En matemáticas , el elemento más largo de un grupo Coxeter es el elemento único de longitud máxima en un grupo Coxeter finito con respecto al grupo electrógeno elegido que consta de reflexiones simples. A menudo se denota por w 0 . Ver ( Humphreys 1992 , Sección 1.8: Transitividad simple y el elemento más largo, págs. 15-16 ) y ( Davis 2007 , Sección 4.6, págs. 51-53).
Propiedades
- Un grupo Coxeter tiene un elemento más largo si y solo si es finito; "solo si" se debe a que el tamaño del grupo está limitado por el número de palabras de longitud menor o igual al máximo.
- El elemento más largo de un grupo Coxeter es el elemento máximo único con respecto a la orden Bruhat .
- El elemento más largo es una involución (tiene orden 2:), por unicidad de longitud máxima (la inversa de un elemento tiene la misma longitud que el elemento). [1]
- Para cualquier la longitud satisface [1]
- En general, una expresión reducida para el elemento más largo no es única.
- En una expresión reducida para el elemento más largo, cada reflexión simple debe ocurrir al menos una vez. [1]
- Si el grupo de Coxeter es finito, entonces la longitud de w 0 es el número de raíces positivas . [1]
- La celda abierta Bw 0 B en la descomposición de Bruhat de un grupo algebraico semisimple G es densa en la topología de Zariski ; topológicamente, es la celda dimensional superior de la descomposición y representa la clase fundamental .
- El elemento más largo es el elemento central –1 excepto por (), por n impar, y para p impar, cuando es –1 multiplicado por el automorfismo de orden 2 del diagrama de Coxeter . [2]
Ver también
- Elemento Coxeter , un elemento distinguido diferente
- Número de Coxeter
- Función de longitud
Referencias
- ↑ a b c d ( Humphreys 1992 , p. 16 )
- ↑ ( Davis 2007 , Observación 13.1.8, p. 259)
- Davis, Michael W. (2007), La geometría y topología de los grupos de Coxeter (PDF) , ISBN 978-0-691-13138-2
- Humphreys, James E. (1992), Grupos de reflexión y grupos Coxeter , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43613-7