En matemáticas , la teoría espectral de las ecuaciones diferenciales ordinarias es la parte de la teoría espectral que se ocupa de la determinación del espectro y la expansión de las funciones propias asociadas con una ecuación diferencial ordinaria lineal . En su disertación, Hermann Weyl generalizó la teoría clásica de Sturm-Liouville en un intervalo cerrado finito a operadores diferenciales de segundo orden .con singularidades en los puntos finales del intervalo, posiblemente semi-infinito o infinito. A diferencia del caso clásico, el espectro ya no puede consistir solo en un conjunto contable de valores propios, sino que también puede contener una parte continua. En este caso, la expansión de la función propia implica una integral sobre la parte continua con respecto a una medida espectral , dada por la fórmula de Titchmarsh - Kodaira . La teoría fue puesta en su forma simplificada final para ecuaciones diferenciales singulares de grado aún por Kodaira y otros, el uso de von Neumann 's teorema espectral . Ha tenido importantes aplicaciones en mecánica cuántica , teoría de operadores yAnálisis armónico en grupos de Lie semisimple .
Introducción
La teoría espectral para ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en un intervalo compacto fue desarrollada por Jacques Charles François Sturm y Joseph Liouville en el siglo XIX y ahora se conoce como teoría de Sturm-Liouville . En lenguaje moderno es una aplicación del teorema espectral para operadores compactos de David Hilbert . En su disertación, publicada en 1910, Hermann Weyl extendió esta teoría a ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con singularidades en los puntos finales del intervalo, que ahora se permite que sean infinitas o semiinfinitas. Simultáneamente, desarrolló una teoría espectral adaptada a estos operadores especiales e introdujo condiciones de frontera en términos de su célebre dicotomía entre puntos límite y círculos límite .
En la década de 1920, John von Neumann estableció un teorema espectral general para operadores autoadjuntos ilimitados , que Kunihiko Kodaira utilizó para simplificar el método de Weyl. Kodaira también generalizó el método de Weyl a ecuaciones diferenciales ordinarias singulares de orden par y obtuvo una fórmula simple para la medida espectral . EC Titchmarsh también había obtenido la misma fórmula de forma independiente en 1946 (la comunicación científica entre Japón y el Reino Unido había sido interrumpida por la Segunda Guerra Mundial ). Titchmarsh había seguido el método del matemático alemán Emil Hilb , quien derivó las expansiones de las funciones propias utilizando la teoría de funciones complejas en lugar de la teoría del operador . Otros métodos que evitan el teorema espectral fueron desarrollados posteriormente de forma independiente por Levitan, Levinson y Yoshida, quienes utilizaron el hecho de que el resolutivo del operador diferencial singular podía aproximarse mediante resolutivos compactos correspondientes a los problemas de Sturm-Liouville para subintervalos adecuados. Mark Grigoryevich Kerin encontró otro método ; Posteriormente, Izrail Glazman generalizó su uso de funcionales de dirección a ecuaciones diferenciales ordinarias arbitrarias de orden par.
Weyl aplicó su teoría a Carl Friedrich Gauss 's ecuación diferencial hipergeométrica , obteniendo así una generalización de largo alcance de la fórmula transformar de Gustav Ferdinand Mehler (1881) para la ecuación diferencial de Legendre , redescubierto por el físico ruso Vladimir Fock en 1943, y por lo general llamada la transformada de Mehler-Fock . El operador diferencial ordinario correspondiente es la parte radial del operador laplaciano en el espacio hiperbólico bidimensional . De manera más general, el teorema de Plancherel para SL (2, R) de Harish Chandra y Gelfand - Naimark se puede deducir de la teoría de Weyl para la ecuación hipergeométrica, al igual que la teoría de funciones esféricas para los grupos de isometría de espacios hiperbólicos de dimensiones superiores. El desarrollo posterior de Harish Chandra del teorema de Plancherel para grupos de Lie semisimplejos reales generales estuvo fuertemente influenciado por los métodos que Weyl desarrolló para las expansiones de funciones propias asociadas con ecuaciones diferenciales ordinarias singulares. Igualmente importante, la teoría también sentó las bases matemáticas para el análisis de la ecuación de Schrödinger y la matriz de dispersión en la mecánica cuántica .
Soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias
Reducción a forma estándar
Sea D el operador diferencial de segundo orden en (a, b) dado por
donde p es una función continuamente diferenciable y estrictamente positivo q y r son funciones continuas valores reales.
Para x 0 en ( a , b ), defina la transformación de Liouville ψ por
Si
es el operador unitario definido por
luego
y
Por eso,
dónde
y
El término en g ' puede eliminarse utilizando un factor de integración de Euler . Si S ' / S = - R / 2, entonces h = Sg satisface
donde el potencial V viene dado por
Por tanto, el operador diferencial siempre se puede reducir a una de las formas [1]
Teorema de existencia
La siguiente es una versión del clásico teorema de existencia Picard para la segunda orden de ecuaciones diferenciales con valores en un espacio de Banach E . [2]
Deje α, beta ser elementos arbitrarios de E , A un operador acotado en E y q una función continua en [ a , b ].
Entonces, para c = a o b , la ecuación diferencial
- Df = Af
tiene una solución única f en C 2 ([ a , b ], E ) que satisface las condiciones iniciales
- f ( c ) = β, f '( c ) = α.
De hecho, una solución de la ecuación diferencial con estas condiciones iniciales equivale a una solución de la ecuación integral
- f = h + T f
con T el mapa lineal acotado en C ([ a , b ], E ) definido por
donde K es el kernel de Volterra
- K ( x , t ) = ( x - t ) ( q ( t ) - A )
y
- h ( x ) = α ( x - c ) + β.
Desde || T k || tiende a 0, esta ecuación integral tiene una solución única dada por la serie de Neumann
- f = ( I - T ) −1 h = h + T h + T 2 h + T 3 h + ···
Este esquema iterativo a menudo se llama iteración de Picard en honor al matemático francés Charles Émile Picard .
Funciones propias fundamentales
Si f es dos veces diferenciable de forma continua (es decir, C 2 ) en ( a , b ) y satisface Df = λ f , entonces f se denomina función propia de L con valor propio λ.
- En el caso de un intervalo compacto [ a , b ], y q continua en [ a , b ], la existencia teorema implica que para c = una o b y cada número complejo λ hay un único C 2 función propia f λ en [ un , b ] con f λ (c) yf ' λ (c) prescritas. Además, para cada x en [ a , b ], f λ (x) y f ' λ (x) son funciones holomórficas de λ.
- Para un intervalo arbitrario ( a , b ) yq continuos en ( a , b ), el teorema de existencia implica que para c en ( a , b ) y cada número complejo λ existe una función propia C 2 única f λ en ( a , b ) con f λ (c) y f ' λ (c) prescritas. Además, para cada x en ( a , b ), f λ (x) y f ' λ (x) son funciones holomórficas de λ.
Fórmula de Green
Si f y g son funciones C 2 en ( a , b ), la Wronskiana W ( f , g ) está definida por
- W ( f , g ) (x) = f ( x ) g '( x ) - f ' ( x ) g ( x ).
La fórmula de Green, que en este caso unidimensional es una integración simple por partes, establece que para x , y en ( a , b )
Cuando q es continua y f , g C 2 en el intervalo compacto [ a , b ], esta fórmula también es válida para x = a o y = b .
Cuando f y g son funciones propias para el mismo valor propio, entonces
de modo que W ( f , g ) es independiente de x .
Teoría clásica de Sturm-Liouville
Sea [ a , b ] un intervalo cerrado finito, q una función continua de valor real en [ a , b ] y sea H 0 el espacio de las funciones C 2 f en [ a , b ] que satisfacen las condiciones de frontera de Robin
con producto interior
En la práctica, suele ser una de las dos condiciones de contorno estándar:
- Condición de frontera de Dirichlet f ( c ) = 0
- Condición de frontera de Neumann f '( c ) = 0
se impone en cada punto final c = a , b .
El operador diferencial D dado por
actúa sobre H 0 . Una función f en H 0 se denomina función propia de D (para la elección anterior de valores límite) si Df = λ f para algún número complejo λ, el valor propio correspondiente . Según la fórmula de Green, D es formalmente autoadjunta en H 0 , ya que el Wronskiano W (f, g) desaparece si ambos f, g satisfacen las condiciones de contorno:
- ( Df , g ) = ( f , Dg ) para f , g en H 0 .
