Simetría involutiva C s , (*) [] = | Simetría cíclica C nv , (* nn) [n] = | Simetría diedro D nh , (* n22) [n, 2] = | |
Grupo poliédrico , [n, 3], (* n32) | |||
---|---|---|---|
Simetría tetraédrica T d , (* 332) [3,3] = | Octaédrica simetría O h , (* 432) [4,3] = | Simetría icosaédrica I h , (* 532) [5,3] = |
Un icosaedro regular tiene 60 simetrías rotacionales (o que conservan la orientación) y un orden de simetría de 120, incluidas las transformaciones que combinan una reflexión y una rotación. Un dodecaedro regular tiene el mismo conjunto de simetrías, ya que es el dual del icosaedro.
El grupo de simetría completo (incluidos los reflejos) se conoce como grupo de Coxeter H 3 , y también está representado por la notación de Coxeter [5,3] y el diagrama de Coxeter. . El conjunto de simetrías que conservan la orientación forma un subgrupo que es isomorfo al grupo A 5 (el grupo alterno de 5 letras).
Como grupo de puntos
Aparte de las dos series infinitas de simetría prismática y antipismática, la simetría icosaédrica rotacional o la simetría icosaédrica quiral de los objetos quirales y la simetría icosaédrica completa o la simetría icosaédrica aquiral son las simetrías de puntos discretos (o equivalentemente, simetrías en la esfera ) con los grupos de simetría más grandes .
La simetría icosaédrica no es compatible con la simetría de traslación , por lo que no hay grupos de puntos cristalográficos o grupos espaciales asociados .
Schö. | Coxeter | Orbe. | Estructura abstracta | Pedido | |
---|---|---|---|---|---|
I | [5,3] + | 532 | A 5 | 60 | |
Yo h | [5,3] | * 532 | Un 5 × 2 | 120 |
Las presentaciones correspondientes a las anteriores son:
Estos corresponden a los grupos icosaédricos (rotacionales y completos) siendo los grupos triangulares (2,3,5) .
La primera presentación fue realizada por William Rowan Hamilton en 1856, en su artículo sobre cálculo icosiano . [1]
Tenga en cuenta que son posibles otras presentaciones, por ejemplo, como un grupo alterno (para I ).
Visualizaciones
Schoe. ( Orbe. ) | Notación Coxeter | Elementos | Diagramas de espejo | |||
---|---|---|---|---|---|---|
Ortogonal | Proyección estereográfica | |||||
Yo h (* 532) | [5,3] | Líneas de espejo : 15 | ||||
Yo (532) | [5,3] + | Puntos de giro : 12 5 20 3 30 2 |
Estructura de grupo
Los bordes de un compuesto esférico de cinco octaedros representan los 15 planos de espejo como grandes círculos de colores. Cada octaedro puede representar 3 planos de espejo ortogonales por sus bordes. | |
La simetría piritoédrica es un subgrupo de índice 5 de simetría icosaédrica, con 3 líneas de reflexión verdes ortogonales y 8 puntos de giro rojo de orden 3. Hay 5 orientaciones diferentes de simetría piritoédrica. |
El grupo de rotación icosaédrico I es de orden 60. El grupo I es isomorfo a A 5 , el grupo alterno de permutaciones pares de cinco objetos. Este isomorfismo puede ser realizado por I que actúa sobre diversos compuestos, en particular el compuesto de cinco cubos (que inscriben en el dodecaedro ), el compuesto de cinco octaedros , o cualquiera de los dos compuestos de cinco tetraedros (que son enantiomorfos , e inscribir en el dodecaedro).
El grupo contiene 5 versiones de T h con 20 versiones de D 3 (10 ejes, 2 por eje) y 6 versiones de D 5 .
El grupo icosaédrico completo I h tiene orden 120. Tiene I como subgrupo normal del índice 2. El grupo I h es isomorfo a I × Z 2 , o A 5 × Z 2 , con la inversión en el centro correspondiente al elemento (identidad , -1), donde Z 2 se escribe multiplicativamente.
