La reciprocidad cúbica es una colección de teoremas en la teoría de números elemental y algebraica que establecen las condiciones bajo las cuales la congruencia x 3 ≡ p (mod q ) se puede resolver; la palabra "reciprocidad" viene de la forma del teorema principal , que establece que si p y q son números primarios en el anillo de los enteros Eisenstein , tanto primos entre sí a 3, la congruencia x 3 ≡ p (mod q ) es soluble si y solo si x 3 ≡ q (mod p ) tiene solución.
Historia
En algún momento antes de 1748, Euler hizo las primeras conjeturas sobre la residuacidad cúbica de los números enteros pequeños, pero no se publicaron hasta 1849, después de su muerte. [1]
Las obras publicadas de Gauss mencionan los residuos cúbicos y la reciprocidad tres veces: hay un resultado relacionado con los residuos cúbicos en las Disquisitiones Arithmeticae (1801). [2] En la introducción a la quinta y sexta pruebas de reciprocidad cuadrática (1818) [3] dijo que estaba publicando estas pruebas porque sus técnicas ( el lema de Gauss y las sumas gaussianas , respectivamente) se pueden aplicar a la reciprocidad cúbica y bicuadrática. Finalmente, una nota a pie de página en la segunda (de dos) monografías sobre reciprocidad bicuadrática (1832) establece que la reciprocidad cúbica se describe más fácilmente en el anillo de los enteros de Eisenstein. [4]
De su diario y otras fuentes inéditas, parece que Gauss conocía las reglas para la residuacidad cúbica y cuártica de los enteros en 1805, y descubrió los teoremas completos y las pruebas de reciprocidad cúbica y bicuadrática alrededor de 1814. [5] [6] Demostraciones de estos fueron encontrados en sus trabajos póstumos, pero no está claro si son suyos o de Eisenstein. [7]
Jacobi publicó varios teoremas sobre la residuacidad cúbica en 1827, pero ninguna prueba. [8] En sus conferencias de Königsberg de 1836-1837, Jacobi presentó pruebas. [7] Las primeras pruebas publicadas fueron de Eisenstein (1844). [9] [10] [11]
Enteros
Un residuo cúbico (mod p ) es cualquier número congruente con la tercera potencia de un número entero (mod p ). Si x 3 ≡ a (mod p ) no tiene una solución entera, a es un no residuo cúbico (mod p ). [12]
Como suele ser el caso en la teoría de números, es más fácil trabajar con números primos módulo, por lo que en esta sección se supone que todos los módulos p , q , etc. son números primos positivos e impares. [12]
Primero notamos que si q ≡ 2 (mod 3) es un primo, entonces cada número es un residuo cúbico módulo q . Sea q = 3 n + 2; dado que 0 = 0 3 es obviamente un residuo cúbico, suponga que x no es divisible por q . Luego, por el pequeño teorema de Fermat ,
Multiplicando las dos congruencias que tenemos
Ahora sustituyendo 3 n + 2 por q tenemos:
Por tanto, el único caso interesante es cuando el módulo p ≡ 1 ( módulo 3). En este caso, las clases de residuos distintos de cero (mod p ) se pueden dividir en tres conjuntos, cada uno de los cuales contiene ( p −1) / 3 números. Sea e un no residuo cúbico. El primer conjunto son los residuos cúbicos; el segundo es e veces los números del primer conjunto, y el tercero es e 2 veces los números del primer conjunto. Otra forma de describir esta división es dejar que e sea una raíz primitiva (mod p ); entonces el primer conjunto (resp. segundo, tercero) son los números cuyos índices con respecto a esta raíz son congruentes con 0 (resp. 1, 2) (mod 3). En el vocabulario de la teoría de grupos , el primer conjunto es un subgrupo del índice 3 del grupo multiplicativo. y los otros dos son sus clases laterales.
Primes ≡ 1 (mod 3)
Un teorema de Fermat [13] [14] estados que cada primo p ≡ 1 (mod 3) se puede escribir como p = un 2 + 3 b 2 y (a excepción de los signos de una y b ) esta representación es única.
Dejando m = a + b y n = a - b , vemos que esto es equivalente ap = m 2 - mn + n 2 (que es igual a ( n - m ) 2 - ( n - m ) n + n 2 = m 2 + m ( n - m ) + ( n - m ) 2 , por lo que m y n no se determinan de forma única). Por lo tanto,
y es un ejercicio sencillo demostrar que exactamente uno de m , n o m - n es un múltiplo de 3, por lo que
y esta representación es única hasta que los signos de L y M . [15]
Para enteros primos entre m y n definen el símbolo residuo cúbico racional como
Es importante notar que este símbolo no tiene las propiedades multiplicativas del símbolo de Legendre; para esto, necesitamos el verdadero carácter cúbico definido a continuación.
Los dos primeros pueden reformularse de la siguiente manera. Sea p un primo congruente con 1 módulo 3. Entonces: [19] [20] [21]
- 2 es un residuo cúbico de p si y solo si p = a 2 + 27 b 2 .
- 3 es un residuo cúbico de p si y solo si 4 p = a 2 + 243 b 2 .
Uno puede ver fácilmente que el teorema de Gauss implica:
- Teorema de Jacobi (declarado sin prueba). [24] Sea q ≡ p ≡ 1 (mod 6) números primos positivos. Obviamente ambos p y q también son congruentes a 1 modulo 3, por lo tanto asumen:
- Sea x una solución de x 2 ≡ −3 (mod q ). Luego
- y tenemos:
- Teorema de Lehmer . Sean q y p primos, con Entonces: [25]
- dónde
Tenga en cuenta que la primera condición implica: que cualquier número que divida a L o M es un residuo cúbico (mod p ).
Los primeros ejemplos [26] de esto son equivalentes a las conjeturas de Euler:
Dado que obviamente L ≡ M (mod 2), el criterio para q = 2 se puede simplificar como:
- Teorema de Martinet. Sea p ≡ q ≡ 1 (mod 3) primos, Entonces [27]
- Teorema de Sharifi. Sea p = 1 + 3 x + 9 x 2 un primo. Entonces, cualquier divisor de x es un residuo cúbico (mod p ). [28]
Enteros de Eisenstein
Fondo
En su segunda monografía sobre reciprocidad bicuadrática, Gauss dice:
Los teoremas sobre residuos bicuadráticos brillan con la mayor simplicidad y genuina belleza solo cuando el campo de la aritmética se extiende a los números imaginarios , de modo que sin restricción, los números de la forma a + bi constituyen el objeto de estudio ... llamamos a tales números números complejos integrales . [29] [negrita en el original]
Estos números ahora se denominan el anillo de los enteros gaussianos , denotados por Z [ i ]. Tenga en cuenta que i es una cuarta raíz de 1.
En una nota a pie de página, agrega
La teoría de residuos cúbicos debe basarse de manera similar en una consideración de números de la forma a + bh donde h es una raíz imaginaria de la ecuación h 3 = 1 ... y de manera similar la teoría de residuos de potencias superiores conduce a la introducción de otras cantidades imaginarias. [30]
En su primera monografía sobre reciprocidad cúbica [31], Eisenstein desarrolló la teoría de los números construidos a partir de una raíz cúbica de la unidad; ahora se les llama el anillo de números enteros de Eisenstein . Eisenstein dijo (parafraseando) "para investigar las propiedades de este anillo, basta con consultar el trabajo de Gauss sobre Z [ i ] y modificar las pruebas". Esto no es sorprendente ya que ambos anillos son dominios de factorización únicos .
Las "otras cantidades imaginarias" necesarias para la "teoría de residuos de potencias superiores" son los anillos de números enteros de los campos de números ciclotómicos ; los enteros de Gauss y Eisenstein son los ejemplos más simples de estos.
Hechos y terminología
Dejar
Y considere el anillo de los números enteros de Eisenstein :
Este es un dominio euclidiano con la función norma dada por:
Tenga en cuenta que la norma siempre es congruente con 0 o 1 (mod 3).
El grupo de unidades en (los elementos con un inverso multiplicativo o equivalentemente aquellos con norma unitaria) es un grupo cíclico de las sextas raíces de la unidad,
es un dominio de factorización único . Los números primos se dividen en tres clases: [32]
- 3 es un caso especial:
- Es el único primo en divisible por el cuadrado de un primo en . Se dice que el primo 3 se ramifica en .
