede realizar una rectificación de mayor grado en politopos regulares de mayores dimensiones. El mayor grado de rectificación crea el politopo dual . Una rectificación trunca los bordes en puntos. Una birectificación trunca caras en puntos. Una trirectificación trunca las celdas en puntos, etc.
Ejemplo de birectificación como truncamiento final a una cara
Esta secuencia muestra un cubo birectificado como la secuencia final de un cubo al dual donde las caras originales se truncan a un solo punto:
En polígonos
El dual de un polígono es lo mismo que su forma rectificada. Los nuevos vértices se colocan en el centro de los bordes del polígono original.
En poliedros y mosaicos planos
Cada sólido platónico y su dual tienen el mismo poliedro rectificado. (Esto no es cierto para los politopos en dimensiones superiores).
El poliedro rectificado resulta ser expresable como la intersección del sólido platónico original con una versión concéntrica escalada apropiada de su dual. Por esta razón, su nombre es una combinación de los nombres del original y el dual:
- El tetraedro rectificado , cuyo dual es el tetraedro, es el tetraedro , más conocido como octaedro .
- El octaedro rectificado , cuyo dual es el cubo , es el cuboctaedro .
- El icosaedro rectificado , cuyo dual es el dodecaedro , es el icosidodecaedro .
- Un mosaico cuadrado rectificado es un mosaico cuadrado .
- Un mosaico triangular rectificado o un mosaico hexagonal es un mosaico trihexagonal .
Ejemplos de
Familia | Padre | Rectificación | Doble |
---|---|---|---|
[p, q] | |||
[3,3] | Tetraedro | Octaedro | Tetraedro |
[4,3] | Cubo | Cuboctaedro | Octaedro |
[5,3] | Dodecaedro | Icosidodecaedro | Icosaedro |
[6,3] | Azulejos hexagonales | Azulejos trihexagonales | Azulejos triangulares |
[7,3] | Revestimiento heptagonal Order-3 | Azulejos triheptagonal | Azulejos triangulares Order-7 |
[4,4] | Azulejos cuadrados | Azulejos cuadrados | Azulejos cuadrados |
[5,4] | Revestimiento pentagonal Order-4 | Revestimiento tetrapentagonal | Azulejos cuadrados Order-5 |
En poliedros no regulares
Si un poliedro no es regular, los puntos medios de las aristas que rodean un vértice pueden no ser coplanares. Sin embargo, en este caso todavía es posible una forma de rectificación: cada poliedro tiene un gráfico poliédrico como su esqueleto 1 , y a partir de ese gráfico se puede formar el gráfico medial colocando un vértice en cada punto medio del borde del gráfico original y conectando dos de estos nuevos vértices por una arista siempre que pertenezcan a aristas consecutivas a lo largo de una cara común. El gráfico medial resultante sigue siendo poliédrico, por lo que según el teorema de Steinitz se puede representar como un poliedro.
La notación del poliedro de Conway equivalente a la rectificación es ambón , representada por a . Aplicando dos veces aa , (rectificando una rectificación) es la operación de expansión de Conway , e , que es la misma que la operación de cantelación de Johnson , t 0,2 generada a partir de mosaicos y poliédricos regulares.
En 4 politopos y teselados de panal 3D
Cada 4-politopo convexo regular tiene una forma rectificada como un 4-politopo uniforme .
Un 4-politopo {p, q, r} regular tiene celdas {p, q}. Su rectificación tendrá dos tipos de células, un poliedro {p, q} rectificado a la izquierda de las células originales y un poliedro {q, r} como nuevas células formadas por cada vértice truncado.
Sin embargo, una {p, q, r} rectificada no es lo mismo que una {r, q, p} rectificada. Un truncamiento adicional, llamado bitruncation , es simétrico entre un politopo 4 y su dual. Ver 4 politopos uniformes # Derivaciones geométricas .
Ejemplos de
Familia | Padre | Rectificación | Birectificación (rectificación dual) | Trirectificación (dual) |
---|---|---|---|---|
[ p , q , r ] | { p , q , r } | r { p , q , r } | 2r { p , q , r } | 3r { p , q , r } |
[3,3,3] | 5 celdas | rectificado de 5 celdas | rectificado de 5 celdas | 5 celdas |
[4,3,3] | tesseract | tesseract rectificado | 16 celdas rectificadas ( 24 celdas ) | 16 celdas |
[3,4,3] | 24 celdas | rectificado de 24 celdas | rectificado de 24 celdas | 24 celdas |
[5,3,3] | 120 celdas | 120 celdas rectificadas | 600 celdas rectificadas | 600 celdas |
[4,3,4] | Panal cúbico | Nido de abeja cúbico rectificado | Nido de abeja cúbico rectificado | Panal cúbico |
[5,3,4] | Dodecaédrico de orden 4 | Dodecaédrico de orden 4 rectificado | Orden rectificado-5 cúbicos | Orden-5 cúbicos |
Grados de rectificación
Una primera rectificación trunca los bordes en puntos. Si un politopo es regular , esta forma se representa mediante una notación de símbolo de Schläfli extendida t 1 {p, q, ...} o r {p, q, ...}.
Una segunda rectificación, o birectificación , trunca las caras hacia abajo en puntos. Si es regular, tiene la notación t 2 {p, q, ...} o 2 r {p, q, ...}. Para los poliedros , una birectificación crea un poliedro dual .
Se pueden construir rectificaciones de mayor grado para politopos de mayor dimensión. En general, una n-rectificación trunca n caras en puntos.
Si un n-politopo se rectifica (n-1), sus facetas se reducen a puntos y el politopo se convierte en su dual .
Notaciones y facetas
Existen distintas notaciones equivalentes para cada grado de rectificación. Estas tablas muestran los nombres por dimensión y los dos tipos de facetas para cada uno.
Polígonos regulares
Las facetas son aristas, representadas como {2}.
nombre {p} | Diagrama de Coxeter | símbolo de Schläfli de notación t | Símbolo de Schläfli vertical | ||
---|---|---|---|---|---|
Nombre | Faceta-1 | Faceta-2 | |||
Padre | t 0 {p} | {pag} | {2} | ||
Rectificado | t 1 {p} | {pag} | {2} |
Poliedros y mosaicos regulares
Las facetas son polígonos regulares.
nombre {p, q} | Diagrama de Coxeter | símbolo de Schläfli de notación t | Símbolo de Schläfli vertical | ||
---|---|---|---|---|---|
Nombre | Faceta-1 | Faceta-2 | |||
Padre | = | t 0 {p, q} | {p, q} | {pag} | |
Rectificado | = | t 1 {p, q} | r {p, q} = | {pag} | {q} |
Birectificado | = | t 2 {p, q} | {q, p} | {q} |
4 politopos y panales uniformes regulares
Las facetas son poliedros regulares o rectificados.
nombre {p, q, r} | Diagrama de Coxeter | símbolo de Schläfli de notación t | Símbolo de Schläfli extendido | ||
---|---|---|---|---|---|
Nombre | Faceta-1 | Faceta-2 | |||
Padre | t 0 {p, q, r} | {p, q, r} | {p, q} | ||
Rectificado | t 1 {p, q, r} | = r {p, q, r} | = r {p, q} | {q, r} | |
Birectificado (Dual rectificado) | t 2 {p, q, r} | = r {r, q, p} | {q, r} | = r {q, r} | |
Trirectificado (Dual) | t 3 {p, q, r} | {r, q, p} | {r, q} |
5 politopos regulares y panales de 4 espacios
Las facetas son 4-politopos regulares o rectificados.
nombre {p, q, r, s} | Diagrama de Coxeter | símbolo de Schläfli de notación t | Símbolo de Schläfli extendido | ||
---|---|---|---|---|---|
Nombre | Faceta-1 | Faceta-2 | |||
Padre | t 0 {p, q, r, s} | {p, q, r, s} | {p, q, r} | ||
Rectificado | t 1 {p, q, r, s} | = r {p, q, r, s} | = r {p, q, r} | {q, r, s} | |
Birectificado (birectificado dual) | t 2 {p, q, r, s} | = 2r {p, q, r, s} | = r {r, q, p} | = r {q, r, s} | |
Trirectificado (rectificado dual) | t 3 {p, q, r, s} | = r {s, r, q, p} | {r, q, p} | = r {s, r, q} | |
Cuadrirectificado (doble) | t 4 {p, q, r, s} | {s, r, q, p} | {s, r, q} |
Ver también
- Politopo doble
- Poliedro cuasirregular
- Lista de politopos regulares
- Truncamiento (geometría)
- Notación de poliedro de Conway
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Rectificación" . MathWorld .
- Coxeter, HSM Regular Polytopes , (3a edición, 1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8 (págs. 145-154 Capítulo 8: Truncamiento)
- Politopos uniformes de Norman Johnson , Manuscrito (1991)
- NW Johnson : La teoría de politopos uniformes y panales , Ph.D. Disertación, Universidad de Toronto, 1966
- John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, Las simetrías de las cosas 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 26)
enlaces externos
- Olshevsky, George. "Rectificación" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.
Semilla | Truncamiento | Rectificación | Bitruncation | Doble | Expansión | Omnitruncación | Alternancias | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
t 0 {p, q} {p, q} | t 01 {p, q} t {p, q} | t 1 {p, q} r {p, q} | t 12 {p, q} 2t {p, q} | t 2 {p, q} 2r {p, q} | t 02 {p, q} rr {p, q} | t 012 {p, q} tr {p, q} | ht 0 {p, q} h {q, p} | ht 12 {p, q} s {q, p} | ht 012 {p, q} sr {p, q} |