I h actúa sobre el compuesto de cinco cubos y el compuesto de cinco octaedros , pero −1 actúa como identidad (ya que los cubos y los octaedros son centralmente simétricos). Actúa sobre el compuesto de diez tetraedros : I actúa sobre las dos mitades quirales ( compuestos de cinco tetraedros ), y −1 intercambia las dos mitades. En particular, no actúa como S 5 y estos grupos no son isomorfos; consulte a continuación para obtener más detalles.
El grupo contiene 10 versiones de D 3d y 6 versiones de D 5d (simetrías como antiprismas).
I también es isomorfo a PSL 2 (5), pero I h no es isomorfo a SL 2 (5).
Grupos comúnmente confundidos
Los siguientes grupos tienen todos el orden 120, pero no son isomorfos:
- S 5 , el grupo simétrico de 5 elementos
- I h , el grupo icosaédrico completo (tema de este artículo, también conocido como H 3 )
- 2 I , el grupo icosaédrico binario
Corresponden a las siguientes secuencias breves y exactas (la última de las cuales no se divide) y producto
En palabras,
- es un subgrupo normal de
- es un factor de, que es un producto directo
- es un grupo cociente de
Tenga en cuenta que tiene una representación tridimensional irreducible excepcional (como el grupo de rotación icosaédrico), pero no tiene una representación tridimensional irreducible, correspondiente al grupo icosaédrico completo no siendo el grupo simétrico.
Estos también pueden estar relacionados con grupos lineales sobre el campo finito con cinco elementos, que exhiben los subgrupos y grupos de cobertura directamente; ninguno de estos es el grupo icosaédrico completo:
- el grupo lineal especial proyectivo , ver aquí para una prueba;
- el grupo lineal general proyectivo ;
- el grupo lineal especial .
Clases conjugadas
Las 120 simetrías se dividen en 10 clases de conjugación.
I | clases adicionales de I h |
---|---|
|
|
Subgrupos del grupo de simetría icosaédrica completo
Cada línea de la siguiente tabla representa una clase de subgrupos conjugados (es decir, geométricamente equivalentes). La columna "Mult." (multiplicidad) da el número de subgrupos diferentes en la clase de conjugación. Explicación de colores: verde = los grupos que se generan por reflejos, rojo = los grupos quirales (que conservan la orientación), que contienen solo rotaciones.
Los grupos se describen geométricamente en términos del dodecaedro. La abreviatura "hts (borde)" significa "media vuelta intercambiando este borde con su borde opuesto", y de manera similar para "cara" y "vértice".
Schön. | Coxeter | Orbe. | HM | Estructura | Cyc. | Pedido | Índice | Mult. | Descripción | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Yo h | [5,3] | * 532 | 53 2 / m | A 5 × Z 2 | 120 | 1 | 1 | grupo completo | ||
D 2h | [2,2] | * 222 | mmm | Dih 2 × Dih 1 = Dih 1 3 | 8 | 15 | 5 | arreglando dos bordes opuestos, posiblemente cambiándolos | ||
C 5v | [5] | * 55 | 5m | Dih 5 | 10 | 12 | 6 | arreglando una cara | ||
C 3v | [3] | * 33 | 3m | Dih 3 = S 3 | 6 | 20 | 10 | arreglando un vértice | ||
C 2v | [2] | * 22 | 2 mm | Dih 2 = Dih 1 2 | 4 | 30 | 15 | arreglando un borde | ||
C s | [] | * | 2 o m | Dih 1 | 2 | 60 | 15 | reflexión intercambiando dos extremos de un borde | ||