Como consecuencia, exactamente como para una matriz autoadjunta en dimensiones finitas,
- los valores propios de D son reales;
- los espacios propios para valores propios distintos son ortogonales .
Resulta que los valores propios se pueden describir mediante el principio máximo-mínimo de Rayleigh - Ritz [3] (ver más abajo). De hecho, es fácil ver a priori que los valores propios están delimitados por debajo porque el operador D está delimitado por debajo en H 0 :
- para alguna constante finita (posiblemente negativa) .
De hecho integrando por partes
Para las condiciones de frontera de Dirichlet o Neumann, el primer término desaparece y la desigualdad se mantiene con M = inf q .
Para condiciones generales de frontera de Robin, el primer término se puede estimar utilizando una versión elemental de Peter-Paul de la desigualdad de Sobolev :
- " Dado ε> 0, hay una constante R> 0 tal que | f (x) | 2 ≤ ε (f ', f') + R (f, f) para todo f en C 1 [a, b] " .
De hecho, desde
- | f ( b ) - f ( x ) | ≤ ( b - a ) ½ · || f '|| 2 ,
sólo se necesita una estimación para f ( b ) y esto sigue reemplazando f ( x ) en la desigualdad anterior por ( x - a ) n · ( b - a ) - n · f ( x ) para n suficientemente grande.
Función de Green (caso regular)
De la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, hay funciones propias fundamentales únicas φ λ (x), χ λ (x) tales que
- D φ λ = λ φ λ , φ λ ( a ) = sin α, φ λ '( a ) = cos α
- D χ λ = λ χ λ , χ λ ( b ) = sen β, χ λ '( b ) = cos β
que en cada punto, junto con sus primeras derivadas, dependen holomórficamente de λ. Dejar
- ω (λ) = W (φ λ , χ λ ),
ser una función holomórfica completa .
Este ω función (λ) desempeña el papel del polinomio característico de D . De hecho, la unicidad de las funciones propias fundamentales implica que sus ceros son precisamente los valores propios de D y que cada espacio propio distinto de cero es unidimensional. En particular, hay como máximo numerablemente muchos valores propios de D y, si hay infinitos, deben tender al infinito. Resulta que los ceros de ω (λ) también tienen mutilplicidad uno (ver más abajo).
Si λ no es un valor propio de D en H 0 , defina la función de Green por
- G λ ( x , y ) = φ λ ( x ) χ λ ( y ) / ω (λ) para x ≥ y y χ λ ( x ) φ λ ( y ) / ω (λ) para y ≥ x .
Este kernel define un operador en el espacio de producto interno C [ a , b ] a través de
Dado que G λ ( x , y ) es continua en [ a , b ] x [ a , b ], define un operador de Hilbert-Schmidt en la terminación del espacio de Hilbert H de C [ a , b ] = H 1 (o equivalentemente de el subespacio denso H 0 ), tomando valores en H 1 . Este operador lleva H 1 a H 0 . Cuando λ es real, G λ ( x , y ) = G λ ( y , x ) es también real, por lo que define un operador autoadjunta en H . Es más,
- G λ ( D - λ) = I en H 0
- G λ lleva H 1 a H 0 , y ( D - λ) G λ = I en H 1 .
Por tanto, el operador G λ se puede identificar con el resolutivo ( D - λ) −1 .
Teorema espectral
Teorema. Los autovalores de D son reales de multiplicidad uno y forman una secuencia creciente λ 1 <λ 2 <··· tendiente al infinito.
Las funciones propias normalizadas correspondientes forman una base ortonormal de H 0 .
El k-ésimo valor propio de D viene dado por el principio minimax
En particular, si q 1 ≤ q 2 , entonces
De hecho, sea T = G λ para λ grande y negativo. Entonces T define un operador autoadjunto compacto en el espacio H de Hilbert . Según el teorema espectral para operadores autoadjuntos compactos, H tiene una base ortonormal que consta de vectores propios ψ n de T con T ψ n = μ n ψ n , donde μ n tiende a cero. El rango de T contiene H 0, por lo que es denso. Por lo tanto 0 no es un valor propio de T . Las propiedades resolutivas de T implican que ψ n se encuentra en H 0 y que
- D ψ norte = (λ + 1 / μ norte ) ψ norte
El principio minimax sigue porque si
entonces λ ( G ) = λ k para el tramo lineal de las primeras k - 1 funciones propias. Para cualquier otro ( k - 1) subespacio -dimensional G , algunos f en el lapso lineal de los primeros k vectores propios debe ser ortogonal a G . Por tanto, λ ( G ) ≤ ( Df , f ) / ( f , f ) ≤ λ k .
