En matemáticas , un sistema de factores (a veces llamado conjunto de factores ) es una herramienta fundamental de la teoría clásica de Otto Schreier para problemas de extensión de grupo . [1] [2] Consiste en un conjunto de automorfismos y una función binaria en un grupo que satisface cierta condición (la llamada condición de ciclo ). De hecho, un sistema factorial constituye una realización de los ciclos en el segundo grupo de cohomología en cohomología de grupo . [3]
Introducción
Suponga que G es un grupo y A es un grupo abeliano. Para una extensión de grupo
existe un sistema factorial que consta de una función f : G × G → A y homomorfismo σ : G → Aut ( A ) tal que hace que el producto cartesiano G × A sea un grupo X como
Entonces f debe ser un "ciclo de 2 grupos" (simbólicamente, Ext ( G , A ) ≅ H 2 ( G , A ) ). De hecho, A no tiene por qué ser abeliano, pero la situación es más complicada para los grupos no abelianos [4]
Si f es trivial y σ da automorfismos interiores , a continuación, que la extensión de grupo se divide, por lo que X se convierten en producto semi-directa de G con A .
Si un álgebra de grupo se da, a continuación, un sistema de factor de f modifica que el álgebra a un álgebra skew-grupo mediante la modificación de la operación del grupo xy para f ( x , y ) xy .
Aplicación: para extensiones de campo abeliano
Sea G un grupo y L un campo en el que G actúa como automorfismos. Un sistema de factor de ciclo o (Noether) [5] : 31 es un mapa c : G × G → L * satisfactorio
Las bicicletas son equivalentes si existe algún sistema de elementos a : G → L * con
Ciclos de la forma
se llaman split . Los ciclos bajo multiplicación módulo dividido forman un grupo, el segundo grupo de cohomología H 2 ( G , L * ).
Álgebras de productos cruzados
Tomemos el caso de que G es el grupo de Galois de una extensión de cuerpos L / K . Un sistema de factores c en H 2 ( G , L * ) da lugar a un álgebra cruzada de productos [5] : 31 A , que es un álgebra K que contiene L como subcampo, generado por los elementos λ en L y u g con multiplicación
Sistemas de factor de equivalentes corresponden a un cambio de base en A sobre K . Podemos escribir
El álgebra A de productos cruzados es un álgebra central simple de grado igual a [L: K] . [6] Se cumple lo contrario: cada álgebra simple central sobre K que se divide en L y tal que deg A = [L: K] surge de esta manera. [6] El producto tensorial de las álgebras corresponde a la multiplicación de los elementos correspondientes en H 2 . Obtenemos así una identificación del grupo Brauer , donde los elementos son clases de CSA sobre K , con H 2 . [7] [8]
Álgebra cíclica
Limitémonos aún más al caso de que L / K es cíclico con el grupo G de Galois de orden n generado por t . Sea A un producto cruzado ( L , G , c ) con el conjunto de factores c . Sea u = u t el generador en A correspondiente at . Podemos definir los otros generadores
y entonces tenemos u n = una en K . Este elemento a especifica un ciclo c por [5] : 33
Por tanto, tiene sentido denotar A simplemente por ( L , t , a ). Sin embargo, a no está especificado de forma única por A, ya que podemos multiplicar u por cualquier elemento λ de L * y luego a se multiplica por el producto de los conjugados de λ. Por tanto, A corresponde a un elemento del grupo de residuos normalizados K * / N L / K L * . Obtenemos los isomorfismos
Referencias
- ^ extensión de grupo en nLab
- ^ Saunders MacLane, Homología , p. 103, en Google Books
- ^ cohomología de grupo en nLab
- ^ cohomología de grupo no beliano en nLab
- ^ a b c Bokhut, LA; L'vov, IV; Kharchenko, VK (1991). "Anillos no conmutativos". En Kostrikin, AI; Shafarevich, IR (eds.). Álgebra II . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. 18 . Traducido por Behr, E. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-642-72899-0 . ISBN 9783642728990.
- ↑ a b Jacobson (1996) p.57
- ^ Saltman (1999) p.44
- ^ Jacobson (1996) p.59
- Lorenz, Falko (2008). Álgebra. Volumen II: Campos con Estructura, Álgebras y Temas Avanzados . Universitext. Traducido del alemán por Silvio Levy. Con la colaboración del traductor. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-72487-4. Zbl 1130.12001 .
- Jacobson, Nathan (1996). Álgebras de división de dimensión finita sobre campos . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-57029-2. Zbl 0874.16002 .
- Reiner, I. (2003). Órdenes máximas . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Series nuevas. 28 . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-852673-3. Zbl 1024.16008 .
- Saltman, David J. (1999). Conferencias sobre álgebras de división . Serie de conferencias regionales en matemáticas. 94 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0979-2. Zbl 0934.16013 .