T h | [3 + , 4] | 3 * 2 | m 3 | A 4 × Z 2 | 24 | 5 | 5 | grupo piritoédrico | ||
D 5d | [2 + , 10] | 2 * 5 | 10 m2 | Dih 10 = Z 2 × Dih 5 | 20 | 6 | 6 | arreglando dos caras opuestas, posiblemente intercambiándolas | ||
D 3d | [2 + , 6] | 2 * 3 | 3 m | Dih 6 = Z 2 × Dih 3 | 12 | 10 | 10 | arreglando dos vértices opuestos, posiblemente intercambiándolos | ||
D 1d = C 2h | [2 + , 2] | 2 * | 2 / m | Dih 2 = Z 2 × Dih 1 | 4 | 30 | 15 | media vuelta alrededor del punto medio del borde, más inversión central | ||
S 10 | [2 + , 10 + ] | 5 × | 5 | Z 10 = Z 2 × Z 5 | 10 | 12 | 6 | rotaciones de una cara, más inversión central | ||
S 6 | [2 + , 6 + ] | 3 × | 3 | Z 6 = Z 2 × Z 3 | 6 | 20 | 10 | rotaciones alrededor de un vértice, más inversión central | ||
S 2 | [2 + , 2 + ] | × | 1 | Z 2 | 2 | 60 | 1 | inversión central | ||
I | [5,3] + | 532 | 532 | A 5 | 60 | 2 | 1 | todas las rotaciones | ||
T | [3,3] + | 332 | 332 | A 4 | 12 | 10 | 5 | rotaciones de un tetraedro contenido | ||
D 5 | [2,5] + | 522 | 522 | Dih 5 | 10 | 12 | 6 | rotaciones alrededor del centro de una cara y hts (cara) | ||
D 3 | [2,3] + | 322 | 322 | Dih 3 = S 3 | 6 | 20 | 10 | rotaciones alrededor de un vértice y hts (vértice) | ||
D 2 | [2,2] + | 222 | 222 | Dih 2 = Z 2 2 | 4 | 30 | 15 | media vuelta alrededor del punto medio del borde y hts (borde) | ||
C 5 | [5] + | 55 | 5 | Z 5 | 5 | 24 | 6 | rotaciones alrededor de un centro de la cara | ||
C 3 | [3] + | 33 | 3 | Z 3 = A 3 | 3 | 40 | 10 | rotaciones alrededor de un vértice | ||
C 2 | [2] + | 22 | 2 | Z 2 | 2 | 60 | 15 | media vuelta alrededor del punto medio del borde | ||
C 1 | [] + | 11 | 1 | Z 1 | 1 | 120 | 1 | grupo trivial |
Estabilizadores de vértices
Los estabilizadores de un par de vértices opuestos pueden interpretarse como estabilizadores del eje que generan.
- estabilizadores vértice en I dan grupos cíclicos C 3
- los estabilizadores de vértice en I h dan grupos diédricos D 3
- estabilizadores de un par opuesto de los vértices en I dan grupos diedros D 3
- estabilizadores de un par opuesto de vértices en I h dan
Estabilizadores de borde
Los estabilizadores de un par opuesto de aristas se pueden interpretar como estabilizadores del rectángulo que generan.
- estabilizadores de bordes en le doy grupos cíclicos Z 2
- estabilizadores de bordes en I h dan a Klein cuatro grupos
- estabilizadores de un par de aristas en le doy a Klein cuatro grupos ; hay 5 de estos, dados por rotación de 180 ° en 3 ejes perpendiculares.
- estabilizadores de un par de bordes en I h dan; hay 5 de estos, dados por reflexiones en 3 ejes perpendiculares.
Estabilizadores faciales
Los estabilizadores de un par de caras opuestas se pueden interpretar como estabilizadores del anti-prisma que generan.
- estabilizadores faciales en le doy grupos cíclicos C 5
- los estabilizadores faciales en I h dan grupos diédricos D 5
- estabilizadores de un par opuesto de caras en I doy grupos diédricos D 5
- estabilizadores de un par opuesto de caras en I h dan
Estabilizadores de poliedros
Para cada uno de estos, hay 5 copias conjugadas, y la acción de conjugación da un mapa, de hecho un isomorfismo, .
