Estructura compleja generalizada
En el campo de las matemáticas conocido como geometría diferencial , una estructura compleja generalizada es una propiedad de una variedad diferencial que incluye como casos especiales una estructura compleja y una estructura simpléctica . Las estructuras complejas generalizadas fueron introducidas por Nigel Hitchin en 2002 y desarrolladas por sus alumnos Marco Gualtieri y Gil Cavalcanti .
Estas estructuras surgieron por primera vez en el programa de Hitchin de caracterizar estructuras geométricas a través de funcionales de formas diferenciales , una conexión que formó la base de la propuesta de 2004 de Robbert Dijkgraaf , Sergei Gukov , Andrew Neitzke y Cumrun Vafa de que las teorías de cuerdas topológicas son casos especiales de una M topológica -teoría . Hoy en día, las estructuras complejas generalizadas también juegan un papel principal en la teoría de cuerdas físicas , como compactaciones de flujo supersimétrico , que relacionan la física de 10 dimensiones con mundos de 4 dimensiones como el nuestro, requieren estructuras complejas generalizadas (posiblemente retorcidas).
Considere un N -manifold M . El paquete de la tangente de M , que se denota T , es el paquete del vector sobre M cuyas fibras consistir en todos los vectores tangentes a M . Una sección de T es un campo vectorial en M . El fibrado cotangente de M , denotado T * , es el fibrado vectorial de M cuyas secciones son uno-formas en M .
En geometría compleja, se consideran estructuras en los haces tangentes de variedades. En la geometría simpléctica, uno está interesado en cambio en los poderes exteriores del paquete cotangente. La geometría generalizada une estos dos campos tratando secciones del paquete tangente generalizado , que es la suma directa de los paquetes tangente y cotangente, que son sumas formales de un campo vectorial y una forma.
Las fibras están dotadas de un producto interior natural con firma ( N , N ). Si X e Y son campos vectoriales y ξ y η son formas uniformes, entonces el producto interno de X + ξ e Y + η se define como
Una estructura casi compleja generalizada es solo una estructura casi compleja del haz tangente generalizado que preserva el producto interno natural: