En matemáticas , y específicamente en geometría diferencial , una forma de conexión es una forma de organizar los datos de una conexión utilizando el lenguaje de los marcos móviles y las formas diferenciales .
Históricamente, Élie Cartan introdujo las formas de conexión en la primera mitad del siglo XX como parte y una de las principales motivaciones de su método de mover marcos. La forma de conexión generalmente depende de la elección de un marco de coordenadas , por lo que no es un objeto tensorial . Se formularon varias generalizaciones y reinterpretaciones de la forma de conexión después del trabajo inicial de Cartan. En particular, en un paquete principal , una conexión principal es una reinterpretación natural de la forma de conexión como un objeto tensorial. Por otro lado, la forma de conexión tiene la ventaja de que es una forma diferencial definida en el colector diferenciable, en lugar de un paquete principal abstracto sobre él. Por lo tanto, a pesar de su falta de tensorialidad, las formas de conexión continúan utilizándose debido a la relativa facilidad de realizar cálculos con ellas. [1] En física , las formas de conexión también se utilizan ampliamente en el contexto de la teoría de gauge , a través de la derivada covariante de gauge .
Una forma de conexión asocia a cada base de un paquete vectorial una matriz de formas diferenciales. La forma de conexión no es tensorial porque bajo un cambio de base , la forma de conexión se transforma de una manera que involucra la derivada exterior de las funciones de transición , de la misma manera que los símbolos de Christoffel para la conexión Levi-Civita . El principal invariante tensorial de una forma de conexión es su forma de curvatura . En presencia de una forma de soldadura que identifica el paquete vectorial con el paquete tangente , hay un invariante adicional: la forma de torsión . En muchos casos, las formas de conexión se consideran en haces de vectores con estructura adicional: la de un haz de fibras con un grupo de estructura .
Paquetes de vectores
Marcos en un paquete de vectores
Deje que E sea un paquete del vector de dimensión fibra k sobre una variedad diferenciable M . Un marco local de E es una ordenada base de secciones locales de E . Siempre es posible construir un marco local, ya que los paquetes de vectores siempre se definen en términos de trivializaciones locales , en analogía con el atlas de una variedad. Es decir, dado cualquier punto x en la variedad base M , existe una vecindad abierta U ⊂ M de x para la cual el paquete vectorial sobre U es isomorfo al espacio U × R k : esta es la trivialización local. De este modo, la estructura del espacio vectorial en R k puede extenderse a toda la trivialización local, y también puede extenderse una base en R k ; esto define el marco local. (Aquí, R significa los números reales ℝ, aunque gran parte del desarrollo aquí puede extenderse a módulos sobre anillos en general, y a espacios vectoriales sobre números complejos ℂ en particular).
Deje que e = ( e α ) α = 1,2, ..., k sea un marco local de E . Este marco se puede utilizar para expresar localmente cualquier sección de E . Por ejemplo, suponga que ξ es una sección local, definida sobre el mismo conjunto abierto que el marco e . Luego
donde ξ α ( e ) denota los componentes de ξ en el marco e . Como una ecuación matricial, se lee
En la relatividad general , estos campos de marco se denominan tétradas . La tétrada relaciona específicamente el marco local con un sistema de coordenadas explícito en la variedad base M (el sistema de coordenadas en M lo establece el atlas).
Conexiones exteriores
Una conexión en E es un tipo de operador diferencial
donde Γ indica la gavilla de locales secciones de un haz de vector, y Ω 1 M es el haz de diferenciales 1-formas en M . Para que D sea una conexión, debe estar correctamente acoplado a la derivada exterior . Específicamente, si v es una sección local de E , yf es una función suave, entonces
donde df es la derivada exterior de f .
A veces es conveniente extender la definición de D a formas arbitrarias valoradas en E , considerándola así como un operador diferencial en el producto tensorial de E con el álgebra exterior completa de formas diferenciales. Dada una conexión exterior D que satisface esta propiedad de compatibilidad, existe una extensión única de D :
tal que
donde v es homogéneo de grado deg v . En otras palabras, D es una derivación del haz de módulos graduados Γ ( E ⊗ Ω * M ).
Formas de conexión
La forma de conexión surge al aplicar la conexión exterior a un marco particular e . Al aplicar la conexión exterior a e α , es la matriz k × k única ( ω α β ) de formas uno en M tal que
En términos de la forma de conexión, ahora se puede expresar la conexión exterior de cualquier sección de E. Por ejemplo, suponga que ξ = Σ α e α ξ α . Luego
Tomando componentes en ambos lados,
donde se entiende que dy ω se refieren a la derivada componente con respecto al marco e , y una matriz de formas 1, respectivamente, que actúan sobre los componentes de ξ . A la inversa, una matriz de formas 1 ω es a priori suficiente para determinar completamente la conexión localmente en el conjunto abierto sobre el que se define la base de las secciones e .
Cambio de marco
Para extender ω a un objeto global adecuado, es necesario examinar cómo se comporta cuando se elige una elección diferente de secciones básicas de E. Escriba ω α β = ω α β ( e ) para indicar la dependencia de la elección de e .
Suponga que e ′ es una elección diferente de base local. Entonces hay una matriz k × k invertible de funciones g tal que
Al aplicar la conexión exterior a ambos lados se obtiene la ley de transformación para ω :
Nótese en particular que ω no se transforma de manera tensorial , ya que la regla para pasar de un marco a otro involucra las derivadas de la matriz de transición g .
Formas de conexión global
Si { U p } es una cobertura abierta de M , y cada U p está equipada con una trivialización e p de E , entonces es posible definir una forma de conexión global en términos de los datos de parcheo entre las formas de conexión local en la superposición. regiones. En detalle, una forma de conexión en M es un sistema de matrices ω ( e p ) de formas 1 definidas en cada U p que satisfacen la siguiente condición de compatibilidad
Esta condición de compatibilidad asegura en particular que la conexión exterior de una sección de E , cuando se considera abstractamente como una sección de E ⊗ Ω 1 M , no depende de la elección de la sección base utilizada para definir la conexión.
Curvatura
La curvatura de dos formas de una forma de conexión en E está definida por
A diferencia de la forma de conexión, la curvatura se comporta tensorialmente bajo un cambio de marco, que se puede verificar directamente usando el lema de Poincaré . Específicamente, si e → e g es un cambio de marco, entonces la curvatura de dos formas se transforma por
Una interpretación de esta ley de transformación es la siguiente. Sea e * la base dual correspondiente al marco e . Entonces la forma 2
es independiente de la elección del marco. En particular, Ω es una forma de dos valores vectoriales en M con valores en el anillo de endomorfismo Hom ( E , E ). Simbólicamente,
En términos de la conexión exterior D , el endomorfismo de curvatura viene dado por
para v ∈ E . Así, la curvatura mide el fallo de la secuencia.
ser un complejo de cadena (en el sentido de la cohomología de De Rham ).
Soldadura y torsión
Supongamos que la dimensión de la fibra k de E es igual a la dimensión del colector M . En este caso, el paquete de vectores E a veces está equipado con un dato adicional además de su conexión: una forma de soldadura . Una forma de soldadura es una forma única de valor vectorial definido globalmente θ ∈ Ω 1 ( M , E ) tal que el mapeo
es un isomorfismo lineal para todo x ∈ M . Si se da una forma de soldadura, entonces es posible definir la torsión de la conexión (en términos de la conexión exterior) como
El Θ de torsión es un E -valued 2-forma de M .
Una forma de soldadura y la torsión asociado pueden tanto ser descritos en términos de un marco local e de E . Si θ es una forma de soldadura, entonces se descompone en los componentes del marco.
Los componentes de la torsión son entonces
Al igual que la curvatura, se puede demostrar que Θ se comporta como un tensor contravariante bajo un cambio en el marco:
La torsión independiente del marco también se puede recuperar de los componentes del marco:
Identidades Bianchi
Las identidades de Bianchi relacionan la torsión con la curvatura. La primera identidad Bianchi afirma que
mientras que la segunda identidad Bianchi afirma que
Ejemplo: la conexión Levi-Civita
Como ejemplo, suponga que M tiene una métrica de Riemann . Si uno tiene un paquete vectorial E sobre M , entonces la métrica puede extenderse a todo el paquete vectorial, como la métrica del paquete . Luego, se puede definir una conexión que sea compatible con esta métrica de paquete, esta es la conexión métrica . Para el caso especial de que E sea el haz tangente TM , la conexión métrica se llama conexión de Riemann . Dada una conexión de Riemann, siempre se puede encontrar una conexión equivalente única que no tenga torsión . Esta es la conexión de Levi-Civita en el fibrado tangente TM de M . [2] [3]
Un marco local en el paquete tangente es una lista ordenada de campos vectoriales e = ( e i | i = 1, 2, ..., n ) , donde n = dim M , definido en un subconjunto abierto de M que son linealmente independientes en cada punto de su dominio. Los símbolos de Christoffel definen la conexión Levi-Civita por
Si θ = { θ i | i = 1, 2, ..., n }, denota la base dual del paquete cotangente , tal que θ i ( e j ) = δ i j (el delta de Kronecker ), entonces la forma de conexión es
En términos de la forma de conexión, la conexión exterior en un campo vectorial v = Σ i e i v i viene dada por
Se puede recuperar la conexión Levi-Civita, en el sentido habitual, a partir de esto contratando con e i :
Curvatura
La forma de curvatura 2 de la conexión Levi-Civita es la matriz (Ω i j ) dada por
Para simplificar, suponga que el marco e es holonómico , de modo que dθ i = 0 . [4] Luego, empleando ahora la convención de suma en índices repetidos,
donde R es el tensor de curvatura de Riemann .