- estabilizadores de los tetraedros inscritos en I son una copia de T
- estabilizadores de los tetraedros inscritos en I h son una copia de T
- estabilizadores de los cubos inscritos (o par opuesto de tetraedros u octaedros) en I son una copia de T
- estabilizadores de los cubos inscritas (o par opuesto de tetraedros, o octaedros) en I h son una copia de T h
Generadores del grupo Coxeter
El grupo de simetría icosaédrica completo [5,3] () de orden 120 tiene generadores representados por las matrices de reflexión R 0 , R 1 , R 2 a continuación, con relaciones R 0 2 = R 1 2 = R 2 2 = (R 0 × R 1 ) 5 = (R 1 × R 2 ) 3 = (R 0 × R 2 ) 2 = Identidad. El grupo [5,3] + () de orden 60 es generado por dos de las rotaciones S 0,1 , S 1,2 , S 0,2 . Una rotorreflexión de orden 10 es generada por V 0,1,2 , el producto de las 3 reflexiones. Aquídenota la proporción áurea .
Reflexiones | Rotaciones | Rotorreflexión | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Nombre | R 0 | R 1 | R 2 | S 0,1 | S 1,2 | S 0,2 | V 0,1,2 |
Grupo | |||||||
Pedido | 2 | 2 | 2 | 5 | 3 | 2 | 10 |
Matriz | |||||||
(1,0,0) n | norte | (0,1,0) n | (φ, 1,0) eje | (1,1,1) eje | (1,0,0) eje |
Dominio fundamental
Los dominios fundamentales para el grupo de rotación icosaédrico y el grupo icosaédrico completo están dados por:
Grupo de rotación icosaédrica I | Grupo icosaédrico completo I h | Las caras del triacontaedro disdyakis son el dominio fundamental |
En el triacontaedro disdyakis, una cara completa es un dominio fundamental; se pueden obtener otros sólidos con la misma simetría ajustando la orientación de las caras, por ejemplo, aplanando subconjuntos seleccionados de caras para combinar cada subconjunto en una cara, o reemplazando cada cara por múltiples caras o una superficie curva.
Poliedros con simetría icosaédrica
Poliedros quirales
Clase | Simbolos | Imagen |
---|---|---|
Arquímedes | sr {5,3} | |
catalán | V3.3.3.3.5 |
Simetría icosaédrica completa
Sólido platónico | Poliedros de Kepler-Poinsot | Sólidos de Arquímedes | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
{5,3} | {5 / 2,5} | {5 / 2,3} | t {5,3} | t {3,5} | r {3,5} | rr {3,5} | tr {3,5} |
Sólido platónico | Poliedros de Kepler-Poinsot | Sólidos catalanes | |||||
{3,5} = | {5,5 / 2} = | {3,5 / 2} = | V3.10.10 | V5.6.6 | V3.5.3.5 | V3.4.5.4 | V4.6.10 |
Otros objetos con simetría icosaédrica
- Superficies Barth
- Estructura del virus y cápside
- En química, el ion dodecaborato ([B 12 H 12 ] 2− ) y la molécula de dodecaedrano (C 20 H 20 )
Cristales líquidos con simetría icosaédrica
Para la fase material intermedia denominada cristales líquidos, H. Kleinert y K. Maki [2] propusieron la existencia de simetría icosaédrica y su estructura se analizó primero en detalle en ese artículo. Vea el artículo de revisión aquí . En aluminio, la estructura icosaédrica fue descubierta experimentalmente tres años después por Dan Shechtman , que le valió el Premio Nobel en 2011.
Geometrías relacionadas
La simetría icosaédrica es equivalentemente el grupo lineal especial proyectivo PSL (2,5), y es el grupo de simetría de la curva modular X (5), y más generalmente PSL (2, p ) es el grupo de simetría de la curva modular X ( p ). La curva modular X (5) es geométricamente un dodecaedro con una cúspide en el centro de cada cara poligonal, lo que demuestra el grupo de simetría.