Wronskian como determinante de Fredholm
Para simplificar, suponga que m ≤ q ( x ) ≤ M en [0, π] con condiciones de frontera de Dirichlet. El principio minimax muestra que
De ello se deduce que el resolutivo ( D - λ) −1 es un operador de clase de rastreo siempre que λ no es un valor propio de D y, por tanto, se define el determinante de Fredholm det I - μ ( D - λ) −1 .
Las condiciones de frontera de Dirichlet implican que
- ω (λ) = φ λ ( b ).
Usando la iteración de Picard, Titchmarsh mostró que φ λ ( b ), y por lo tanto ω (λ), es una función completa de orden finito 1/2:
- ω (λ) = O (e √ | λ | )
A cero μ de ω (λ), φ μ ( b ) = 0. Además,
satisface ( D - μ) ψ = φ μ . Por lo tanto
- ω (λ) = (λ - μ) ψ ( b ) + O ((λ - μ) 2 ).
Esto implica que [4]
- μ es un cero simple de ω (λ).
En caso contrario, ψ ( b ) = 0, por lo que ψ tendría que estar en H 0 . Pero entonces
- (φ μ , φ μ ) = (( D - μ) ψ, φ μ ) = (ψ, ( D - μ) φ μ ) = 0,
una contradicción.
Por otro lado, la distribución de los ceros de toda la función ω (λ) ya se conoce por el principio minimax.
Según el teorema de factorización de Hadamard , se deduce que [5]
para alguna constante C distinta de cero .
Por eso
En particular, si 0 no es un valor propio de D
Herramientas de la teoría espectral abstracta
Funciones de variación acotada
Una función ρ ( x ) de variación acotada [6] en un intervalo cerrado [ a , b ] es una función de valor complejo tal que su variación total V (ρ), el supremo de las variaciones
sobre todas las disecciones
es finito. Las partes real e imaginaria de ρ son funciones de variación acotada de valor real. Si ρ tiene un valor real y está normalizado de modo que ρ (a) = 0, tiene una descomposición canónica como la diferencia de dos funciones no decrecientes acotadas:
donde ρ + ( x ) y ρ - ( x ) son la variación total positiva y negativa de ρ sobre [ a , x ].
Si f es una función continua en [ a , b ] su integral de Riemann-Stieltjes con respecto a ρ
se define como el límite de sumas aproximadas
como la malla de la disección, dada por sup | x r +1 - x r |, tiende a cero.
Esta integral satisface
y así define un funcional lineal acotado d ρ en C [ a , b ] con norma || d ρ || = V (ρ).
Cada μ funcional lineal acotada en C [ a , b ] tiene un valor absoluto | μ | definido para f no negativo por [7]
La forma | μ | se extiende linealmente a una forma lineal acotada en C [ a , b ] con norma || μ || y satisface la desigualdad que caracteriza
- | μ ( f ) | ≤ | μ | (| f |)
para f en C [ a , b ]. Si μ es real , es decir, tiene un valor real en funciones de valor real, entonces
da una descomposición canónica como una diferencia de formas positivas , es decir, formas que no son negativas en funciones no negativas.
Cada forma positiva μ se extiende únicamente al intervalo lineal de funciones semicontinuas inferiores acotadas no negativas g por la fórmula [8]
donde las funciones continuas no negativas f n aumentan puntualmente ag .
Por tanto, lo mismo se aplica a una forma lineal acotada arbitraria μ, de modo que una función ρ de variación acotada puede definirse mediante [9]
donde χ A denota la función característica de un subconjunto A de [ a , b ]. Así μ = d ρ y || μ || = || d ρ ||. Además μ + = d ρ + y μ - = d ρ - .
Esta correspondencia entre funciones de variación limitada y formas lineales limitadas es un caso especial del teorema de representación de Riesz .