- Primos positivos en congruentes con 2 (mod 3) también son primos en . Se dice que estos primos permanecen inertes en. Tenga en cuenta que si es cualquier primo inerte entonces:
- Primos positivos en congruentes a 1 (mod 3) son el producto de dos primos conjugados en . Se dice que estos números primos se dividen en. Su factorización viene dada por:
- por ejemplo
Un número es primario si es coprimo a 3 y congruente con un módulo entero ordinario que es lo mismo que decir que es congruente con módulo 3. Si uno de o es primario. Además, el producto de dos números primarios es primario y el conjugado de un número primario también es primario.
El teorema de factorización única para es: si luego
donde cada es un primo primario (según la definición de Eisenstein). Y esta representación es única, hasta el orden de los factores.
Las nociones de congruencia [33] y máximo común divisor [34] se definen de la misma manera en como son para los enteros ordinarios . Debido a que las unidades dividen todos los números, un módulo de congruencia también es cierto módulo cualquier asociado de , y cualquier asociado de un GCD también es un GCD.
Carácter de residuo cúbico
Definición
Un análogo del pequeño teorema de Fermat es cierto en: Si no es divisible por primo , [35]
Ahora asuma que así que eso O dicho de otra manera Entonces podemos escribir:
para una unidad única Esta unidad se llama carácter de residuo cúbico de modulo y se denota por [36]
Propiedades
El carácter de residuo cúbico tiene propiedades formales similares a las del símbolo de Legendre :
- Si luego
- donde la barra denota conjugación compleja.
- Si y son asociados entonces
- La congruencia tiene una solución en si y solo si [37]
- Si son tales que luego [38] [39]
- El carácter cúbico se puede extender multiplicativamente a números compuestos (coprime a 3) en el "denominador" de la misma manera que el símbolo de Legendre se generaliza en el símbolo de Jacobi . Como el símbolo de Jacobi, si el "denominador" del carácter cúbico es compuesto, entonces si el "numerador" es un residuo cúbico mod el "denominador" el símbolo será igual a 1, si el símbolo no es igual a 1 entonces el "numerador" es un no residuo cúbico, pero el símbolo puede ser igual a 1 cuando el "numerador" es un no residuo:
- dónde
Declaración del teorema
Sean α y β primarios. Luego
Hay teoremas suplementarios [40] [41] para las unidades y el primo 1 - ω:
Sea α = a + b ω primario, a = 3 m + 1 y b = 3 n . (Si a ≡ 2 (mod 3) reemplaza α con su asociado −α; esto no cambiará el valor de los caracteres cúbicos).
Ver también
- Reciprocidad cuadrática
- Reciprocidad cuartica
- Reciprocidad óctica
- Reciprocidad de Eisenstein
- Reciprocidad Artin
Notas
- ^ Euler, Tractatus ... , §§ 407–410
- ^ Gauss, DA, nota al pie del art. 358
- ^ Gauss, Theorematis fundamentalis ...
- ^ Gauss, BQ, § 30
- ^ Cox, págs. 83–90
- ^ Lemmermeyer, págs. 199–201, 222–224
- ↑ a b Lemmermeyer, pág. 200
- ^ Jacobi, De residuis cubicis ... .
- ^ Eisenstein, Beweis des Reciprocitätssatzes ...
- ^ Eisenstein, Nachtrag zum cubischen ...
- ^ Eisenstein, Application de l'algèbre ...
- ^ a b cf. Gauss, BQ § 2
- ^ Gauss, DA, art. 182
- ^ Cox, ej. 1.4–1.5
- ^ Irlanda y Rosen, Props 8.3.1 y 8.3.2
- ^ Euler, Tractatus , §§ 407–401
- ^ Lemmermeyer, pág. 222–223
- ↑ Tractatus de numerorum doctrina capita sedecim, quae supersunt , 411 , nota al pie (capítulo 11) [1]
- ^ Cox, pág. 2, Thm. 4.15, ej. 4.15
- ^ Irlanda y Rosen, Prop. 9.6.2, Ex 9.23
- ^ Lemmermeyer, Prop. 7.1 y 7.2
- ^ Gauss, nota al pie de página de DA del art. 358
- ^ Lemmermeyer, ej. 7,9
- ^ Jacobi, De residuis cubicis ...
- ↑ Lemmermeyer, Prop.7.4
- ^ Lemmermeyer, págs. 209–212, Props 7.1–7.3
- ^ Lemmermeyer, ej. 7.11
- ^ Lemmermeyer, ej. 7.12
- ^ Gauss, BQ, § 30, traducción en Cox, p. 83
- ^ Gauss, BQ, § 30, traducción en Cox, p. 84
- ^ Irlanda y Rosen p. 14
- ^ Irlanda y Rosen Prop 9.1.4
- ^ cf. Gauss, BQ, §§ 38–45
- ^ cf. Gauss, BQ, §§ 46–47
- ^ Irlanda y Rosen. Prop. 9.3.1
- ^ Irlanda y Rosen, p. 112
- ^ Irlanda y Rosen, Prop. 9.3.3
- ^ Irlanda y Rosen, Prop. 9.3.4
- ↑ Lemmermeyer, Prop 7.7
- ^ Lemmermeyer, Th. 6,9
- ^ Irlanda y Rosen, ej. 9,32–9,37
Referencias
Las referencias a los artículos originales de Euler, Jacobi y Eisenstein se copiaron de las bibliografías de Lemmermeyer y Cox y no se utilizaron en la preparación de este artículo.
Euler
- Euler, Leonhard (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt , Comentario. Aritmet. 2
En realidad, esto se escribió entre 1748 y 1750, pero solo se publicó póstumamente; Está en el Vol. V, págs. 182-283 de
- Euler, Leonhard (1911-1944), Opera Omnia, Serie prima, Vols I – V , Leipzig y Berlín: Teubner
Gauss
Las dos monografías que publicó Gauss sobre la reciprocidad bicuadrática tienen secciones numeradas consecutivamente: la primera contiene §§ 1–23 y la segunda §§ 24–76. Las notas a pie de página que hacen referencia a estos son de la forma "Gauss, BQ, § n ". Las notas a pie de página que hacen referencia a las Disquisitiones Arithmeticae tienen la forma "Gauss, DA, Art. N ".
- Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Göttingen: comentario. Soc. regiae sci, Gotinga 6
- Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: comentario. Soc. regiae sci, Gotinga 7
Estos se encuentran en el Werke de Gauss , Vol II, págs. 65-92 y 93-148.
La quinta y sexta prueba de reciprocidad cuadrática de Gauss están en
- Gauss, Carl Friedrich (1818), Theoramatis fundamentalis in doctrina de residuis quadraticis demonstrationes et amplicationes novae
Esto está en Werke de Gauss , Vol II, págs. 47-64
Las traducciones alemanas de los tres anteriores son las siguientes, que también tienen las Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos de Gauss sobre teoría de números.
- Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (traductor al alemán) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) (segunda edición) , Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
Eisenstein
- Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen , J. Reine Angew. Matemáticas. 27, págs. 289-310 (Diario de Crelle)
- Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Nachtrag zum cubischen Reciprocitätssatzes für die aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen, Criterien des cubischen Characters der Zahl 3 y ihrer Teiler , J. Reine Angew. Matemáticas. 28, págs. 28–35 (Diario de Crelle)
- Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1845), Application de l'algèbre à l'arithmétique trascendante , J. Reine Angew. Matemáticas. 29 págs. 177-184 (Diario de Crelle)
Estos documentos están todos en el Vol I de su Werke .
Jacobi
- Jacobi, Carl Gustave Jacob (1827), De residuis cubicis commentatio numerosa , J. Reine Angew. Matemáticas. 2 págs. 66–69 (Diario de Crelle)
Esto está en el Vol VI de su Werke .
Autores modernos
- Cox, David A. (1989), Primes de la forma x 2 + ny 2 , Nueva York: Wiley, ISBN 0-471-50654-0
- Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Segunda edición) , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-97329-X
- Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Berlín: Springer , ISBN 3-540-66957-4
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de reciprocidad cúbica" . MathWorld .