Medir (matemáticas)
Medir es un concepto fundamental de las matemáticas . Las medidas proporcionan una abstracción matemática para nociones comunes como masa , distancia / longitud , área , volumen , probabilidad de eventos y, después de algunos ajustes , carga eléctrica . Estos conceptos aparentemente distintos son innatamente muy similares y, en muchos casos, pueden tratarse como matemáticamente indistinguibles. Las medidas son fundamentales en la teoría de la probabilidad . Las generalizaciones de medida de gran alcance se utilizan ampliamente en la física cuántica y en la física en general.
La intuición detrás de este concepto se remonta a la Antigua Grecia, cuando Arquímedes intentó calcular el área de un círculo. Pero no fue hasta finales del siglo XIX y principios del XX que la teoría de la medida se convirtió en una rama de las matemáticas. Las bases de la teoría de la medida moderna se establecieron en las obras de Émile Borel , Henri Lebesgue , Johann Radon , Constantin Carathéodory y Maurice Fréchet , entre otros.
Deje que X sea un set y Σ una σ -álgebra sobre X . Una función μ de Σ a la recta numérica real extendida se llama medida si satisface las siguientes propiedades:
Si al menos un conjunto tiene medida finita, entonces el requisito se cumple automáticamente. De hecho, por aditividad contable,
y por lo tanto
Si se omite la condición de no negatividad pero se cumplen la segunda y la tercera de estas condiciones, y μ toma como máximo uno de los valores ± ∞ , entonces μ se denomina medida con signo .
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