El soporte de μ = d ρ es el complemento de todos los puntos x en [ a , b ] donde ρ es constante en algún vecindario de x ; por definición, es un subconjunto cerrado A de [ a , b ]. Por otra parte, μ ((1-χ A ) f ) = 0, de modo que μ ( f ) = 0 si f anula en A .
Medida espectral
Sea H un espacio de Hilbert yun operador acotado autoadjunto en H con, para que el espectro de está contenido en . Sies un polinomio complejo, entonces por el teorema de mapeo espectral
y por lo tanto
dónde denota la norma uniforme en. Según el teorema de aproximación de Weierstrass , los polinomios son uniformemente densos en. Resulta que Puede ser definido , con
- y .
Si es una función semicontinua inferior en , por ejemplo la función característica de un subintervalo de , luego es un límite creciente puntual de valores no negativos .
Según Szőkefalvi-Nagy , [10] sies un vector en H , entonces los vectores
forman una secuencia de Cauchy en H , ya que, para,
y es acotado y creciente, por lo que tiene un límite.
Resulta que puede ser definido por [11]
- .
Si y son vectores en H , entonces
define una forma lineal acotada en H . Por el teorema de representación de Riesz
para una función normalizada única de variación acotada en .
(o, a veces, ligeramente incorrectamente sí mismo) se llama la medida espectral determinada por y .
El operador en consecuencia, se caracteriza únicamente por la ecuación
La proyección espectral es definido por
así que eso
Resulta que
que se entiende en el sentido de que para cualquier vector y ,
Por un solo vector es una forma positiva en (en otras palabras, proporcional a una medida de probabilidad en) y es no negativo y no decreciente. La polarización muestra que todas las formas puede expresarse naturalmente en términos de tales formas positivas, ya que
Si el vector es tal que el lapso lineal de los vectoreses denso en H , es decires un vector cíclico para, luego el mapa definido por
satisface
Dejar denotar la terminación del espacio de Hilbert de asociado con el producto interno posiblemente degenerado en el lado derecho. [12] Asíse extiende a una transformación unitaria deen H . es entonces solo multiplicación por en ; y mas en general es la multiplicación por . En este caso, el apoyo de es exactamente , así que eso
- el operador autoadjunto se convierte en un operador de multiplicación en el espacio de funciones en su espectro con el producto interno dado por la medida espectral .
Teoría de Weyl-Titchmarsh-Kodaira
La expansión de función propia asociada con operadores diferenciales singulares de la forma
en un intervalo abierto ( un , b ) requiere un análisis inicial del comportamiento de las funciones propias fundamentales cerca de los puntos finales de una y b para determinar las posibles condiciones de contorno allí. A diferencia del caso regular de Sturm-Liouville, en algunas circunstancias los valores espectrales de D pueden tener multiplicidad 2. En el desarrollo se describe a continuación supuestos estándar se impondrán a p y q que garantía de que el espectro de D tiene una multiplicidad de todo el mundo y está limitada hacia abajo. Esto incluye casi todas las aplicaciones importantes; las modificaciones necesarias para el caso más general se discutirán más adelante.
Habiendo elegido las condiciones de contorno, como en la teoría clásica, el resolutivo de D , ( D + R ) −1 para R grande y positivo, viene dado por un operador T correspondiente a una función de Green construida a partir de dos funciones propias fundamentales. En el caso clásico, T era un operador autoadjunto compacto; en este caso T es sólo un operador acotado autoadjunta con 0 ≤ T ≤ I. La teoría abstracta de medida espectral, por lo tanto se puede aplicar a T para dar la expansión función propia para D .
La idea central en la demostración de Weyl y Kodaira puede explicarse informalmente como sigue. Suponga que el espectro de D se encuentra en [1, ∞) y que T = D −1 y sea
sea la proyección espectral de D correspondiente al intervalo [1, λ]. Para una función arbitraria f defina
f ( x , λ) puede considerarse como un mapa diferenciable en el espacio de funciones de variación acotada ρ; o equivalentemente como un mapa diferenciable
en el espacio de Banach E de funcionales lineales acotados d ρ en C [α, β] siempre que [α, β] sea un subintervalo compacto de [1, ∞).
