En geometría y combinatoria poliédrica , el Kleetope de un poliedro o politopo convexo de mayor dimensión P es otro poliedro o politopo P K formado al reemplazar cada faceta de P con una pirámide poco profunda . [1] Los Kleetopes llevan el nombre de Victor Klee . [2]
Ejemplos de
El triakis tetraedro es el Kleetope de un tetraedro , el triakis octaedro es el Kleetope de un octaedro y el triakis icosaedro es el Kleetope de un icosaedro . En cada uno de estos casos, el Kleetope se forma agregando una pirámide triangular a cada cara del poliedro original. Conway generaliza el prefijo kis de Kepler como este mismo operador kis .
triakis tetraedro Kleetope de tetraedro . | tetrakis hexaedro Kleetope de cubo . | triakis octaedro Kleetope del octaedro . | pentakis dodecaedro Kleetope de dodecaedro . | triakis icosaedro Kleetope del icosaedro . |
El tetrakis hexaedro es el Kleetope del cubo , formado agregando una pirámide cuadrada a cada una de sus caras, y el pentakis dodecaedro es el Kleetope del dodecaedro , formado agregando una pirámide pentagonal a cada cara del dodecaedro.
disdyakis dodecaedro Kleetope de dodecaedro rómbico . | disdyakis triacontaedro Kleetope del triacontaedro rómbico . | tripentakis icosidodecaedro Kleetope del icosidodecaedro . | Las bipirámides , como esta bipirámide pentagonal , pueden verse como el Kleetope de su respectiva dihedra . |
El poliedro base de un Kleetope no necesita ser un sólido platónico . Por ejemplo, el dodecaedro disdyakis es el Kleetope del dodecaedro rómbico , formado al reemplazar cada cara de rombo del dodecaedro por una pirámide rómbica, y el triacontaedro disdyakis es el Kleetope del triacontaedro rómbico . De hecho, el poliedro base de un Kleetope no necesita ser transitivo a la cara , como se puede ver en el icosidodecaedro tripentakis de arriba.
El gráfico de Goldner-Harary se puede representar como el gráfico de vértices y aristas del Kleetope de la bipirámide triangular .
pequeño stellapentakis dodecaedro Kleetope de pequeño dodecaedro estrellado . | gran stellapentakis dodecaedro Kleetope de gran dodecaedro estrellado . | gran pentakis dodecaedro Kleetope de gran dodecaedro . | gran triakis icosaedro Kleetope del gran icosaedro . |
Definiciones
Un método para formar el Kleetope de un politopo P es colocar un nuevo vértice fuera de P , cerca del centroide de cada faceta. Si todos estos nuevos vértices se colocan lo suficientemente cerca de los centroides correspondientes, entonces los únicos otros vértices visibles para ellos serán los vértices de las facetas a partir de las cuales están definidos. En este caso, el Kleetope de P es el casco convexo de la unión de los vértices de P y el conjunto de nuevos vértices. [3]
Alternativamente, el Kleetope puede estar definido por la dualidad y su doble operación, truncamiento : la Kleetope de P es el poliedro dual del truncamiento de la dual de P .
Propiedades y aplicaciones
Si P tiene suficientes vértices en relación con su dimensión, entonces el Kleetope de P es dimensionalmente inequívoco : el gráfico formado por sus aristas y vértices no es el gráfico de un poliedro diferente o politopo con una dimensión diferente. Más específicamente, si el número de vértices de un d politopo -dimensional P es al menos d 2 /2 , entonces P K es dimensionalmente inequívoca. [4]
Si cada cara i- dimensional de un politopo P d -dimensional es un simplex , y si i ≤ d - 2 , entonces cada cara ( i + 1) -dimensional de P K es también un simplex. En particular, el Kleetope de cualquier poliedro tridimensional es un poliedro simplicial , un poliedro en el que todas las facetas son triángulos.
Los kleetopes pueden usarse para generar poliedros que no tienen ciclos hamiltonianos : cualquier camino a través de uno de los vértices agregados en la construcción de Kleetope debe entrar y salir del vértice a través de sus vecinos en el poliedro original, y si hay más vértices nuevos que los vértices originales, entonces no hay suficientes vecinos para todos. En particular, el gráfico de Goldner-Harary , el Kleetope de la bipirámide triangular, tiene seis vértices agregados en la construcción de Kleetope y solo cinco en la bipirámide a partir de la cual se formó, por lo que no es hamiltoniano; es el poliedro simplicial no hamiltoniano más simple posible. [5] Si se forma un poliedro con n vértices repitiendo la construcción de Kleetope varias veces, comenzando desde un tetraedro, entonces su camino más largo tiene una longitud O ( n log 3 2 ) ; es decir, el exponente de brevedad de estos gráficos es log 3 2 , aproximadamente 0,630930. La misma técnica muestra que en cualquier dimensión d superior , existen politopos simpliciales con exponente de acortamiento log d 2 . [6] De manera similar, Plummer (1992) utilizó la construcción de Kleetope para proporcionar una familia infinita de ejemplos de poliedros simpliciales con un número par de vértices que no tienen una correspondencia perfecta .
Los kleetopes también tienen algunas propiedades extremas relacionadas con sus grados de vértice : si cada borde en un gráfico plano es incidente con al menos otros siete bordes, entonces debe existir un vértice de grado como máximo cinco, todos menos uno de cuyos vecinos tienen grado 20 o más. , y el Kleetope del Kleetope del icosaedro proporciona un ejemplo en el que los vértices de alto grado tienen un grado exactamente 20. [7]
Notas
- ^ Grünbaum ( 1963 , 1967 ).
- ^ Malkevitch, Joseph, Gente que marca la diferencia , American Mathematical Society.
- ^ Grünbaum (1967) , p. 217.
- ^ Grünbaum (1963) ; Grünbaum (1967) , pág. 227.
- ^ Grünbaum (1967) , p. 357; Goldner y Harary (1975) .
- ^ Moon y Moser (1963) .
- ^ Jendro'l y Madaras (2005) .
Referencias
- Jendro'l, Stanislav; Madaras, Tomáš (2005), "Nota sobre la existencia de vértices de grado pequeño con como máximo un vecino de grado grande en gráficas planas", Publicaciones Matemáticas de las Montañas Tatra , 30 : 149-153, MR 2190255.
- Goldner, A .; Harary, F. (1975), "Nota sobre un gráfico planar máximo no hamiltoniano más pequeño", Bull. Matemáticas de Malasia. Soc. , 6 (1): 41–42. Ver también la misma revista 6 (2): 33 (1975) y 8 : 104-106 (1977). Referencia de la lista de publicaciones de Harary .
- Grünbaum, Branko (1963), "Gráficos poliédricos no ambiguos", Israel Journal of Mathematics , 1 (4): 235-238, doi : 10.1007 / BF02759726 , MR 0185506 , S2CID 121075042.
- Grünbaum, Branko (1967), Politopos convexos , Wiley Interscience.
- Luna, JW; Moser, L. (1963), "Sendas simples en poliedros" , Pacific Journal of Mathematics , 13 (2): 629–631, doi : 10.2140 / pjm.1963.13.629 , MR 0154276.
- Plummer, Michael D. (1992), "Ampliación de coincidencias en gráficas planas IV", Matemáticas discretas , 109 (1-3): 207-219, doi : 10.1016 / 0012-365X (92) 90292-N , MR 1192384.