Derivada covariante exterior

Ver también: Segunda derivada covariante

En matemáticas , la derivada covariante exterior es un análogo de una derivada exterior que tiene en cuenta la presencia de una conexión .

Definición

Deje G un grupo de Lie y P → M sea un director G -bundle en un múltiple liso M . Suponga que hay una conexión en P ; esto produce una descomposición de suma directa natural de cada espacio tangente en los subespacios horizontal y vertical . Sea la proyección al subespacio horizontal.${\displaystyle T_{u}P=H_{u}\oplus V_{u}}$${\displaystyle h:T_{u}P\to H_{u}}$

Si φ es una k -forma en P con valores en un espacio vectorial V , entonces su covariante exterior derivado Dφ es una forma definida por

${\displaystyle D\phi (v_{0},v_{1},\dots ,v_{k})=d\phi (hv_{0},hv_{1},\dots ,hv_{k})}$

donde v _i son vectores tangentes a P en u .

Supongamos que ρ  : G → GL ( V ) es una representación de G en un espacio vectorial V . Si ϕ es equivariante en el sentido de que

${\displaystyle R_{g}^{*}\phi =\rho (g)^{-1}\phi }$

donde , a continuación, Dφ es un tensorial ( k + 1) -forma en P del tipo ρ : es equivariante y horizontal (una forma ψ es horizontal si ψ ( v ₀ , ..., v _k ) = ψ ( hv ₀ , ..., hv _k ) .)${\displaystyle R_{g}(u)=ug}$

Por abuso de notación , el diferencial de ρ en el elemento de identidad se puede denotar nuevamente por ρ :

${\displaystyle \rho :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

Sea la conexión de una forma y la representación de la conexión en Es decir, es una forma valorada , que se desvanece en el subespacio horizontal. Si ϕ es una forma k tensorial de tipo ρ , entonces${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \rho (\omega )}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V).}$${\displaystyle \rho (\omega )}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

${\displaystyle D\phi =d\phi +\rho (\omega )\cdot \phi ,}$^[1]

donde, siguiendo la notación en la forma diferencial con valores de álgebra de Lie § Operaciones , escribimos

${\displaystyle (\rho (\omega )\cdot \phi )(v_{1},\dots ,v_{k+1})={1 \over (1+k)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\rho (\omega (v_{\sigma (1)}))\phi (v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (k+1)}).}$

A diferencia de la derivada exterior habitual , que cuadra a 0, la derivada covariante exterior no lo hace. En general, uno tiene, para una forma cero tensorial ϕ ,

${\displaystyle D^{2}\phi =F\cdot \phi .}$^[2]

donde F = ρ (Ω) es la representación ^{[ aclaración necesaria ]} en la curvatura de dos formas Ω. La forma F a veces se denomina tensor de intensidad de campo , en analogía con el papel que desempeña en el electromagnetismo . Tenga en cuenta que D ² desaparece para una conexión plana (es decir, cuando Ω = 0 ).${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$

Si ρ  : G → GL ( R ⁿ ) , entonces se puede escribir

${\displaystyle \rho (\Omega )=F=\sum {F^{i}}_{j}{e^{j}}_{i}}$

donde es la matriz con 1 en la entrada ( i , j ) -ésima y cero en las otras entradas. La matriz cuyas entradas son 2 formas en P se llama matriz de curvatura .${\displaystyle {e^{i}}_{j}}$${\displaystyle {F^{i}}_{j}}$

Derivada covariante exterior para paquetes de vectores

Cuando ρ  : G → GL ( V ) es una representación , se puede formar el asociado haz E = P × _ρ V . Luego, la derivada covariante exterior D dada por una conexión en P induce una derivada covariante exterior (a veces llamada conexión exterior ) en el paquete asociado, esta vez usando el símbolo nabla :

${\displaystyle \nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)}$

Aquí, Γ denota el espacio de las secciones locales del paquete de vectores. La extensión se realiza a través de la correspondencia entre formas valoradas en E y formas tensoriales de tipo ρ (ver Formas diferenciales de valor vectorial § Formas básicas o tensoriales en haces principales ).