La observación fundamental de Weyl fue que d λ f satisface una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que toma valores en E :
Después de imponer condiciones iniciales a las dos primeras derivadas en un punto fijo c , esta ecuación se puede resolver explícitamente en términos de las dos funciones propias fundamentales y las funciones del "valor inicial"
Este punto de vista ahora se puede dar la vuelta: f ( c , λ) y f x ( c , λ) se pueden escribir como
donde ξ 1 (λ) y ξ 2 (λ) se dan puramente en términos de las funciones propias fundamentales. Las funciones de variación acotada
determinar una medida espectral en el espectro de D y se puede calcular explícitamente a partir del comportamiento de las funciones propias fundamentales (la fórmula de Titchmarsh-Kodaira).
Círculo límite y punto límite para ecuaciones singulares
Sea q ( x ) una función continua de valor real en (0, ∞) y sea D el operador diferencial de segundo orden
en (0, ∞). Fije un punto c en (0, ∞) y, para el complejo λ, dejeser las funciones propias fundamentales únicas de D en (0, ∞) satisfaciendo
junto con las condiciones iniciales en c
Entonces su Wronskian satisface
ya que es constante e igual a 1 en c .
Sea λ no real y 0 < x <∞. Si el número complejo es tal que satisface la condición de frontera para algunos (o equivalente, es real) entonces, utilizando la integración por partes, se obtiene
Por tanto, el conjunto de satisfacer esta ecuación no está vacío. Este conjunto es un círculo en el complejo.-avión. Puntos en su interior se caracterizan por
si x > c y por
si x < c .
Sea D x el disco cerrado encerrado por el círculo. Por definición, estos discos cerrados están anidados y disminuyen a medida que x se acerca a 0 o ∞. Entonces, en el límite, los círculos tienden a un círculo límite o un punto límite en cada extremo. Si es un punto límite o un punto en el círculo límite en 0 o ∞, entonces es cuadrado integrable (L 2 ) cerca de 0 o ∞, ya quese encuentra en D x para todo x> c (en el caso ∞) y asíestá acotado independientemente de x . En particular: [13]
- siempre hay soluciones distintas de cero de Df = λf que son cuadradas integrables cerca de 0 resp. ∞ ;
- en el caso del círculo límite, todas las soluciones de Df = λf son cuadradas integrables cerca de 0 resp. ∞ .
El radio del disco D x se puede calcular para ser
y esto implica que en el caso del punto límite no puede ser cuadrado integrable cerca de 0 resp. ∞. Por lo tanto, tenemos una recíproca a la segunda declaración anterior:
- en el caso del punto límite hay exactamente una solución distinta de cero (hasta múltiplos escalares) de Df = λf que es cuadrado integrable cerca de 0 resp. ∞ .
Por otro lado, si Dg = λ ' g para otro valor λ', entonces
satisface Dh = λ h , de modo que
Esta fórmula también se puede obtener directamente mediante la variación del método constante de (D-λ) g = (λ'-λ) g. Usando esto para estimar g , se deduce que [13]
- el comportamiento del punto límite / círculo límite en 0 o ∞ es independiente de la elección de λ .
De manera más general, si Dg = (λ - r ) g para alguna función r ( x ), entonces [14]
De esto se deduce que [14]
- si r es continuo en 0, entonces D + r es el punto límite o el círculo límite en 0 precisamente cuando D es ,
de modo que en particular [15]
- si q (x) - a / x 2 es continuo en 0, entonces D es el punto límite en 0 si y solo si a ≥ ¾ .
similar
- si r tiene un límite finito en ∞, entonces D + r es el punto límite o el círculo límite en ∞ precisamente cuando D es ,
de modo que en particular [16]
- si q tiene un límite finito en ∞, entonces D es el punto límite en ∞ .
En la literatura matemática se pueden encontrar muchos criterios más elaborados para ser punto límite o círculo límite.
Función de Green (caso singular)
Considere el operador diferencial
en (0, ∞) con q 0 positivo y continuo en (0, ∞) y p 0 continuamente diferenciable en [0, ∞), positivo en (0, ∞) y p 0 (0) = 0.
Además, suponga que después de la reducción a la forma estándar D 0 se convierte en el operador equivalente
en (0, ∞) donde q tiene un límite finito en ∞. Por lo tanto
- D es el punto límite en ∞ .
