En matemáticas , el número de Coxeter h es el orden de un elemento Coxeter de un grupo Coxeter irreducible . Lleva el nombre de HSM Coxeter . [1]
Definiciones
Tenga en cuenta que este artículo asume un grupo Coxeter finito. Para grupos de Coxeter infinitos, existen múltiples clases de conjugación de elementos de Coxeter y tienen un orden infinito.
Hay muchas formas diferentes de definir el número de Coxeter h de un sistema de raíces irreductibles.
Un elemento Coxeter es producto de todos los reflejos simples. El producto depende del orden en que se toman, pero diferentes ordenamientos producen elementos conjugados , que tienen el mismo orden .
- El número de Coxeter es el orden de cualquier elemento de Coxeter; .
- El número de Coxeter es 2 m / n , donde n es el rango y m es el número de reflejos. En el caso cristalográfico, m es la mitad del número de raíces ; y 2m + n es la dimensión del álgebra de Lie semisimple correspondiente .
- Si la raíz más alta es ∑ m i α i para raíces simples α i , entonces el número de Coxeter es 1 + ∑ m i .
- El número de Coxeter es el grado más alto de un invariante fundamental del grupo de Coxeter que actúa sobre polinomios.
El número de Coxeter para cada tipo de Dynkin se da en la siguiente tabla:
Grupo Coxeter | Diagrama de Coxeter | Diagrama de Dynkin | Reflexiones m = nh / 2 [2] | Coxeter número h | Número de Coxeter doble | Grados de invariantes fundamentales | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Un n | [3,3 ..., 3] | ... | ... | n ( n +1) / 2 | n + 1 | n + 1 | 2, 3, 4, ..., n + 1 |
B n | [4,3 ..., 3] | ... | ... | n 2 | 2 n | 2 n - 1 | 2, 4, 6, ..., 2 n |
C n | ... | n + 1 | |||||
D n | [3,3, .. 3 1,1 ] | ... | ... | n ( n -1) | 2 n - 2 | 2 n - 2 | n ; 2, 4, 6, ..., 2 n - 2 |
E 6 | [3 2,2,1 ] | 36 | 12 | 12 | 2, 5, 6, 8, 9, 12 | ||
E 7 | [3 3,2,1 ] | 63 | 18 | 18 | 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 | ||
E 8 | [3 4,2,1 ] | 120 | 30 | 30 | 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 | ||
F 4 | [3,4,3] | 24 | 12 | 9 | 2, 6, 8, 12 | ||
G 2 | [6] | 6 | 6 | 4 | 2, 6 | ||
H 3 | [5,3] | - | 15 | 10 | 2, 6, 10 | ||
H 4 | [5,3,3] | - | 60 | 30 | 2, 12, 20, 30 | ||
Yo 2 ( p ) | [pag] | - | pag | pag | 2, p |
Los invariantes del grupo de Coxeter que actúan sobre polinomios forman un álgebra polinomial cuyos generadores son los invariantes fundamentales; sus grados se dan en la tabla anterior. Observe que si m es un grado de un invariante fundamental, entonces también lo es h + 2 - m .
Los valores propios de un elemento de Coxeter son los números e 2π i ( m - 1) / h cuando m pasa por los grados de los invariantes fundamentales. Como comienza con m = 2, estos incluyen la raíz primitiva h -ésima de la unidad , ζ h = e 2π i / h , que es importante en el plano de Coxeter , a continuación.
Orden de grupo
Existen relaciones entre el orden g del grupo Coxeter y el número Coxeter h : [3]
- [p]: 2 h / g p = 1
- [p, q]: 8 / g p, q = 2 / p + 2 / q -1
- [p, q, r]: 64 h / g p, q, r = 12 - p - 2q - r + 4 / p + 4 / r
- [p, q, r, s]: 16 / g p, q, r, s = 8 / g p, q, r + 8 / g q, r, s + 2 / (ps) - 1 / p - 1 / q - 1 / r - 1 / s +1
- ...
Por ejemplo, [3,3,5] tiene h = 30, entonces 64 * 30 / g = 12 - 3 - 6 - 5 + 4/3 + 4/5 = 2/15, entonces g = 1920 * 15/2 = 960 * 15 = 14400.
Elementos de Coxeter
Elementos de Coxeter Distinct corresponden a orientaciones del diagrama de Coxeter (es decir, a Dynkin carcaj ): las reflexiones simples correspondientes a los vértices de código se escriben primero, los vértices de aguas abajo más tarde, y se hunde pasado. (La elección del orden entre los vértices no adyacentes es irrelevante, ya que corresponden a reflexiones conmutadas.) Una elección especial es la orientación alterna, en la que las reflexiones simples se dividen en dos conjuntos de vértices no adyacentes y todas las aristas están orientadas del primero al segundo juego. [4] La orientación alterna produce un elemento especial Coxeter w satisfacer, donde w 0 es el elemento más largo , siempre que el número de Coxeter h sea par.
Para , el grupo simétrico en n elementos, los elementos de Coxeter son ciertos n- ciclos: el producto de reflexiones simples es el elemento Coxeter . [5] Para n par, el elemento Coxeter de orientación alterna es:
Existen distintos elementos de Coxeter entre los n -ciclos.
El grupo diedro Dih p es generado por dos reflexiones que forman un ángulo de, y así los dos elementos de Coxeter son su producto en cualquier orden, que es una rotación por .
Avión de Coxeter
Para un elemento de Coxeter dado w, existe un plano único P en el que w actúa por rotación de 2π / h. Esto se llama el plano Coxeter [6] y es el plano en el que P tiene valores propios e 2π i / h y e -2π i / h = e 2π i ( h -1) / h . [7] Este plano fue estudiado sistemáticamente por primera vez en ( Coxeter 1948 ), [8] y posteriormente utilizado en ( Steinberg 1959 ) para proporcionar pruebas uniformes sobre las propiedades de los elementos de Coxeter. [8]
El plano de Coxeter se usa a menudo para dibujar diagramas de politopos y sistemas de raíces de dimensiones superiores: los vértices y los bordes del politopo o raíces (y algunos bordes que los conectan) se proyectan ortogonalmente en el plano de Coxeter, lo que produce un polígono de Petrie con h - pliegue simetría rotacional. [9] Para los sistemas de raíces, no hay mapas de raíces a cero, lo que corresponde a que el elemento de Coxeter no fija ninguna raíz o más bien eje (no tiene valor propio 1 o -1), por lo que las proyecciones de órbitas en w forman arreglos circulares de h- pliegues [9] ] y hay un centro vacío, como en el diagrama E 8 arriba a la derecha. Para los politopos, un vértice se puede asignar a cero, como se muestra a continuación. Las proyecciones en el plano de Coxeter se muestran a continuación para los sólidos platónicos .
En tres dimensiones, la simetría de un poliedro regular , {p, q}, con un polígono de Petrie dirigido marcado, definido como un compuesto de 3 reflejos, tiene una simetría de rotoinversión S h , [2 + , h + ], orden h . Añadiendo un espejo, la simetría se puede duplicar a simetría antipismática, D hd , [2 + , h], orden 2 h . En la proyección 2D ortogonal, esto se convierte en simetría diedro , Dih h , [h], orden 2 h .
Grupo Coxeter | A 3 T d | B 3 O h | H 3 yo h | ||
---|---|---|---|---|---|
Poliedro regular | {3,3} | {4,3} | {3,4} | {5,3} | {3,5} |
Simetría | S 4 , [2 + , 4 + ], (2 ×) D 2d , [2 + , 4], (2 * 2) | P 6 , [2 + , 6 + ], (3 ×) D 3d , [2 + , 6], (2 * 3) | S 10 , [2 + , 10 + ], (5 ×) D 5d , [2 + , 10], (2 * 5) | ||
Simetría del plano de Coxeter | Dih 4 , [4], (* 4 •) | Dih 6 , [6], (* 6 •) | Dih 10 , [10], (* 10 •) | ||
Polígonos de Petrie de los sólidos platónicos, que muestran simetría de 4, 6 y 10 veces. |
En cuatro dimensiones, la simetría de un policorón regular , {p, q, r}, con un polígono de Petrie dirigido marcado es una doble rotación , definida como una combinación de 4 reflejos, con simetría + 1 / h [C h × C h ] [10] ( John H. Conway ), (C 2h / C 1 ; C 2h / C 1 ) (# 1 ', Patrick du Val (1964) [11] ), orden h .