Torsión
La conexión Levi-Civita se caracteriza por ser la conexión métrica única en el haz tangente con torsión cero. Para describir la torsión, observe que el paquete vectorial E es el paquete tangente. Esto lleva una forma de soldadura canónica (a veces llamada canónica de una forma , especialmente en el contexto de la mecánica clásica ) que es la sección θ de Hom (T M , T M ) = T ∗ M ⊗ T M correspondiente al endomorfismo de identidad de los espacios tangentes. En el cuadro e , la forma de soldadura es {{{1}}} , donde nuevamente θ i es la base dual.
La torsión de la conexión viene dada por Θ = Dθ , o en términos de los componentes del marco de la forma de soldadura por
Suponiendo nuevamente por simplicidad que e es holonómico, esta expresión se reduce a
- ,
que desaparece si y solo si Γ i kj es simétrico en sus índices inferiores.
Dada una conexión métrica con torsión, una vez que siempre se puede encontrar una conexión única y única que no tenga torsión, esta es la conexión Levi-Civita. La diferencia entre una conexión riemanniana y su conexión Levi-Civita asociada es el tensor de contorsión .
Grupos de estructura
Se puede construir un tipo más específico de forma de conexión cuando el paquete de vectores E lleva un grupo de estructura . Esto equivale a una clase preferida de marcos ae en E , los cuales están relacionados por un grupo de Lie G . Por ejemplo, en presencia de una métrica en E , se trabaja con marcos que forman una base ortonormal en cada punto. El grupo de estructura es entonces el grupo ortogonal , ya que este grupo conserva la ortonormalidad de los marcos. Otros ejemplos incluyen:
- Los marcos habituales, considerados en la sección anterior, tienen GL grupo estructural ( k ) donde k es la dimensión de la fibra de E .
- El haz tangente holomórfico de una variedad compleja (o variedad casi compleja ). [5] Aquí el grupo de estructura es GL n ( C ) ⊂ GL 2n ( R ). [6] En caso de que se dé una métrica hermitiana , entonces el grupo de estructura se reduce al grupo unitario que actúa sobre marcos unitarios. [5]
- Spinors en un colector equipado con una estructura de giro . Los marcos son unitarios con respecto a un producto interno invariante en el espacio de giro, y el grupo se reduce al grupo de giro .
- Paquetes tangentes holomorfos en variedades CR . [7]
En general, sea E un haz de vectores dado de dimensión de fibra k y G ⊂ GL ( k ) un subgrupo de Lie dado del grupo lineal general de R k . Si ( e α ) es un marco local de E , entonces una función matricial ( g i j ): M → G puede actuar sobre e α para producir un nuevo marco
Dos de estos marcos son G relacionados con la PI . De manera informal, el paquete de vectores E tiene la estructura de un paquete G si se especifica una clase preferida de tramas, todas las cuales están relacionadas localmente con G entre sí. En términos formales, E es un haz de fibras con estructura de grupo G cuya fibra típica es R k con la acción natural de G como subgrupo de GL ( k ).
Conexiones compatibles
Una conexión es compatible con la estructura de un paquete G en E siempre que los mapas de transporte paralelo asociados envíen siempre una trama G a otra. Formalmente, a lo largo de una curva γ, lo siguiente debe mantenerse localmente (es decir, para valores suficientemente pequeños de t ):
para alguna matriz g α β (que también puede depender de t ). La diferenciación en t = 0 da
donde los coeficientes omega alpha ß están en el álgebra de Lie g del grupo de Lie G .
Con esta observación, la forma de conexión ω α β definida por
es compatible con la estructura si la matriz de una forma ω α β ( e ) toma sus valores en g .
La forma de curvatura de una conexión compatible es, además, una forma de dos valores g .
Cambio de marco
Bajo un cambio de marco
donde g es una función con valor G definida en un subconjunto abierto de M , la forma de conexión se transforma a través de
O, usando productos de matriz:
Para interpretar cada uno de estos términos, recuerde que g : M → G es una función de valor G (definida localmente). Teniendo esto en cuenta,
donde ω g es la forma Maurer-Cartan para el grupo G , aquí retirado a M a lo largo de la función g , y Ad es la representación adjunta de G en su álgebra de Lie.
