Estructura compleja generalizada
En el campo de las matemáticas conocido como geometría diferencial , una estructura compleja generalizada es una propiedad de una variedad diferencial que incluye como casos especiales una estructura compleja y una estructura simpléctica . Las estructuras complejas generalizadas fueron introducidas por Nigel Hitchin en 2002 y desarrolladas por sus alumnos Marco Gualtieri y Gil Cavalcanti .
Estas estructuras surgieron por primera vez en el programa de Hitchin de caracterizar estructuras geométricas a través de funcionales de formas diferenciales , una conexión que formó la base de la propuesta de Robbert Dijkgraaf , Sergei Gukov , Andrew Neitzke y Cumrun Vafa de 2004 de que las teorías de cuerdas topológicas son casos especiales de una M topológica. -teoría . Hoy en día, las estructuras complejas generalizadas también desempeñan un papel destacado en la teoría física de cuerdas , como las compactaciones de flujo supersimétricas . , que relacionan la física de 10 dimensiones con mundos de 4 dimensiones como el nuestro, requieren estructuras complejas generalizadas (posiblemente retorcidas).
Considere una N - variedad M. El haz tangente de M , que se denotará como T , es el haz vectorial sobre M cuyas fibras consisten en todos los vectores tangentes a M . Una sección de T es un campo vectorial en M . El fibrado cotangente de M , denotado T * , es el fibrado vectorial sobre M cuyas secciones son monoformas en M .
En geometría compleja se consideran estructuras en haces tangentes de variedades. En geometría simpléctica, en cambio, uno está interesado en las potencias exteriores del paquete cotangente. La geometría generalizada une estos dos campos al tratar secciones del paquete tangente generalizado , que es la suma directa de los paquetes tangente y cotangente, que son sumas formales de un campo vectorial y una forma.
Las fibras están dotadas de un producto interior natural con firma ( N , N ). Si X e Y son campos vectoriales y ξ y η son de una sola forma, entonces el producto interno de X+ξ e Y+η se define como
Una estructura casi compleja generalizada es solo una estructura casi compleja del paquete tangente generalizado que conserva el producto interno natural: