Set (matemáticas)

Este artículo trata sobre lo que los matemáticos llaman teoría de conjuntos "intuitiva" o "ingenua". Para obtener una descripción más detallada, consulte Teoría de conjuntos ingenua . Para un tratamiento axiomático moderno y riguroso de los conjuntos, consulte Teoría de conjuntos .

Collection of mathematical objects

Un conjunto de polígonos en un diagrama de Euler

En matemáticas , un conjunto es una colección de elementos . ^{[1] [2] [3]} Los elementos que componen un conjunto pueden ser cualquier tipo de objeto matemático : números, símbolos, puntos en el espacio, líneas, otras formas geométricas, variables o incluso otros conjuntos. ^[4] El conjunto sin elemento es el conjunto vacío ; un conjunto con un solo elemento es un singleton . Un conjunto puede tener un número finito de elementos o ser un conjunto infinito . Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen exactamente los mismos elementos. ^[5]

Los conjuntos son omnipresentes en las matemáticas modernas. De hecho, la teoría de conjuntos , más específicamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , ha sido la forma estándar de proporcionar bases rigurosas para todas las ramas de las matemáticas desde la primera mitad del siglo XX. ^[4]

Origen

Artículo principal: Teoría de conjuntos

El concepto de conjunto surgió en matemáticas a finales del siglo XIX. ^[6] La palabra alemana para set, Menge , fue acuñada por Bernard Bolzano en su obra Paradoxes of the Infinite . ^{[7] [8] [9]}

Pasaje con una traducción de la definición original de Georg Cantor. La palabra alemana Menge para conjunto se traduce aquí con agregado .

Georg Cantor , uno de los fundadores de la teoría de conjuntos, dio la siguiente definición al comienzo de su Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre : ^[10]

Un conjunto es una reunión en un conjunto de objetos definidos y distintos de nuestra percepción o nuestro pensamiento, que se denominan elementos del conjunto.

Bertrand Russell llamó a un conjunto una clase : "Cuando los matemáticos tratan con lo que ellos llaman una variedad, agregado, Menge , conjunto o algún nombre equivalente, es común, especialmente cuando el número de términos involucrados es finito, considerar el objeto en cuestión (que de hecho es una clase) como se define por la enumeración de sus términos, y que posiblemente consta de un solo término, que en ese caso es la clase ". ^[11]

Teoría de conjuntos ingenua

Artículo principal: teoría de conjuntos ingenua

La principal propiedad de un conjunto es que puede tener elementos, también llamados miembros . Dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismos elementos. Más precisamente, los conjuntos A y B son iguales si cada elemento de A es un miembro de B , y cada elemento de B es un elemento de A ; esta propiedad se llama extensionalidad de conjuntos . ^[12]

El concepto simple de conjunto ha demostrado ser de enorme utilidad en matemáticas, pero surgen paradojas si no se imponen restricciones sobre cómo se pueden construir los conjuntos:

• La paradoja de Russell muestra que el "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos ", es decir, { x | x es un conjunto y x ∉ x }, no puede existir.
• La paradoja de Cantor muestra que "el conjunto de todos los conjuntos" no puede existir.

La teoría de conjuntos ingenua define un conjunto como cualquier colección bien definida de elementos distintos, pero los problemas surgen de la vaguedad del término bien definido .

Teoría de conjuntos axiomáticos

En los esfuerzos posteriores por resolver estas paradojas desde la época de la formulación original de la teoría de conjuntos ingenua, las propiedades de los conjuntos han sido definidas por axiomas . La teoría axiomática de conjuntos toma el concepto de conjunto como una noción primitiva . ^[13] El propósito de los axiomas es proporcionar un marco básico a partir del cual deducir la verdad o falsedad de proposiciones (enunciados) matemáticos particulares sobre conjuntos, utilizando lógica de primer orden . Sin embargo, de acuerdo con los teoremas de incompletitud de Gödel , no es posible usar la lógica de primer orden para demostrar que una teoría de conjuntos axiomática particular está libre de paradojas. ^{[ cita requerida ]}

Cómo se definen los conjuntos y notación de conjuntos

Textos matemáticos comúnmente conjuntos denotamos por letras mayúsculas ^{[14] [4] [15]} en cursiva , tales como A , B , C . ^{[15] [16]} Un conjunto también puede denominarse colección o familia , especialmente cuando sus elementos son en sí mismos conjuntos.

Notación de lista

La notación de lista o enumeración define un conjunto enumerando sus elementos entre corchetes , separados por comas: ^{[17] [18] [19] [20]}

A = {4, 2, 1, 3}

B = {azul, blanco, rojo} .

En un conjunto, todo lo que importa es si cada elemento está en él o no, por lo que el orden de los elementos en la notación de lista es irrelevante (por el contrario, en una secuencia , una tupla o una permutación de un conjunto, el orden de la términos importan). Por ejemplo, {2, 4, 6} y {4, 6, 4, 2} representan el mismo conjunto. ^{[21] [16] [22]}

Para conjuntos con muchos elementos, especialmente aquellos que siguen un patrón implícito, la lista de miembros se puede abreviar usando puntos suspensivos ' ... '. ^{[23] [24]} Por ejemplo, el conjunto de los primeros mil enteros positivos se puede especificar en notación de lista como

{1, 2, 3, ..., 1000} .

Conjuntos infinitos en notación de lista

Un conjunto infinito es un conjunto con una lista interminable de elementos. Para describir un conjunto infinito en notación de lista, se coloca una elipsis al final de la lista, o en ambos extremos, para indicar que la lista continúa para siempre. Por ejemplo, el conjunto de enteros no negativos es

{0, 1, 2, 3, 4, ...} ,

y el conjunto de todos los enteros es

{..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} .

Definición semántica

Otra forma de definir un conjunto es usar una regla para determinar cuáles son los elementos:

Sea A el conjunto cuyos miembros son los primeros cuatro enteros positivos .

Sea B el conjunto de colores de la bandera francesa .

Esta definición se llama descripción semántica . ^{[25] [26]}

Notación de constructor de conjuntos

Artículo principal: notación de constructor de conjuntos

La notación del constructor de conjuntos especifica un conjunto como una selección de un conjunto más grande, determinado por una condición en los elementos. ^{[26] [27] [28]} Por ejemplo, un conjunto F se puede definir de la siguiente manera:

F ${\displaystyle =\{n\mid n{\text{ is an integer, and }}0\leq n\leq 19\}.}$

En esta notación, la barra vertical "|" significa "tal que", y la descripción se puede interpretar como " F es el conjunto de todos los números n tal que n es un número entero en el rango de 0 a 19 inclusive". Algunos autores utilizan dos puntos ":" en lugar de la barra vertical. ^[29]

Clasificar métodos de definición

La filosofía usa términos específicos para clasificar tipos de definiciones:

• Una definición intensional usa una regla para determinar la membresía. Las definiciones semánticas y las definiciones que utilizan la notación del generador de conjuntos son ejemplos.
• Una definición extensional describe un conjunto enumerando todos sus elementos . ^[26] Estas definiciones también se denominan enumerativas .
• Una definición ostensiva es aquella que describe un conjunto dando ejemplos de elementos; una lista con puntos suspensivos sería un ejemplo.

Afiliación

Artículo principal: Elemento (matemáticas)

Si B es un conjunto y x es un elemento de B , esto se escribe de forma abreviada como x ∈ B , que también se puede leer como " x pertenece a B " o " x está en B ". ^[12] La declaración " y no es un elemento de B " se escribe como y ∉ B , que también se puede leer como o " y no está en B ". ^{[30] [15] [31]}

Por ejemplo, con respecto a los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} , B = {azul, blanco, rojo} y F = { n | n es un número entero y 0 ≤ n ≤ 19} ,

4 ∈ A y 12 ∈ F ; y

20 ∉ F y ∉ verde B .

El conjunto vacio

Artículo principal: Conjunto vacío

El conjunto vacío (o conjunto nulo ) es el conjunto único que no tiene miembros. Se denota ∅ o o {} ^{[32] [15] [33]} o ϕ ^[34] (o ϕ ). ^[35]${\displaystyle \emptyset }$

Conjuntos singleton

Artículo principal: Singleton (matemáticas)

Un conjunto singleton es un conjunto con exactamente un elemento; tal conjunto también puede denominarse conjunto de unidades . ^[5] Cualquier conjunto de este tipo se puede escribir como { x }, donde x es el elemento. El conjunto { x } y el elemento x significan cosas diferentes; Halmos ^[36] traza la analogía de que una caja que contiene un sombrero no es lo mismo que el sombrero.

Subconjuntos

Artículo principal: Subconjunto

Si cada elemento del conjunto A es también en B , entonces A se describe como un subconjunto de B , o contenido en B , escrito A ⊆ B , ^[37] o B ⊇ A . ^{[38] [15]} Esta última notación puede ser de lectura B contiene una , B incluye A , o B es un superconjunto de A . La relación entre conjuntos establecida por ⊆ se llama inclusión o contención . Dos conjuntos son iguales si se contienen entre sí: A ⊆B y B ⊆ A es equivalente a A = B . ^[27]

Si A es un subconjunto de B , pero A no es igual a B , entonces A es llamado un subconjunto propio de B . Esto se puede escribir una ⊊ B . Del mismo modo, B ⊋ A significa B es un superconjunto propio de A , es decir, B contiene A , y no es igual a A .

Un tercer par de operadores ⊂ y ⊃ se usan de manera diferente por diferentes autores: algunos autores usan A ⊂ B y B ⊃ A para significar que A es cualquier subconjunto de B (y no necesariamente un subconjunto adecuado), ^{[39] [30]} mientras que otros reserva de un ⊂ B y B ⊃ a para los casos en que una es un subconjunto propio de B . ^[37]

Ejemplos:

• El conjunto de todos los humanos es un subconjunto adecuado del conjunto de todos los mamíferos.
• {1, 3} ⊂ {1, 2, 3, 4}.
• {1, 2, 3, 4} ⊆ {1, 2, 3, 4}.

El conjunto vacío es un subconjunto de cada conjunto, ^[32] y cada conjunto es un subconjunto de sí mismo: ^[39]

• ∅ ⊆ A .
• A ⊆ A .

Diagramas de Euler y Venn

A es un subconjunto de B

Un diagrama de Euler es una representación gráfica de una colección de conjuntos; cada conjunto se representa como una región plana encerrada por un bucle, con sus elementos en el interior. Si A es un subconjunto de B , entonces la región que representa A es completamente dentro de la región que representa B . Si dos conjuntos no tienen elementos en común, las regiones no se superponen.

Un diagrama de Venn , por el contrario, es una representación gráfica de n conjuntos en los que los n bucles dividen el plano en 2 ⁿ zonas de modo que para cada forma de seleccionar algunos de los n conjuntos (posiblemente todos o ninguno), hay una zona para los elementos que pertenecen a todos los conjuntos seleccionados y ninguno de los demás. Por ejemplo, si los conjuntos son A , B y C , debe haber una zona para los elementos que están dentro de A y C y fuera de B (incluso si dichos elementos no existen).

Conjuntos especiales de números en matemáticas

Los números naturales están contenidos en los números enteros , que están contenidos en los números racionales , que están contenidos en los números reales , que están contenidos en los números complejos.${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Hay conjuntos de tal importancia matemática, a los que los matemáticos se refieren con tanta frecuencia, que han adquirido nombres especiales y convenciones de notación para identificarlos.

Muchos de estos conjuntos importantes están representados en textos matemáticos utilizando tipografía en negrita (p . Ej. ) O negrita de pizarra (p . Ej. ). ^[40] Estos incluyen ^[15]${\displaystyle {\mathbf {Z}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

• ${\displaystyle {\mathbf {N}}}$o , el conjunto de todos los números naturales : (a menudo, los autores excluyen 0 ); ^[40]${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathbf {N}}=\{0,1,2,3,...\}}$
• ${\displaystyle {\mathbf {Z}}}$o , el conjunto de todos los números enteros (ya sean positivos, negativos o cero) :; ^[40]${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle {\mathbf {Z}}=\{...,-2,-1,0,1,2,3,...\}}$
• ${\displaystyle {\mathbf {Q}}}$o , el conjunto de todos los números racionales (es decir, el conjunto de todos adecuados y fracciones impropias ): . Por ejemplo, - 7 / 4 ∈ Q y 5 = 5 / 1 ∈ Q ; ^[40]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\mathbf {Q}}=\left\{{\frac {a}{b}}\mid a,b\in {\mathbf {Z}},b\neq 0\right\}}$
• ${\displaystyle {\mathbf {R}}}$o el conjunto de todos los números reales , incluidos todos los números racionales y todos los números irracionales (que incluyen números algebraicos como los que no se pueden reescribir como fracciones, así como números trascendentales como π y e ); ^[40]${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• ${\displaystyle {\mathbf {C}}}$o el conjunto de todos los números complejos : C = { a + bi | un , b ∈ R } , por ejemplo, 1 + 2 i ∈ C . ^[40]${\displaystyle \mathbb {C} }$

Cada uno de los conjuntos de números anteriores tiene un número infinito de elementos. Cada uno es un subconjunto de los conjuntos que se enumeran a continuación.

Los conjuntos de números positivos o negativos a veces se indican mediante signos más y menos en superíndice, respectivamente. Por ejemplo, representa el conjunto de números racionales positivos.${\displaystyle \mathbf {Q} ^{+}}$

Funciones

Una función (o mapeo ) de un conjunto A a un conjunto B es una regla que asigna a cada elemento de "entrada" de A una "salida" que es un elemento de B ; más formalmente, una función es un tipo especial de relación , que se relaciona cada elemento de A a exactamente un elemento de B . Una función se llama

• inyectivo (o uno a uno) si asigna dos elementos diferentes de A a elementos diferentes de B ,
• sobreyectiva (o sobre) si para cada elemento de B , hay al menos un elemento de A que se asigna a él, y
• bijetivo (o una correspondencia uno a uno) si la función es tanto inyectiva como sobreyectiva; en este caso, cada elemento de A está emparejado con un elemento único de B , y cada elemento de B está emparejado con un elemento único de A , para que no haya elementos no emparejados.

Una función inyectiva se llama inyección , una función sobreyectiva se llama sobreyección y una función biyectiva se llama biyección o correspondencia uno a uno .

Cardinalidad

Artículo principal: Cardinalidad

La cardinalidad de un conjunto S , denotado | S | , Es el número de miembros de S . ^[41] Por ejemplo, si B = {azul, blanco, rojo} , entonces | B | = 3 . Los miembros repetidos en notación de lista no se cuentan, ^{[42] [43]} por lo que | {azul, blanco, rojo, azul, blanco} | = 3 también.

Más formalmente, dos conjuntos comparten la misma cardinalidad si existe una correspondencia uno a uno entre ellos.

La cardinalidad del conjunto vacío es cero. ^[44]

Conjuntos infinitos y cardinalidad infinita

La lista de elementos de algunos conjuntos es interminable o infinita . Por ejemplo, el conjunto de números naturales es infinito. ^[27] De hecho, todos los conjuntos especiales de números mencionados en la sección anterior son infinitos. Los conjuntos infinitos tienen cardinalidad infinita . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Algunas cardinalidades infinitas son mayores que otras. Podría decirse que uno de los resultados más significativos de la teoría de conjuntos es que el conjunto de números reales tiene mayor cardinalidad que el conjunto de números naturales. ^{[45] Los} conjuntos con cardinalidad menor o igual a la de se denominan conjuntos contables ; estos son conjuntos finitos o conjuntos infinitos numerables (conjuntos de la misma cardinalidad que ); algunos autores usan "contable" para significar "infinito numerable". Los conjuntos con cardinalidad estrictamente mayor que la de se denominan conjuntos incontables .${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Sin embargo, se puede demostrar que la cardinalidad de una línea recta (es decir, el número de puntos en una línea) es la misma que la cardinalidad de cualquier segmento de esa línea, del plano completo y, de hecho, de cualquier euclidiana de dimensión finita. espacio . ^[46]

La hipótesis del continuo

Artículo principal: Hipótesis del continuo

La hipótesis del continuo, formulada por Georg Cantor en 1878, es la afirmación de que no existe un conjunto con cardinalidad estrictamente entre la cardinalidad de los números naturales y la cardinalidad de una línea recta. ^[47] En 1963, Paul Cohen demostró que la hipótesis del continuo es independiente del sistema de axiomas ZFC que consiste en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección . ^[48] (ZFC es la versión más estudiada de la teoría de conjuntos axiomáticos).

Conjuntos de potencia

Artículo principal: Power set

El conjunto potencia de un conjunto S es el conjunto de todos los subconjuntos de S . ^[27] El conjunto vacío y S en sí son elementos del conjunto de alimentación de S , porque estos son los dos subconjuntos de S . Por ejemplo, el conjunto de potencias de {1, 2, 3} es {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1 , 2, 3}} . El conjunto potencia de un conjunto S se escribe comúnmente como P ( S ) o 2 ^S . ^{[27] [49] [15] [16]}

Si S tiene n elementos, entonces P ( S ) tiene 2 ⁿ elementos. ^[50] Por ejemplo, {1, 2, 3} tiene tres elementos y su conjunto de potencias tiene 2 ³ = 8 elementos, como se muestra arriba.

Si S es infinito (ya sea contable o incontable ), entonces P ( S ) es incontable. Además, el conjunto de potencia es siempre estrictamente "mayor" que el conjunto original, en el sentido de que cualquier intento de emparejar los elementos de S con los elementos de P ( S ) dejará algunos elementos de P ( S ) sin emparejar. (Nunca hay una biyección de S a P ( S )) . ^[51]

Particiones

Artículo principal: Partición de un conjunto

Una partición de un conjunto S es un conjunto de subconjuntos no vacíos de S , de modo que cada elemento x en S se encuentra exactamente en uno de estos subconjuntos. Esto es, los subconjuntos son disjuntas dos a dos (es decir, cualquiera de los dos conjuntos de la partición contener ningún elemento en común), y la unión de todos los subconjuntos de la partición es S . ^{[52] [53]}

Operaciones básicas

Artículo principal: Álgebra de conjuntos

Hay varias operaciones fundamentales para construir nuevos conjuntos a partir de conjuntos dados.

Sindicatos

La unión de A y B , denotada A ∪ B

Artículo principal: Unión (teoría de conjuntos)

Se pueden unir dos conjuntos: la unión de A y B , denotada por A ∪ B , ^[15] es el conjunto de todas las cosas que son miembros de A o de B o de ambos.

Ejemplos:

• {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
• {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}.

Algunas propiedades básicas de las uniones:

• A ∪ B = B ∪ A .
• A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C .
• A ⊆ ( A ∪ B ).
• A ∪ A = A .
• A ∪ ∅ = A .
• A ⊆ B si y sólo si A ∪ B = B .

Intersecciones

Artículo principal: Intersección (teoría de conjuntos)

También se puede construir un nuevo conjunto determinando qué miembros tienen dos conjuntos "en común". La intersección de A y B , denotado por A ∩ B , ^[15] es el conjunto de todas las cosas que son miembros de ambos A y B . Si A ∩ B = ∅, entonces se dice que A y B son disjuntos .

La intersección de A y B , denotado A ∩ B .

Ejemplos:

• {1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
• {1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
• {1, 2} ∩ {3, 4} = ∅.

Algunas propiedades básicas de las intersecciones:

• A ∩ B = B ∩ A .
• A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C .
• A ∩ B ⊆ A .
• A ∩ A = A .
• A ∩ ∅ = ∅.
• A ⊆ B si y sólo si A ∩ B = A .

Complementos

El complemento relativo
de B en A

El complemento de A en U

La diferencia simétrica de A y B

Artículo principal: Complemento (teoría de conjuntos)

También se pueden "restar" dos conjuntos. El complemento relativo de B en A (también llamado diferencia de la teoría de conjuntos de A y B ), denotado por A \ B (o A - B ), ^[15] es el conjunto de todos los elementos que son miembros de A, pero no miembros de B . Es válido "restar" miembros de un conjunto que no están en el conjunto, como eliminar el elemento verde del conjunto {1, 2, 3}; hacerlo no afectará a los elementos del conjunto.

En ciertos entornos, todos los conjuntos en discusión se consideran subconjuntos de un conjunto universal U dado . En tales casos, U \ A se denomina complemento absoluto o simplemente complemento de A , y se denota por A ′ o A ^c . ^[15]

• A ′ = U \ A

Ejemplos:

• {1, 2} \ {1, 2} = ∅.
• {1, 2, 3, 4} \ {1, 3} = {2, 4}.
• Si T es el conjunto de números enteros, E es el conjunto de enteros pares, y O es el conjunto de números enteros impares, entonces T \ E = E '= O .

Algunas propiedades básicas de los complementos incluyen las siguientes:

• A \ B ≠ B \ A de A ≠ B .
• A ∪ A '= U .
• A ∩ A ′ = ∅.
• ( A ')' = A .
• ∅ \ A = ∅.
• Un \ ∅ = A .
• A \ A = ∅.
• A \ U = ∅.
• A \ A ′ = A y A ′ \ A = A ′.
• T '= ∅ y ∅' = T .
• A \ B = A ∩ B ′ .
• si A ⊆ B entonces A \ B = ∅.

Una extensión del complemento es la diferencia simétrica , definida para los conjuntos A , B como

${\displaystyle A\,\Delta \,B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A).}$

Por ejemplo, la diferencia simétrica de {7, 8, 9, 10} y {9, 10, 11, 12} es el conjunto {7, 8, 11, 12}. El conjunto de potencias de cualquier conjunto se convierte en un anillo booleano con una diferencia simétrica como la adición del anillo (con el conjunto vacío como elemento neutral) y la intersección como la multiplicación del anillo.

producto cartesiano

Artículo principal: producto cartesiano

Se puede construir un nuevo conjunto asociando cada elemento de un conjunto con cada elemento de otro conjunto. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B , denotado por A × B, ^[15] es el conjunto de todos los pares ordenados ( a , b ) de manera que una es un miembro de A y B es un miembro de B .

Ejemplos:

• {1, 2} × {rojo, blanco, verde} = {(1, rojo), (1, blanco), (1, verde), (2, rojo), (2, blanco), (2, verde) }.
• {1, 2} × {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
• {a, b, c} × {d, e, f} = {(a, d), (a, e), (a, f), (b, d), (b, e), (b, f), (c, d), (c, e), (c, f)}.

Algunas propiedades básicas de los productos cartesianos:

• A × ∅ = ∅.
• A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ).
• ( A ∪ B ) × C = ( A × C ) ∪ ( B × C ).

Sean A y B conjuntos finitos; entonces la cardinalidad del producto cartesiano es el producto de las cardinalidades:

• | A × B | = | B × A | = | A | × | B |.

Aplicaciones

Los conjuntos son omnipresentes en las matemáticas modernas. Por ejemplo, las estructuras en álgebra abstracta , como grupos , campos y anillos , son conjuntos cerrados bajo una o más operaciones.

Una de las principales aplicaciones de la teoría de conjuntos ingenua es la construcción de relaciones . Una relación de un dominio A a un codomain B es un subconjunto del producto cartesiano A × B . Por ejemplo, considerando el conjunto S = {piedra, papel, tijeras} de formas en el juego del mismo nombre, la relación "late" de S a S es el conjunto B = {(tijeras, papel), (papel, piedra ), (piedra, tijeras)} ; así x vence a y en el juego si el par ( x , y )es un miembro de B . Otro ejemplo es el conjunto F de todos los pares ( x , x ² ) , donde x es real. Esta relación es un subconjunto de R × R , porque el conjunto de todos los cuadrados es un subconjunto del conjunto de todos los números reales. Dado que para cada x en R , se encuentra uno y solo un par ( x , ...) en F , se le llama función . En notación funcional, esta relación se puede escribir como F ( x ) = x ² .

Principio de inclusión y exclusión

Artículo principal: Principio de inclusión-exclusión

El principio de inclusión-exclusión se utiliza para calcular el tamaño de la unión de conjuntos: el tamaño de la unión es el tamaño de los dos conjuntos, menos el tamaño de su intersección.

El principio de inclusión-exclusión es una técnica de conteo que se puede utilizar para contar el número de elementos en una unión de dos conjuntos, si se conoce el tamaño de cada conjunto y el tamaño de su intersección. Puede expresarse simbólicamente como

${\displaystyle |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.}$

Se puede usar una forma más general del principio para encontrar la cardinalidad de cualquier unión finita de conjuntos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \ldots \cup A_{n}\right|=&\left(\left|A_{1}\right|+\left|A_{2}\right|+\left|A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n}\right|\right)\\&{}-\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\right|+\left|A_{1}\cap A_{3}\right|+\ldots \left|A_{n-1}\cap A_{n}\right|\right)\\&{}+\ldots \\&{}+\left(-1\right)^{n-1}\left(\left|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots \cap A_{n}\right|\right).\end{aligned}}}$

Leyes de de Morgan

Augustus De Morgan estableció dos leyes sobre conjuntos.

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, entonces,

• ( A ∪ B ) ′ = A ′ ∩ B ′

El complemento de una unión B es igual al complemento de A se cruzó con el complemento de B .

• ( A ∩ B ) ′ = A ′ ∪ B ′

El complemento de A se cruzó con B es igual al complemento de una unión con el complemento de B .

Ver también

• Álgebra de conjuntos
• Teoría de conjuntos alternativa
• Categoría de conjuntos
• Clase (teoría de conjuntos)
• Conjunto denso
• Familia de conjuntos
• Conjunto difuso
• Conjunto interno
• Mereología
• Multiset
• Principia Mathematica
• Conjunto áspero

Notas

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10. "Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens - welche Elemente der Menge genannt werden - zu einem Ganzen". "Copia archivada" . Archivado desde el original el 10 de junio de 2011 . Consultado el 22 de abril de 2011 .
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Referencias

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enlaces externos

• "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" de Cantor (en alemán)