Un bialgebroid de Lie es una estructura matemática en el área de la geometría diferencial no riemanniana. En resumen, un bialgebroide de Lie son dos algebroides de Lie compatibles definidos en haces de vectores duales. Forman la versión de paquete vectorial de una bialgebra de Lie .
Definición
Nociones preliminares
Recuerde que un algebroide de Lie se define como una operación simétrica sesgada [.,.] En las secciones Γ ( A ) de un paquete vectorial A → M sobre una variedad suave M junto con un morfismo de paquete vectorial ρ: A → TM sujeto a la regla de Leibniz
y la identidad de Jacobi
donde Φ , ψ k son secciones de A y f es una función suave en M .
El corchete de Lie [.,.] A se puede extender a campos multivectoriales Γ (⋀ A ) graduados simétricos mediante la regla de Leibniz
para campos multivector homogéneos Φ , Ψ , Χ .
El diferencial algebroide de Lie es un operador lineal R d A en las formas A Ω A ( M ) = Γ (⋀ A * ) de grado 1 sujeto a la regla de Leibniz
para las formas A α y β . Se caracteriza de forma única por las condiciones
y
para las funciones f en M , A -1-Forms α∈Γ ( A * ) y Φ , Psi secciones de A .
La definición
Un bialgebroide de Lie son dos algebroides de Lie ( A , ρ A , [.,.] A ) y ( A * , ρ * , [.,.] * ) En haces de vectores duales A → M y A * → M sujetos a la compatibilidad
para todas las secciones Φ , ψ de A . Aquí d * denota el diferencial algebroide de Lie de A * que también opera en los campos multivector Γ (∧ A ).
Simetría de la definición
Se puede demostrar que la definición es simétrica en A y A * , es decir ( A , A * ) es un bialgebroid de Lie si f ( A * , A ) es.
Ejemplos de
1. Una bialgebra de Lie son dos álgebras de Lie ( g , [.,.] G ) y ( g * , [.,.] * ) En espacios vectoriales duales g y g * de manera que el diferencial de Chevalley-Eilenberg δ * es un derivación del corchete g .
2. Una variedad de Poisson ( M , π) da lugar naturalmente a un bialgebroid de Lie en TM (con el corchete del conmutador de campos vectoriales tangentes) y T * M con el corchete de Lie inducido por la estructura de Poisson. El diferencial T * M es d * = [π,.] Y la compatibilidad se sigue entonces de la identidad de Jacobi del paréntesis de Schouten.
Versión infinitesimal de un grupoide de Poisson
Es bien sabido que la versión infinitesimal de un grupoide de Lie es un algebroide de Lie. (Como caso especial, la versión infinitesimal de un grupo de Lie es un álgebra de Lie). Por lo tanto, uno puede preguntarse qué estructuras deben diferenciarse para obtener un bialgebroide de Lie.
Definición de grupoide de Poisson
Un grupoide de Poisson es un grupoide de Lie ( G ⇉ M ) junto con una estructura de Poisson π en G tal que la gráfica de multiplicación m ⊂ G × G × ( G , - π ) es coisotrópica . Un ejemplo de un grupo de Poisson Lie es un grupo de Poisson Lie (donde M = pt, solo un punto). Otro ejemplo es un grupoide simpléctico (donde la estructura de Poisson no es degenerada en TG ).
Diferenciación de la estructura
Recuerde la construcción de un algebroide de Lie a partir de un grupoide de Lie. Tomamos las fibras t-tangente (o equivalentemente las fibras s-tangentes) y considerar sus fibrado vectorial hacia atrás para el colector de la base M . Una sección de este conjunto de vectores se puede identificar con un campo de vector t invariante G en G que forma un álgebra de Lie con respecto al soporte del conmutador en TG .
Por tanto, tomamos el algebroide de Lie A → M del grupoide de Poisson. Se puede demostrar que la estructura de Poisson induce una estructura de fibra lineal Poisson en A . De forma análoga a la construcción del algebroide de Lie cotangente de una variedad de Poisson, existe una estructura algebroide de Lie en A * inducida por esta estructura de Poisson. De manera análoga al caso de la variedad de Poisson, se puede demostrar que A y A * forman un bialgebroide de Lie.
Doble de un bialgebroide de Lie y superlenguaje de bialgebroids de Lie
Para Lie bialgebras ( g , g * ) existe la noción de triples de Manin, es decir, c = g + g * puede estar dotado de la estructura de un álgebra de Lie tal que g y g * son subálgebras yc contiene la representación de g en g * , viceversa. La estructura de la suma es solo
- .
Algebroides de Courant
Resulta que la generalización ingenua a los algebroides de Lie ya no da un algebroide de Lie. En su lugar, uno tiene que modificar la identidad de Jacobi o violar la simetría sesgada y, por lo tanto, se conduce a los álgebroides de Courant . [1]
Superlenguaje
El superlanguage apropiada de un Lie algebroide A es ΠA , la supermanifold cuyo espacio de las funciones de (súper) son los A -formas. En este espacio, el algebroide de Lie se puede codificar a través de su diferencial algebroide de Lie, que es solo un campo vectorial extraño.
Como primera suposición, la superrealización de un bialgebroide de Lie ( A , A * ) debería ser ΠA + ΠA * . Pero lamentablemente d A + d * | ΠA + ΠA * no es un diferencial, básicamente porque A + A * no es un algebroide de Lie. En lugar de usar la variedad más grande de N-grados T * [2] A [1] = T * [2] A * [1] a la que podemos elevar d A yd * como campos vectoriales hamiltonianos impares, luego su suma cuadrada a 0 iff ( A , A * ) es un bialgebroide de Lie.
Referencias
- ^ Z.-J. Liu, A. Weinstein y P. Xu: Manin se triplica para Lie bialgebroids, Journ. de diff. geom. vol. 45, págs. 547–574 (1997)
- C. Albert y P. Dazord: Théorie des groupoïdes symplectiques: Chapitre II, Groupoïdes symplectiques. (en Publications du Département de Mathématiques de l'Université Claude Bernard, Lyon I, nouvelle série, págs. 27–99, 1990)
- Y. Kosmann-Schwarzbach: El bialgebroid de Lie de una variedad de Poisson-Nijenhuis. (Lett. Math. Phys., 38: 421–428, 1996)
- K. Mackenzie, P. Xu: Integration of Lie bialgebroids (1997),
- K. Mackenzie, P. Xu: Lie bialgebroids y Poisson groupoids (Duke J. Math, 1994)
- A. Weinstein: Agrupoides simplécticos y variedades de Poisson (AMS Bull, 1987),