Felix Klein estudió esta geometría, y el grupo de simetría asociado, como los grupos de monodromía de una superficie de Belyi, una superficie de Riemann con un mapa holomórfico de la esfera de Riemann, ramificada solo en 0, 1 e infinito (una función de Belyi ), la las cúspides son los puntos que se encuentran sobre el infinito, mientras que los vértices y los centros de cada borde se encuentran sobre 0 y 1; el grado de cobertura (número de hojas) es igual a 5.
Esto surgió de sus esfuerzos por dar un escenario geométrico de por qué surgió la simetría icosaédrica en la solución de la ecuación quíntica , con la teoría dada en el famoso ( Klein 1888 ); se ofrece una exposición moderna en ( Tóth 2002 , Sección 1.6, Tema adicional: Teoría del icosaedro de Klein, p. 66 ).
Las investigaciones de Klein continuaron con su descubrimiento de las simetrías de orden 7 y 11 en ( Klein & 1878 / 79b )
y ( Klein 1879 ) (y revestimientos asociados de grado 7 y 11) y dessins d'enfants , el primero que produce el cuartico de Klein , cuya geometría asociada tiene un mosaico de 24 heptágonos (con una cúspide en el centro de cada uno).Se producen geometrías similares para PSL (2, n ) y grupos más generales para otras curvas modulares.
Más exóticamente, existen conexiones especiales entre los grupos PSL (2,5) (orden 60), PSL (2,7) (orden 168) y PSL (2,11) (orden 660), que también admiten interpretaciones geométricas - PSL (2,5) son las simetrías del icosaedro (género 0), PSL (2,7) del Klein quartic (género 3) y PSL (2,11) la superficie de buckyball (género 70). Estos grupos forman una " trinidad " en el sentido de Vladimir Arnold , que da un marco para las diversas relaciones; ver trinidades para más detalles.
Existe una estrecha relación con otros sólidos platónicos .
Ver también
- Simetría tetraédrica
- Simetría octaédrica
- Grupo icosaédrico binario
- Cálculo icosiano
Referencias
- ^ Sir William Rowan Hamilton (1856), "Memorando sobre un nuevo sistema de raíces de unidad" (PDF) , Revista filosófica , 12 : 446
- ^ Kleinert, H. y Maki, K. (1981). "Texturas de celosía en cristales líquidos colestéricos" (PDF) . Fortschritte der Physik . 29 (5): 219-259. doi : 10.1002 / prop.19810290503 .
- Klein, F. (1878). "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" [ Transformación del orden siete de funciones elípticas]. Mathematische Annalen . 14 (3): 428–471. doi : 10.1007 / BF01677143 . S2CID 121407539 . Traducido en Levy, Silvio, ed. (1999). El Óctuple Camino . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-66066-2. Señor 1722410 .
- Klein, F. (1879), "Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (Transformación de undécimo orden de funciones elípticas)" , Mathematische Annalen , 15 (3–4): 533–555, doi : 10.1007 / BF02086276 , S2CID 120316938 , recopilado como págs. 140-165 en Oeuvres, tomo 3CS1 maint: posdata ( enlace )
- Klein, Felix (1888), Conferencias sobre el icosaedro y la solución de ecuaciones de quinto grado , Trübner & Co., ISBN 0-486-49528-0trans . George Gavin MorriceCS1 maint: posdata ( enlace )
- Tóth, Gábor (2002), Grupos finitos de Möbius, inmersiones mínimas de esferas y módulos
- Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), pág. 296
- Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
- Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- NW Johnson : geometrías y transformaciones , (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Capítulo 11: Grupos de simetría finitos , 11.5 Grupos esféricos de Coxeter
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Grupo icosaédrico" . MathWorld .
- LOS SUBGRUPOS DE W (H3) ( Subgrupos de otros grupos Coxeter ) Gotz Pfeiffer