En matemáticas , el álgebra multiplicador , denotada por M ( A ), de un C * -algebra A es un C unital * -algebra que es el más grande C unital * -algebra que contiene A como ideales en un "no degenerado" camino. Es la generalización no conmutativa de la compactación Stone-Čech . Las álgebras multiplicadoras fueron introducidas por Busby (1968) .
Por ejemplo, si A es el C * -algebra de operadores compactos en un espacio de Hilbert separable , M ( A ) es B ( H ), el C * -algebra de todos los operadores acotados sobre H .
Se dice que un I ideal en un C * -álgebra B es esencial si I ∩ J no es trivial para todo J ideal . Un ideal I es esencial si y solo si I ⊥ , el "complemento ortogonal" de I en el módulo B de Hilbert C * es {0}.
Sea A un C * -álgebra. Su álgebra multiplicadora M ( A ) es cualquier C * -álgebra que satisfaga la siguiente propiedad universal : para todo C * -álgebra D que contiene A como un ideal, existe un único * -homomorfismo φ: D → M ( A ) tal que φ extiende el homomorfismo de identidad en A y φ ( A ⊥ ) = {0}.
La unicidad hasta el isomorfismo está especificada por la propiedad universal. Cuando A es unital, M ( A ) = A . También se deduce de la definición que para cualquier D que contenga A como ideal esencial, el álgebra multiplicadora M ( A ) contiene D como una C * -subálgebra.
Un doble centralizador de un C * -algebra A es un par ( L , R ) de delimitado lineal mapas en A tal que aL ( b ) = R ( un ) b para todos una y b en A . Esto implica que || L || = || R ||. Al conjunto de centralizadores dobles de A se le puede dar una estructura de C * -álgebra. Este álgebra C * contiene A como un ideal esencial y se puede identificar como el álgebra multiplicadora M ( A). Por ejemplo, si A son los operadores compactos K ( H ) en un espacio de Hilbert separable, entonces cada x ∈ B ( H ) define un doble centralizador de A simplemente multiplicando de izquierda a derecha.