En matemáticas , topología no conmutativa es un término utilizado para la relación entre conceptos topológicos y C * -algebraicos . El término tiene su origen en el teorema de Gelfand-Naimark , lo que implica la dualidad de la categoría de localmente compactos espacios de Hausdorff y la categoría de conmutativa C * -álgebras. La topología no conmutativa está relacionada con la geometría analítica no conmutativa .
Ejemplos de
La premisa detrás de la topología no conmutativa es que un álgebra C * no conmutativa puede tratarse como el álgebra de funciones continuas de valores complejos en un "espacio no conmutativo" que no existe clásicamente. Varias propiedades topológicas se pueden formular como propiedades para las C * -álgebras sin hacer referencia a la conmutatividad o al espacio subyacente, por lo que tienen una generalización inmediata. Entre estos se encuentran:
- compacidad ( unital )
- σ-compacidad ( σ-unital )
- dimensión ( rango real o estable )
- conectividad (sin proyección )
- espacios extremadamente desconectados ( AW * -álgebras )
Los elementos individuales de un álgebra C * conmutativa se corresponden con funciones continuas. Y así, ciertos tipos de funciones pueden corresponder a ciertas propiedades de un álgebra C *. Por ejemplo, los elementos autoadjuntos de un álgebra C * conmutativa corresponden a funciones continuas de valor real. Además, las proyecciones (es decir, idempotentes autoadjuntos ) corresponden a funciones indicadoras de conjuntos abiertos .
Las construcciones categóricas conducen a algunos ejemplos. Por ejemplo, el coproducto de espacios es la unión disjunta y, por lo tanto, corresponde a la suma directa de álgebras , que es el producto de C * -álgebras. De manera similar, la topología del producto corresponde al coproducto de C * -álgebras, el producto tensorial de las álgebras . En un entorno más especializado, las compactaciones de topologías corresponden a unificaciones de álgebras. Así que la compactificación de un punto corresponde a la unificación mínima de C * -álgebras, la compactificación de Stone-Čech corresponde al álgebra multiplicadora , y los conjuntos de coronas se corresponden con álgebras de corona .
Hay ciertos ejemplos de propiedades donde son posibles múltiples generalizaciones y no está claro cuál es preferible. Por ejemplo, las medidas de probabilidad pueden corresponder a estados o estados traciales. Dado que todos los estados son estados vacuosamente traciales en el caso conmutativo, no está claro si la condición tracial es necesaria para ser una generalización útil.
K-teoría
Uno de los principales ejemplos de esta idea es la generalización de la teoría K topológica a álgebras C * no conmutativas en forma de teoría K del operador .
Un desarrollo adicional en esto es una versión bivariante de la teoría K llamada teoría KK , que tiene un producto de composición
de los cuales la estructura del anillo en la teoría K ordinaria es un caso especial. El producto da la estructura de una categoría a KK. Se ha relacionado con correspondencias de variedades algebraicas . [1]
Referencias
- ^ Connes, Alain ; Consani, Caterina ; Marcolli, Matilde (2007), "Geometría y motivos no conmutativos: la termodinámica de endomotores", Advances in Mathematics , 214 (2): 761–831, arXiv : math.QA/0512138 , doi : 10.1016 / j.aim.2007.03. 006 , MR 2349719