Los módulos C * de Hilbert son objetos matemáticos que generalizan la noción de un espacio de Hilbert (que en sí mismo es una generalización del espacio euclidiano ), en el sentido de que dotan a un espacio lineal con un " producto interno " que toma valores en un álgebra C * . Hilbert C * -modules se introdujeron primero en el trabajo de Irving Kaplansky en 1953 , que se desarrolló la teoría para conmutativos , álgebra unital (aunque Kaplansky observó que la suposición de un elemento de unidad no era "vital"). [1]En la década de 1970, William Lindall Paschke [2] y Marc Rieffel extendieron la teoría a álgebras C * no conmutativas de forma independiente , este último en un artículo que utilizó módulos C * de Hilbert para construir una teoría de representaciones inducidas de C * - álgebras. [3] Los módulos C * de Hilbert son cruciales para la formulación de la teoría KK de Kasparov , [4] y proporcionan el marco adecuado para extender la noción de equivalencia de Morita a las álgebras C *. [5] Pueden verse como la generalización de paquetes vectoriales a álgebras C * no conmutativas y, como tales, desempeñan un papel importante en la geometría no conmutativa , especialmente en la teoría de grupos cuántica algebraica C * , [6] [7] y el grupo C * -álgebras.
Definiciones
Módulos A internos del producto
Sea A un C * -álgebra (no se supone que sea conmutativa o unital), su involución denotada por *. Un interior-producto A -módulo (o pre-Hilbert A -módulo ) es un complejo espacio lineal E que está equipado con un derecho compatible A -module estructura, junto con un mapa
que satisface las siguientes propiedades:
- Para todo x , y , z en E y α, β en C :
- ( es decir, el producto interno es lineal en su segundo argumento).
- Para todo x , y en E y a en A :
- Para todo x , y en E :
- de lo cual se sigue que el producto interno es lineal conjugado en su primer argumento ( es decir , es una forma sesquilínea ).
- Para todo x en E :
- y
- (Se dice que un elemento de un C * -álgebra A es positivo si es autoadjunto con un espectro no negativo ). [8] [9]
Módulos Hilbert A
Un análogo a la desigualdad de Cauchy-Schwarz se mantiene para un centro de la producto A -módulo E : [10]
para x , y en E .
En el módulo E anterior a Hilbert , defina una norma por
Se dice que la terminación de la norma de E , todavía denotada por E , es un módulo A de Hilbert o un módulo C * de Hilbert sobre el álgebra A de C * . La desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que el producto interno es conjuntamente continuo en la norma y, por lo tanto, puede extenderse hasta la terminación.
La acción de A sobre E es continua: para todo x en E
De manera similar, si { e λ } es una unidad aproximada para A (una red de elementos autoadjuntos de A para los cuales ae λ y e λ a tienden a a para cada a en A ), entonces para x en E
de donde se sigue que EA es denso en E , y x 1 = x cuando A es unital.
Dejar
entonces el cierre de < E , E > es un ideal a dos caras en una . Los ideales de dos caras son C * -subálgebras y, por lo tanto, poseen unidades aproximadas. Se puede comprobar que E < E , E > es denso en E . En el caso de que < E , E > sea denso en A , se dice que E está lleno . Por lo general, esto no se sostiene.
Ejemplos de
Espacios de Hilbert
Un espacio de Hilbert complejo H es un módulo C de Hilbert bajo su producto interno, siendo los números complejos un C * -álgebra con una involución dada por conjugación compleja .
Paquetes de vectores
Si X es un espacio de Hausdorff localmente compacto y E un paquete vectorial sobre X con una métrica riemanniana g , entonces el espacio de secciones continuas de E es un módulo C (X) de Hilbert . El producto interior viene dado por
El inverso mantiene así: Cada generado numerable Hilbert C * -module sobre un conmutativa C * -algebra A = C (X) es isomorfo al espacio de secciones de fuga en el infinito de un campo continuo de espacios de Hilbert más de X .
C * -álgebras
Cualquier C * -álgebra A es un módulo A de Hilbert bajo el producto interno < a , b > = a * b . Por la C * -identidad, los coincide norma módulo de Hilbert con C *-norma en una .
La suma directa (algebraica) de n copias de A
se puede convertir en un módulo A de Hilbert definiendo
También se puede considerar el siguiente subespacio de elementos en el producto directo contable de A
Dotado del producto interno obvio (análogo al de A n ), el módulo A de Hilbert resultante se denomina módulo de Hilbert estándar .
Ver también
Notas
- ^ Kaplansky, I. (1953). "Módulos sobre álgebras de operadores". Revista Estadounidense de Matemáticas . 75 (4): 839–853. doi : 10.2307 / 2372552 . JSTOR 2372552 .
- ^ Paschke, WL (1973). "Módulos internos de producto sobre B * -álgebras". Transacciones de la American Mathematical Society . 182 : 443–468. doi : 10.2307 / 1996542 . JSTOR 1996542 .
- ^ Rieffel, MA (1974). "Representaciones inducidas de C * -álgebras" . Avances en Matemáticas . 13 (2): 176–257. doi : 10.1016 / 0001-8708 (74) 90068-1 .
- ^ Kasparov, GG (1980). "Hilbert C * -módulos: teoremas de Stinespring y Voiculescu". Revista de teoría del operador . Fundación Theta. 4 : 133-150.
- ^ Rieffel, MA (1982). "Equivalencia de Morita para álgebras de operadores". Actas de simposios en matemáticas puras . Sociedad Matemática Estadounidense. 38 : 176-257.
- ^ Baaj, S .; Skandalis, G. (1993). "Unitaires multiplicatifs et dualité pour les produits croisés de C * -algèbres". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 26 (4): 425–488.
- ^ Woronowicz, SL (1991). "Elementos ilimitados afiliados a C * -álgebras y grupos cuánticos no compactos". Comunicaciones en Física Matemática . 136 (2): 399–432. Código Bibliográfico : 1991CMaPh.136..399W . doi : 10.1007 / BF02100032 .
- ^ Arveson, William (1976). Una invitación a C * -Álgebras . Springer-Verlag. pag. 35.
- ^ En el caso cuando A no es unital, el espectro de un elemento se calcula en el C * -algebra generada por junto a una unidad para A .
- ^ De hecho, este resultado es válido para losmódulos A semiproductos internos, que pueden tener elementos x distintos de cerotales que < x , x > = 0, ya que la prueba no se basa en lapropiedad de no degeneración .
Referencias
- Lance, E. Christopher (1995). Módulos Hilbert C *: un conjunto de herramientas para operadores algebristas . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Hilbert C * -Module" . MathWorld .
- Hilbert C * -Modules Home Page , una lista de literatura