En 0, D puede ser un círculo límite o un punto límite. En cualquier caso, hay una función propia Φ 0 con D Φ 0 = 0 y Φ 0 cuadrado integrable cerca de 0. En el caso del círculo límite, Φ 0 determina una condición de frontera en 0:
Para el complejo λ, deje que Φ λ y Χ λ satisfagan
- ( D - λ) Φ λ = 0, ( D - λ) Χ λ = 0
- Χ λ cuadrado integrable cerca del infinito
- Φ λ cuadrado integrable en 0 si 0 es el punto límite
- Φ λ satisface la condición de contorno anterior si 0 es el círculo límite .
Dejar
una constante que desaparece precisamente cuando Φ λ y Χ λ son proporcionales, es decir, λ es un valor propio de D para estas condiciones de contorno.
Por otro lado, esto no puede ocurrir si Im λ ≠ 0 o si λ es negativo. [13]
De hecho, si D f = λ f con q 0 - λ ≥ δ> 0, entonces según la fórmula de Green ( Df , f ) = ( f , Df ), ya que W ( f , f * ) es constante. Entonces λ debe ser real. Si f se toma como valor real en la realización D 0 , entonces para 0 < x < y
Como p 0 (0) = 0 y f es integrable cerca de 0, p 0 f f 'debe desaparecer en 0. Si se establece x = 0, se sigue que f ( y ) f ' ( y )> 0, de modo que f 2 es aumentando, contradiciendo la integrabilidad cuadrada de f cerca de ∞.
Por lo tanto, agregando un escalar positivo a q , se puede suponer que
- ω (λ) ≠ 0 cuando λ no está en [1, ∞) .
Si ω (λ) ≠ 0, la función de Green G λ ( x , y ) en λ está definida por
y es independiente de la elección de λ y Χ λ .
En los ejemplos habrá una tercera función propia "mala" Ψ λ definida y holomórfica para λ no en [1, ∞) tal que Ψ λ no satisface las condiciones de contorno ni en 0 ni en ∞. Esto significa que para λ no en [1, ∞)
- W (Φ λ , Ψ λ ) no está desapareciendo en ninguna parte;
- W (Χ λ , Ψ λ ) no está desapareciendo en ninguna parte.
En este caso, Χ λ es proporcional a Φ λ + m (λ) Ψ λ , donde
- m (λ) = - W (Φ λ , Χ λ ) / W (Ψ λ , Χ λ ).
Deje H 1 sea el espacio de las funciones continuas de cuadrado integrable en (0, ∞) y dejar H 0 sea
- el espacio de C 2 funciona f en (0, ∞) de soporte compacto si D es el punto límite en 0
- el espacio de C 2 funciona f en (0, ∞) con W ( f , Φ 0 ) = 0 en 0 y con f = 0 cerca de ∞ si D es el círculo límite en 0.
Defina T = G 0 por
Entonces T D = I en H 0 , D T = I en H 1 y el operador D está acotado abajo en H 0 :
Por lo tanto T es un operador acotado autoadjunta con 0 ≤ T ≤ I .
Formalmente T = D −1 . Los correspondientes operadores G λ definidos para λ no en [1, ∞) se pueden identificar formalmente con
y satisfacer G λ ( D - λ) = I en H 0 , ( D - λ) G λ = I en H 1 .
Teorema espectral y fórmula de Titchmarsh-Kodaira
Teorema . [13] [17] [18] Para cada número real λ sea ρ (λ) definido por la fórmula de Titchmarsh-Kodaira :
Entonces ρ (λ) es una función no decreciente semicontinua inferior de λ y si
entonces U define una transformación unitaria de L 2 (0, ∞) en L 2 ([1, ∞), dρ) tal que UDU −1 corresponde a la multiplicación por λ.
La transformación inversa U −1 está dada por
El espectro de D es igual al soporte de dρ.
Kodaira dio una versión simplificada [19] [20] de la prueba original de Weyl. [13] ( MH Stone había mostrado previamente [21] cómo parte del trabajo de Weyl podría simplificarse usando el teorema espectral de von Neumann).
