En matemáticas , los espacios de curvatura no positiva ocurren en muchos contextos y forman una generalización de la geometría hiperbólica . En la categoría de variedades de Riemann , se puede considerar la curvatura seccional de la variedad y requerir que esta curvatura sea en todas partes menor o igual a cero. La noción de curvatura se extiende a la categoría de espacios métricos geodésicos , donde se pueden usar triángulos de comparación para cuantificar la curvatura de un espacio; en este contexto, los espacios curvados no positivamente se conocen como espacios CAT (0) (localmente) .
Superficies Riemann
Si es una superficie de Riemann cerrada y orientable, se sigue del teorema de uniformización quepuede estar dotado de una métrica riemanniana completa con una curvatura gaussiana constante de cualquiera, o . Como resultado del teorema de Gauss-Bonnet, se puede determinar que las superficies que tienen una métrica de Riemann de curvatura constante es decir, las superficies de Riemann con una métrica completa de Riemann de curvatura constante no positiva son exactamente aquellas cuyo género es al menos. El teorema de Uniformización y el teorema de Gauss-Bonnet pueden aplicarse a superficies de Riemann orientables con límite para mostrar que aquellas superficies que tienen una característica de Euler no positiva son exactamente aquellas que admiten una métrica de Riemann de curvatura no positiva. Por lo tanto, existe una familia infinita de tipos de homeomorfismo de tales superficies, mientras que la esfera de Riemann es la única superficie de Riemann cerrada y orientable de curvatura gaussiana constante..
La definición de curvatura anterior depende de la existencia de una métrica de Riemann y, por lo tanto, se encuentra en el campo de la geometría. Sin embargo, el teorema de Gauss-Bonnet asegura que la topología de una superficie impone restricciones a las métricas riemannianas completas que pueden imponerse a una superficie, por lo que el estudio de los espacios métricos de curvatura no positiva es de vital interés tanto en los campos matemáticos de la geometría como en topología . Ejemplos clásicos de superficies de curvatura no positiva son el plano euclidiano y el toro plano (para curvatura) y el plano hiperbólico y la pseudoesfera (para la curvatura). Por esta razón, estas métricas, así como las superficies de Riemann en las que se encuentran como métricas completas, se denominan euclidianas e hiperbólicas, respectivamente.
Generalizaciones
Los rasgos característicos de la geometría de las superficies de Riemann con curvas no positivas se utilizan para generalizar la noción de no positivas más allá del estudio de las superficies de Riemann. En el estudio de variedades u orbifolds de mayor dimensión, se utiliza la noción de curvatura seccional en la que se restringe la atención a los subespacios bidimensionales del espacio tangente en un punto dado. En dimensiones mayores queel teorema de rigidez de Mostow-Prasad asegura que una variedad hiperbólica de área finita tiene una métrica hiperbólica completa única, por lo que el estudio de la geometría hiperbólica en este entorno es parte integral del estudio de la topología .
En un espacio métrico geodésico arbitrario , las nociones de ser hiperbólico de Gromov o de ser un espacio CAT (0) generalizan la noción de que en una superficie de Riemann de curvatura no positiva, los triángulos cuyos lados son geodésicos parecen delgados, mientras que en entornos de curvatura positiva aparecen grasa . Esta noción de curvatura no positiva permite que la noción de curvatura no positiva se aplique más comúnmente a los gráficos y, por lo tanto, es de gran utilidad en los campos de la combinatoria y la teoría de grupos geométricos .
Ver también
Referencias
- Ballmann, Werner (1995). Conferencias sobre espacios de curvatura no positiva . Seminario DMV 25. Basilea: Birkhäuser Verlag. págs. viii + 112. ISBN 3-7643-5242-6. SEÑOR1377265
- Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999). Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas]. 319 . Berlín: Springer-Verlag. págs. xxii + 643. ISBN 3-540-64324-9. SEÑOR1744486
- Papadopoulos, Athanase (2014) [2004]. Espacios métricos, convexidad y curvatura no positiva . Conferencias IRMA en Matemáticas y Física Teórica Vol. 6. Zürich: Sociedad Matemática Europea. pag. 298. ISBN 978-3-03719-010-4. SEÑOR2132506