Grupo Coxeter | A 4 | B 4 | F 4 | H 4 | ||
---|---|---|---|---|---|---|
Policoron regular | {3,3,3} | {3,3,4} | {4,3,3} | {3,4,3} | {5,3,3} | {3,3,5} |
Simetría | + 1 / 5 [C 5 × C 5 ] | + 1 / 8 [C 8 × C 8 ] | + 1 / 12 [C 12 × C 12 ] | + 1 / 30 [C 30 × C 30 ] | ||
Simetría del plano de Coxeter | Dih 5 , [5], (* 5 •) | Dih 8 , [8], (* 8 •) | Dih 12 , [12], (* 12 •) | Dih 30 , [30], (* 30 •) | ||
Polígonos de Petrie de los sólidos 4D regulares, que muestran simetría de 5, 8, 12 y 30 veces. |
En cinco dimensiones, la simetría de un 5-politopo regular , {p, q, r, s}, con un polígono de Petrie dirigido marcado, se representa mediante la combinación de 5 reflejos.
Grupo Coxeter | A 5 | B 5 | D 5 | |
---|---|---|---|---|
Politerón regular | {3,3,3,3} | {3,3,3,4} | {4,3,3,3} | h {4,3,3,3} |
Simetría del plano de Coxeter | Dih 6 , [6], (* 6 •) | Dih 10 , [10], (* 10 •) | Dih 8 , [8], (* 8 •) |
En las dimensiones 6 a 8 hay 3 grupos Coxeter excepcionales; un politopo uniforme de cada dimensión representa las raíces de los grupos de Lie excepcionales E n . Los elementos de Coxeter son 12, 18 y 30 respectivamente.
Grupo Coxeter | E6 | E7 | E8 |
---|---|---|---|
Grafico | 1 22 | 2 31 | 4 21 |
Simetría del plano de Coxeter | Dih 12 , [12], (* 12 •) | Dih 18 , [18], (* 18 •) | Dih 30 , [30], (* 30 •) |
Ver también
- El elemento más largo de un grupo Coxeter
Notas
- ^ Coxeter, Harold Scott Macdonald; Chandler Davis; Erlich W. Ellers (2006), El legado de Coxeter: Reflexiones y proyecciones , Librería AMS, p. 112, ISBN 978-0-8218-3722-1
- ^ Coxeter , politopos regulares , §12.6 El número de reflejos, ecuación 12.61
- ^ Politopos regulares, p. 233
- ^ George Lusztig, Introducción a los grupos cuánticos , Birkhauser (2010)
- ↑ ( Humphreys 1992 , p. 75 )
- ^ Coxeter Planes Archivado 2018-02-10 en Wayback Machine y más Coxeter Planes Archivado 2017-08-21 en Wayback Machine John Stembridge
- ^ ( Humphreys 1992 , Sección 3.17, "Acción en un avión", págs. 76–78 )
- ↑ a b ( Lectura de 2010 , p. 2)
- ↑ a b ( Stembridge 2007 )
- ^ Sobre cuaterniones y octoniones , 2003, John Horton Conway y Derek A. Smith ISBN 978-1-56881-134-5
- ^ Patrick Du Val, Homografías, cuaterniones y rotaciones , Monografías matemáticas de Oxford, Clarendon Press , Oxford , 1964.
Referencias
- Coxeter, HSM (1948), Politopos regulares , Methuen and Co.
- Steinberg, R. (junio de 1959), "Finite Reflection Groups", Transactions of the American Mathematical Society , 91 (3): 493–504, doi : 10.1090 / S0002-9947-1959-0106428-2 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993261
- Hiller, Howard Geometry of Coxeter grupos. Notas de investigación en matemáticas, 54. Pitman (Programa de publicaciones avanzadas), Boston, Mass.-Londres, 1982. iv + 213 págs. ISBN 0-273-08517-4
- Humphreys, James E. (1992), Grupos de reflexión y grupos Coxeter , Cambridge University Press , págs. 74–76 (Sección 3.16, Elementos de Coxeter ), ISBN 978-0-521-43613-7
- Stembridge, John (9 de abril de 2007), Coxeter Planes , archivado desde el original el 10 de febrero de 2018 , consultado el 21 de abril de 2010
- Stekolshchik, R. (2008), Notes on Coxeter Transformations and the McKay Correspondence , Springer Monographs in Mathematics, arXiv : math / 0510216 , doi : 10.1007 / 978-3-540-77399-3 , ISBN 978-3-540-77398-6
- Reading, Nathan (2010), "Particiones que no se cruzan, clústeres y el plano de Coxeter" , Séminaire Lotharingien de Combinatoire , B63b : 32
- Bernšteĭn, IN; Gelʹfand, IM; Ponomarev, VA, "Functores de Coxeter y teorema de Gabriel" (ruso), Uspekhi Mat. Nauk 28 (1973), núm. 2 (170), 19–33. Traducción en el sitio web de Bernstein .