Paquetes principales
La forma de conexión, como se ha presentado hasta ahora, depende de una elección particular de marco. En la primera definición, el marco es solo una base local de secciones. A cada cuadro se le da una forma de conexión con una ley de transformación para pasar de un cuadro a otro. En la segunda definición, los marcos en sí llevan alguna estructura adicional proporcionada por un grupo de Lie, y los cambios de marco están restringidos a aquellos que toman sus valores en él. El lenguaje de los paquetes principales, iniciado por Charles Ehresmann en la década de 1940, proporciona una manera de organizar estas muchas formas de conexión y las leyes de transformación que las conectan en una sola forma intrínseca con una sola regla de transformación. La desventaja de este enfoque es que las formas ya no se definen en el colector en sí, sino en un paquete principal más grande.
La conexión principal para un formulario de conexión
Supongamos que E → M es un haz vector con el grupo de estructura G . Sea { T } una cubierta abierta de M , junto con G -frames en cada T , denotado por e T . Estos están relacionados en las intersecciones de conjuntos abiertos superpuestos por
para algunos G -valued función h UV definida en U ∩ V .
Sea F G E el conjunto de todos G -frames tomada sobre cada punto de M . Este es un principal G -bundle sobre M . En detalle, utilizando el hecho de que los fotogramas G están todos relacionados con G , F G E se puede realizar en términos de datos de pegado entre los conjuntos de la cubierta abierta:
donde la relación de equivalencia es definido por
En F G E , defina una conexión G principal de la siguiente manera, especificando una forma única con valor g en cada producto U × G , que respeta la relación de equivalencia en las regiones superpuestas. Primero deja
sean los mapas de proyección. Ahora, para un punto ( x , g ) ∈ U × G , establezca
El 1-forma ω construido de esta manera aspectos, las transiciones entre conjuntos superpuestos, y por lo tanto desciende para dar una 1-forma definida a nivel mundial en el fibrado principal F G E . Se puede demostrar que ω es una conexión principal en el sentido de que reproduce los generadores de la derecha G acción sobre F G E , y equivariante entrelaza la acción correcta en T (F G E ) con la representación adjunta de G .
Formas de conexión asociadas a una conexión principal
A la inversa, un principal G ω -conexión en un principal G -bundle P → M da lugar a una colección de formas de conexión en M . Supongamos que e : M → P es una sección local de P . Entonces, el retroceso de ω a lo largo de e define una forma única con valor de g en M :
Al cambiar los marcos mediante una función g valorada en G , se ve que ω ( e ) se transforma de la manera requerida mediante el uso de la regla de Leibniz y el adjunto:
donde X es un vector en M , y d denota el empuje hacia adelante .
Ver también
- Conexión Ehresmann
- Conexión Cartan
- Conexión afín
- Forma de curvatura
Notas
- ^ Griffiths & Harris (1978) , Wells (1980) , Spivak (1999) error de harvtxt: múltiples objetivos (2 ×): CITEREFSpivak1999 ( ayuda )
- ↑ Ver Jost (2011) , capítulo 4, para una descripción completa de la conexión Levi-Civita desde este punto de vista.
- ↑ Ver Spivak (1999) harvtxt error: multiple targets (2x): CITEREFSpivak1999 ( help ) , II.7 para una descripción completa de la conexión Levi-Civita desde este punto de vista.
- ^ En un marco no holonómico, la expresión de la curvatura se complica aún más por el hecho de que las derivadas dθ i deben tenerse en cuenta.
- ↑ a b Wells (1973).
- ↑ Véase, por ejemplo, Kobayashi y Nomizu, Volumen II.
- ^ Ver Chern y Moser.
Referencias
- Chern, S.-S., Topics in Differential Geometry , Institute for Advanced Study, notas de clase mimeografiadas, 1951.
- Chern SS; Moser, JK (1974), "Hipersuperficies reales en variedades complejas", Acta Math. , 133 : 219–271, doi : 10.1007 / BF02392146
- Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1978), Principios de geometría algebraica , John Wiley e hijos, ISBN 0-471-05059-8
- Jost, Jürgen (2011), Geometría y análisis geométrico de Riemann (PDF) , Universitext (Sexta ed.), Springer, Heidelberg, doi : 10.1007 / 978-3-642-21298-7 , ISBN 978-3-642-21297-0, MR 2829653
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 1 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
- Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial, vol. 2 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15732-5
- Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 2) , Publicar o perecer, ISBN 0-914098-71-3
- Spivak, Michael (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 3) , Publicar o perecer, ISBN 0-914098-72-1
- Wells, RO (1973), Análisis diferencial de variedades complejas , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0 CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- Wells, RO (1980), Análisis diferencial de variedades complejas , Prentice-Hall CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )