En matemáticas , el haz vertical y el haz horizontal son dos subconjuntos del haz tangente de un haz de fibras lisas , que forman subespacios complementarios en cada punto del haz de fibras. El paquete vertical consta de todos los vectores que son tangentes a las fibras, mientras que el paquete horizontal es una elección particular de un subconjunto del paquete tangente que es complementario al paquete vertical.
Más precisamente, si π : E → M es un haz de fibras suave sobre un múltiple liso M y e ∈ E con π ( e ) = x ∈ M , entonces el espacio vertical V e E en e es el espacio tangente T e ( E x ) a la fibra E x que contiene e . Es decir, V e E = T e (E π ( e )). Por lo tanto, el espacio vertical es un subespacio vectorial de T e E . Un espacio horizontal H e E es entonces una elección de un subespacio de T e E tal que T e E es la suma directa de V e E y H e E .
La unión de la desunión de la vertical de espacios V e E para cada correo en E es la subfibrado V E de T E : este es el paquete vertical de E . Del mismo modo, un haz horizontal es la unión de la desunión de los subespacios horizontales H e E . El uso de las palabras "el" y "a" en esta definición es crucial: el subespacio vertical es único, está determinado únicamente por la fibración. Por el contrario, hay un número infinito de subespacios horizontales para elegir, en la formación de la suma directa.
El concepto de haz horizontal es una forma de formular la noción de una conexión Ehresmann en un haz de fibras . Así, por ejemplo, si E es un paquete principal G , entonces el paquete horizontal generalmente se requiere que sea G- invariante: tal elección se convierte entonces en equivalente a la definición de una conexión en el paquete principal . [1] La elección de un paquete horizontal invariante G y una conexión son lo mismo. En el caso en que E es el paquete de cuadros , es decir, el conjunto de todos los cuadrospara los espacios tangentes del colector, entonces el grupo de estructura G = GL n actúa libre y transitivamente sobre cada fibra, y la elección de un haz horizontal da una conexión en el haz de marco.
Deje π : E → M sea un haz de fibras suave sobre un múltiple liso M . El haz vertical es el kernel V E : = ker (d π ) de la tangente mapa d π : T E → T M . [2]
Desde dπ e es sobreyectiva en cada punto e , se produce una normal subfibrado de T E . Además, el haz vertical V E también es integrable .