En geometría , el boceto de curvas (o trazado de curvas ) son técnicas para producir una idea aproximada de la forma general de una curva plana dada su ecuación, sin calcular la gran cantidad de puntos necesarios para una gráfica detallada. Es una aplicación de la teoría de curvas para encontrar sus principales características.
Tecnicas basicas
Los siguientes suelen ser fáciles de realizar y dan pistas importantes sobre la forma de una curva:
- Determinar las x y Y intersecciones de la curva. Las intersecciones de x se encuentran estableciendo y igual a 0 en la ecuación de la curva y despejando x . De manera similar, las intersecciones en y se encuentran estableciendo x igual a 0 en la ecuación de la curva y resolviendo para y .
- Determina la simetría de la curva. Si el exponente de x es siempre par en la ecuación de la curva, entonces el eje y es un eje de simetría de la curva. De manera similar, si el exponente de y es siempre par en la ecuación de la curva, entonces el eje x es un eje de simetría de la curva. Si la suma de los grados de x y y en cada término es siempre par o siempre impar, entonces la curva es simétrica sobre el origen y el origen se llama un centro de la curva.
- Determina los límites de los valores de x e y .
- Si la curva pasa por el origen, determine las líneas tangentes allí. Para las curvas algebraicas, esto se puede hacer quitando todos los términos de la ecuación excepto los de menor orden y resolviendo.
- De manera similar, al eliminar todos los términos de la ecuación, excepto los de mayor orden, y resolverlos, se obtienen los puntos donde la curva se encuentra con la línea en el infinito .
- Determine las asíntotas de la curva. También determine desde qué lado la curva se acerca a las asíntotas y dónde las asíntotas se cruzan con la curva. [1]
- Iguale la primera y la segunda derivada a 0 para encontrar los puntos estacionarios y los puntos de inflexión respectivamente. Si la ecuación de la curva no se puede resolver explícitamente para x o y , encontrar estas derivadas requiere una diferenciación implícita .
Diagrama de Newton
El diagrama de Newton (también conocido como paralelogramo de Newton , después de Isaac Newton ) es una técnica para determinar la forma de una curva algebraica cerca y lejos del origen. Consiste en graficar (α, β) para cada término Ax α y β en la ecuación de la curva. Luego, el diagrama resultante se analiza para producir información sobre la curva.
Específicamente, dibuje una línea diagonal que conecte dos puntos en el diagrama de modo que todos los demás puntos estén sobre él o hacia la derecha y arriba. Hay al menos una de esas líneas si la curva pasa por el origen. Sea la ecuación de la recta q α + p β = r . Suponga que la curva se aproxima por y = Cx p / q cerca del origen. Entonces, el término Ax α y β es aproximadamente Dx α + βp / q . El exponente es r / q cuando (α, β) está en la línea y más alto cuando está arriba y a la derecha. Por lo tanto, los términos significativos cerca del origen bajo este supuesto son solo los que se encuentran en la línea y los demás pueden ignorarse; produce una ecuación aproximada simple para la curva. Puede haber varias de estas líneas diagonales, cada una correspondiente a una o más ramas de la curva, y las ecuaciones aproximadas de las ramas se pueden encontrar aplicando este método a cada línea por turno.
Por ejemplo, el folio de Descartes está definido por la ecuación
- .
Entonces el diagrama de Newton tiene puntos en (3, 0), (1, 1) y (0, 3). Se pueden dibujar dos líneas diagonales como se describió anteriormente, 2α + β = 3 y α + 2β = 3. Estos producen
como ecuaciones aproximadas para las ramas horizontal y vertical de la curva donde se cruzan en el origen. [2]
El triángulo analítico
De Gua extendió el diagrama de Newton para formar una técnica llamada triángulo analítico (o triángulo de De Gua ). Los puntos (α, β) se trazan como con el método del diagrama de Newton, pero la línea α + β = n , donde n es el grado de la curva, se agrega para formar un triángulo que contiene el diagrama. Este método considera todas las líneas que delimitan el polígono convexo más pequeño que contiene los puntos trazados (ver casco convexo ). [3]
Aplicaciones
- Optimice el rastreo en dinámica de fluidos
Ver también
Referencias
- Hilton, Harold (1920). "Capítulo III: Trazado de curvas". Plano de curvas algebraicas . Oxford.
- Escarcha, Percival (1918). Un tratado elemental sobre trazado de curvas . MacMillan.
enlaces externos
- Trenogin, VA (2001) [1994], "Diagrama de Newton" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press