Al exigir que ∇ satisfaga la regla de Leibniz, ∇ también actúa en cualquier forma con valor E ; por lo tanto, se le da en elementos descomponibles del espacio de -valued k -formas por ${\displaystyle \Omega ^{k}(M;E)=\Gamma (\Lambda ^{k}(T^{*}M)\otimes E)}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \nabla (\omega \otimes s)=(d\omega )\otimes s+(-1)^{k}\omega \wedge \nabla s\in \Omega ^{k+1}(M;E)}$.

Para una sección s de E , también establecemos

${\displaystyle \nabla _{X}s=i_{X}\nabla s}$

donde es la contracción por X .${\displaystyle i_{X}}$

Por el contrario, dado un paquete de vectores E , uno puede tomar su paquete de tramas , que es un paquete principal, y así obtener una diferenciación covariante exterior en E (dependiendo de una conexión). Identificando formas tensoriales y formas valoradas en E , se puede mostrar que

${\displaystyle -2F(X,Y)s=\left([\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]}\right)s}$

que se puede reconocer fácilmente como la definición del tensor de curvatura de Riemann en variedades de Riemann .

Ejemplo

• Segunda identidad de Bianchi , que dice que la derivada covariante exterior de Ω es cero (es decir, D Ω = 0 ) puede establecerse como: .${\displaystyle d\Omega +\operatorname {ad} (\omega )\cdot \Omega =d\Omega +[\omega \wedge \Omega ]=0}$

Notas

1. Si k = 0 , entonces, escribiendopara el campo vectorial fundamental (es decir, campo de vector vertical) generada por X enel P , tenemos:${\displaystyle X^{\#}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

   ${\displaystyle d\phi (X_{u}^{\#})=\left.{d \over dt}\right\vert _{0}\phi (u\operatorname {exp} (tX))=-\rho (X)\phi (u)=-\rho (\omega (X_{u}^{\#}))\phi (u)}$,

   ya que ϕ ( gu ) = ρ ( g ⁻¹ ) ϕ ( u ) . Por otro lado, Dϕ ( X ^# ) = 0 . Si X es un vector tangente horizontal, entonces y . Para el caso general, sean X _i vectores tangentes a P en algún punto de manera que algunos de X _i sean horizontales y el resto verticales. Si X _i es vertical, pensamos en él como un elemento de álgebra de Lie y luego lo identificamos con el campo vectorial fundamental generado por él. Si X${\displaystyle D\phi (X)=d\phi (X)}$${\displaystyle \omega (X)=0}$_i es horizontal, lo reemplazamos con la elevación horizontal del campo vectorial que extiende el empuje hacia adelante π X _i . De esta manera, hemos extendido X _i a campos vectoriales. Tenga en cuenta que la extensión es tal que tenemos: [ X _i , X _j ] = 0 si X _i es horizontal y X _j es vertical. Finalmente, por la fórmula invariante para la derivada exterior , tenemos:

   ${\displaystyle D\phi (X_{0},\dots ,X_{k})-d\phi (X_{0},\dots ,X_{k})={1 \over k+1}\sum _{0}^{k}(-1)^{i}\rho (\omega (X_{i}))\phi (X_{0},\dots ,{\widehat {X_{i}}},\dots ,X_{k})}$,

   que es .${\displaystyle (\rho (\omega )\cdot \phi )(X_{0},\cdots ,X_{k})}$
2. Prueba: Dado que ρ actúa sobre la parte constante de ω , conmuta con d y por lo tanto

   ${\displaystyle d(\rho (\omega )\cdot \phi )=d(\rho (\omega ))\cdot \phi -\rho (\omega )\cdot d\phi =\rho (d\omega )\cdot \phi -\rho (\omega )\cdot d\phi }$.

   Entonces, de acuerdo con el ejemplo de la forma diferencial con valores de álgebra de Lie § Operaciones ,

   ${\displaystyle D^{2}\phi =\rho (d\omega )\cdot \phi +\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \phi )=\rho (d\omega )\cdot \phi +{1 \over 2}\rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \phi ,}$

   que es por la ecuación de estructura de E. Cartan .${\displaystyle \rho (\Omega )\cdot \phi }$

Referencias

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3.