En matemáticas , las álgebras de bucle son ciertos tipos de álgebras de Lie , de particular interés en la física teórica .
Definición
Si es un álgebra de Lie, el producto tensorial decon C ∞ ( S 1 ) , el álgebra de funciones suaves (complejas) sobre la variedad circular S 1 (de manera equivalente, funciones periódicas suaves con valores complejos de un período dado),
- ,
es un álgebra de Lie de dimensión infinita con el corchete de Lie dado por
- .
Aquí g 1 y g 2 son elementos dey f 1 y f 2 son elementos de C ∞ ( S 1 ) .
Esto no es precisamente lo que correspondería al producto directo de infinitas copias de, uno para cada punto en S 1 , debido a la restricción de suavidad. En cambio, se puede pensar en términos de un mapa uniforme de S 1 a; un bucle parametrizado suave en, en otras palabras. Por eso se llama álgebra de bucles .
Grupo de bucle
De manera similar, un conjunto de todos los mapas suaves desde S 1 hasta un grupo de Lie G forma un grupo de Lie de dimensión infinita (grupo de Lie en el sentido en que podemos definir derivadas funcionales sobre él) llamado grupo de bucles . El álgebra de Lie de un grupo de bucles es el álgebra de bucles correspondiente.
Transformada de Fourier
Podemos tomar la transformada de Fourier en este álgebra de bucles definiendo
como
dónde
- 0 ≤ σ <2π
es una coordinación de S 1 .
Aplicaciones
Si g es un álgebra de Lie semisimple , entonces una extensión central no trivial de su álgebra de bucles da lugar a un álgebra de Lie afín .
Referencias
- Fuchs, Jurgen (1992), Álgebras de mentiras afines y grupos cuánticos , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X