En el área de las matemáticas conocidas como la teoría de grupos , el teorema de correspondencia , [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] a veces referido como el cuarto teorema de isomorfismo [6] [ 9] [nota 1] [nota 2] o las enrejado teorema , [10] indica que sies un subgrupo normal de un grupo , Entonces existe una biyección entre el conjunto de todos los subgrupos de conteniendo , En el conjunto de todos los subgrupos de la grupo cociente . La estructura de los subgrupos de es exactamente la misma que la estructura de los subgrupos de conteniendo , con colapsado al elemento de identidad .
En concreto, si
- G es un grupo,
- N es un subgrupo normal de G ,
- es el conjunto de todos los subgrupos A de G tal que , y
- es el conjunto de todos los subgrupos de G / N ,
entonces hay un mapa biyectivo tal que
- para todos
Uno tiene, además, que si A y B están enY A '= A / N y B' = B / N , a continuación,
- si y solo si ;
- Si luego , dónde es el índice de A en B (el número de clases laterales bA de A en B );
- dónde es el subgrupo de generada por
- , y
- es un subgrupo normal de si y solo si es un subgrupo normal de .
Esta lista está lejos de ser exhaustiva. De hecho, la mayoría de las propiedades de los subgrupos se conservan en sus imágenes bajo la biyección en subgrupos de un grupo cociente.
De manera más general, existe una conexión monótona de Galois entre el retículo de subgrupos de (no necesariamente contiene ) Y el retículo de subgrupos de : el adjunto inferior de un subgrupo de es dado por y el adjunto superior de un subgrupo de es una propuesta por . El asociado operador cierre en subgrupos de es ; el asociado operador kernel en subgrupos de es la identidad.
Resultados similares son válidas para anillos , módulos , espacios vectoriales , y álgebras .
Ver también
Notas
- ^ Algunos autores utilizan "cuarto teorema de isomorfismo" para designar el Zassenhaus lema ; véase, por ejemplo, por Alperin & Bell (Pág. 13) o Robert Wilson (2009). Los grupos finitos simples . Saltador. pag. 7 . ISBN 978-1-84800-988-2.
- ^ Dependiendo de cómo se cuenten los teoremas del isomorfismo , el teorema de correspondencia también se puede llamar el tercer teorema del isomorfismo; véase, por ejemplo HE Rose (2009), p. 78.
Referencias
- ^ Derek John Scott Robinson (2003). Una introducción al álgebra abstracta . Walter de Gruyter. pag. 64 . ISBN 978-3-11-017544-8.
- ^ Humphreys JF (1996). Un curso de teoría de grupos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 65 . ISBN 978-0-19-853459-4.
- ^ HE Rose (2009). Un curso sobre grupos finitos . Saltador. pag. 78 . ISBN 978-1-84882-889-6.
- ^ JL Alperin; Rowen B. Bell (1995). Grupos y Representaciones . Saltador. pag. 11 . ISBN 978-1-4612-0799-3.
- ^ I. Martin Isaacs (1994). Álgebra: un curso de posgrado . American Mathematical Soc. pag. 35 . ISBN 978-0-8218-4799-2.
- ^ a b Joseph Rotman (1995). Una introducción a la teoría de grupos (4ª ed.). Saltador. págs. 37 –38. ISBN 978-1-4612-4176-8.
- ^ Keith W. Nicholson (2012). Introducción al álgebra abstracta (4ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 352. ISBN 978-1-118-31173-8.
- ^ Steven Romano (2011). Fundamentos de la Teoría de Grupos: Un Enfoque avanzada . Springer Science & Business Media. págs. 113-115. ISBN 978-0-8176-8301-6.
- ^ Jonathan K. Hodge; Steven Schlicker; Ted Sundstrom (2013). Resumen Álgebra: Un Enfoque Inquiry Based . Prensa CRC. pag. 425. ISBN 978-1-4665-6708-5.
- ^ WR de Scott: Teoría de Grupos , Prentice Hall, 1964, p. 27.