De hecho, para T = D −1 con 0 ≤ T ≤ I , la proyección espectral E (λ) de T está definida por
También es la proyección espectral de D correspondiente al intervalo [1, λ].
Para f en H 1 defina
f ( x , λ) puede considerarse como un mapa diferenciable en el espacio de funciones ρ de variación acotada; o equivalentemente como un mapa diferenciable
en el espacio de Banach E de funcionales lineales acotados d ρ en C [α, β] para cualquier subintervalo compacto [α, β] de [1, ∞).
Los funcionales (o medidas) d λ f ( x ) satisfacen la siguiente ecuación diferencial ordinaria de segundo orden con valor E :
con condiciones iniciales en c en (0, ∞)
Si φ λ y χ λ son las funciones propias especiales adaptadas ac , entonces
Es más,
dónde
con
(Como sugiere la notación, ξ λ (0) y ξ λ (1) no dependen de la elección de z ).
Configuración
resulta que
Por otro lado, existen funciones holomorfas a (λ), b (λ) tales que
- φ λ + a (λ) χ λ es proporcional a Φ λ ;
- φ λ + b (λ) χ λ es proporcional a Χ λ .
Dado que W (φ λ , χ λ ) = 1, la función de Green está dada por
El cálculo directo [22] muestra que
donde la llamada matriz característica M ij ( z ) viene dada por
Por eso
lo que inmediatamente implica
(Este es un caso especial de la "fórmula de inversión de Stieltjes" .)
Estableciendo ψ λ (0) = φ λ y ψ λ (1) = χ λ , se deduce que
Esta identidad es equivalente al teorema espectral y la fórmula de Titchmarsh-Kodaira.
Aplicación a la ecuación hipergeométrica
La transformada de Mehler-Fock [23] [24] [25] se refiere a la expansión de la función propia asociada con el operador diferencial de Legendre D
en (1, ∞). Las funciones propias son las funciones de Legendre [26]
con valor propio λ ≥ 0. Las dos transformaciones de Mehler-Fock son [27]
y
(A menudo, esto se escribe en términos de la variable τ = √ λ ).
Mehler y Fock estudiaron este operador diferencial porque surgió como el componente radial del Laplaciano en el espacio hiperbólico bidimensional. De manera más general, [28] considere el grupo G = SU (1,1) que consta de matrices complejas de la forma
con determinante | α | 2 - | β | 2 = 1.
Aplicación al átomo de hidrógeno
Generalizaciones y enfoques alternativos
Una función de Weyl se puede definir en un punto final singular dando lugar a una versión singular de la teoría de Weyl-Titchmarsh-Kodaira. [29] Esto se aplica, por ejemplo, al caso de los operadores radiales de Schrödinger.
La teoría completa también puede extenderse al caso en el que se permite que los coeficientes sean medidas. [30]
Teoría de Gelfand-Levitan
Notas
- ↑ Titchmarsh , 1962 , p. 22
- ^ Dieudonné 1969 , Capítulo X.
- ^ Courant y Hilbert 1989
- ^ Titchmarsh 1962
- ^ Titchmarsh, EC (1939), Teoría de las funciones , Oxford University Press, §8.2.
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- ^ Loomis 1953 , págs. 30–31
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- ^ Riesz y Szőkefalvi-Nagy 1990 , p. 263
- ^ Este es un límite en la topología de operador fuerte .
- ^ Unproducto interno genuino se define en el cociente por el subespacio de funciones nulas, es decir, aquellos con . Alternativamente, en este caso, el apoyo de la medida es, por lo que el lado derecho define un producto interno (no degenerado) en .
- ^ a b c d e Error de harvnb de Weyl 1910 : objetivos múltiples (2 ×): CITEREFWeyl1910 ( ayuda )
- ↑ a b Bellman , 1969 , p. 116
- ^ Reed y Simon 1975 , p. 159
- ^ Reed y Simon 1975 , p. 154
- ^ Titchmarsh 1946 , Capítulo III.
- ^ Kodaira 1949 , págs. 935–936
- ^ Kodaira 1949 , págs. 929–932; para obtener detalles omitidos, consulte Kodaira 1950 , págs. 529–536
- ^ Dieudonné 1988
- ↑ Stone 1932 , Capítulo X.
- ^ Kodaira 1950 , págs. 534–535
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